Как се решават сложни неравенства. Неравенства. Видове неравенства. III. Учене на нов материал

Какво трябва да знаете за иконите за неравенство? Неравенства с икона Повече ▼ (> ), или по-малко (< ) са наречени строг.С икони повече или равно (≥ ), по-малко или равно (≤ ) са наречени не е строг.Икона не е равно (≠ ) стои отделно, но вие също трябва да решавате примери с тази икона през цялото време. И ние ще решим.)

Самата икона няма голямо влияние върху процеса на решение. Но в края на решението, при избора на окончателния отговор, значението на иконата се появява с пълна сила! Това ще видим по-долу в примери. Има някакви вицове...

Неравенствата, както и равенствата, съществуват верни и неверни.Тук всичко е просто, без трикове. Да речем 5 > 2 е истинско неравенство. 5 < 2 - неправилно.

Този препарат работи при неравности всякакъв види просто до ужас.) Просто трябва правилно да изпълните две (само две!) елементарни действия. Тези действия са познати на всички. Но, което е характерно, грешките в тези действия са основната грешка при решаването на неравенства, да... Следователно тези действия трябва да се повтарят. Тези действия се наричат ​​така:

Тъждествени преобразувания на неравенства.

Тъждествените трансформации на неравенства са много подобни на тъждествените трансформации на уравнения. Всъщност това е основният проблем. Разликите минават през главата ви и... ето ви.) Затова ще подчертая специално тези разлики. И така, първата идентична трансформация на неравенства:

1. Едно и също число или израз може да се добави (извади) към двете страни на неравенството. Всякакви. Това няма да промени знака за неравенство.

На практика това правило се използва като прехвърляне на членове от лявата страна на неравенството в дясната (и обратно) с промяна на знака. Със смяна на знака на члена, а не на неравенството! Правилото едно към едно е същото като правилото за уравнения. Но следващите идентични трансформации в неравенствата се различават значително от тези в уравненията. Затова ги маркирам в червено:

2. И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещоположителенномер. За всякаквиположителен Няма да се промени.

3. И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещоотрицателенномер. За всякаквиотрицателенномер. Знакът за неравенство от товаще се промени на обратното.

Спомняте си (надявам се...), че уравнението може да бъде умножено/разделено по всичко. И за всяко число, и за израз с X. Само да не беше нула. Това го прави, уравнението, нито горещ, нито студен.) Не се променя. Но неравенствата са по-чувствителни към умножение/деление.

Ярък пример за дълга памет. Нека напишем неравенство, което не буди съмнение:

5 > 2

Умножете двете страни по +3, получаваме:

15 > 6

Някакви възражения? Няма възражения.) И ако умножим двете страни на първоначалното неравенство по -3, получаваме:

15 > -6

И това е откровена лъжа.) Пълни лъжи! Измама на народа! Но веднага щом промените знака за неравенство на противоположния, всичко си идва на мястото:

15 < -6

Не се кълна само за лъжи и измами.) „Забравих да променя знака за равенство...“- Това У домагрешка при решаване на неравенства. Това тривиално и просто правило нарани толкова много хора! Което те забравиха...) Така че се кълна. Може би ще си спомня...)

Особено внимателните хора ще забележат, че неравенството не може да се умножи с израз с X. Уважение към тези, които са внимателни!) Защо не? Отговорът е лесен. Не знаем знака на този израз с X. То може да бъде положително, отрицателно... Следователно не знаем кой знак за неравенство да поставим след умножението. Да го сменя ли или не? неизвестен Разбира се, това ограничение (забраната за умножаване/деление на неравенство с израз с x) може да бъде заобиколено. Ако наистина имате нужда. Но това е тема за други уроци.

Това са всички тъждествени трансформации на неравенства. Нека ви напомня още веднъж, че работят за всякаквинеравенства Сега можете да преминете към конкретни видове.

Линейни неравенства. Решение, примери.

Линейните неравенства са неравенства, при които x е на първа степен и няма деление на x. Тип:

х+3 > 5x-5

Как се разрешават подобни неравенства? Решават се много лесно! А именно: с помощта на намаляваме най-объркващото линейно неравенство направо към отговора.Това е решението. Ще подчертая основните точки на решението. За да избегнете глупави грешки.)

Нека решим това неравенство:

х+3 > 5x-5

Решаваме го по абсолютно същия начин като линейно уравнение. С единствената разлика:

Ние внимателно следим знака за неравенство!

Първата стъпка е най-честата. С Х - наляво, без Х - надясно... Това е първата идентична трансформация, проста и безпроблемна.) Само не забравяйте да промените знаците на пренесените членове.

Знакът за неравенство остава:

х-5х > -5-3

Ето подобни.

Знакът за неравенство остава:

4x > -8

Остава да приложим последната идентична трансформация: разделете двете страни на -4.

Разделете на отрицателенномер.

Знакът за неравенство ще се промени на противоположния:

х < 2

Това е отговорът.

Така се решават всички линейни неравенства.

внимание! Точка 2 е изчертана бяла, т.е. небоядисана. Празно вътре. Това означава, че тя не е включена в отговора! Нарочно я нарисувах толкова здрава. Такава точка (празна, нездрава!)) в математиката се нарича пробита точка.

Останалите числа на оста могат да бъдат маркирани, но не е необходимо. Странни числа, които не са свързани с нашето неравенство, могат да бъдат объркващи, да... Просто трябва да запомните, че числата нарастват по посока на стрелката, т.е. числа 3, 4, 5 и т.н. са надясноса двойки, а числата са 1, 0, -1 и т.н. - наляво.

Неравенство x < 2 - строг. X е строго по-малко от две. Ако се съмнявате, проверката е проста. Заместваме съмнителното число в неравенството и си мислим: „Две е по-малко от две, разбира се!“ Точно. Неравенство 2 < 2 неправилно.Две в отговор не е подходящо.

Едното добре ли е? Със сигурност. По-малко... И нулата е добра, и -17, и 0,34... Да, всички числа, които са по-малки от две, са добри! И дори 1.9999... Поне малко, но по-малко!

Така че нека отбележим всички тези числа на числовата ос. как? Тук има опции. Вариант едно - засенчване. Преместваме мишката върху картината (или докосваме снимката на таблета) и виждаме, че областта на всички x, които отговарят на условието x, е защрихована < 2 . Това е всичко.

Нека да разгледаме втората опция, използвайки втория пример:

х ≥ -0,5

Начертайте ос и маркирайте числото -0,5. Като този:

Забелязвате ли разликата?) Е, да, трудно е да не забележите... Тази точка е черна! Боядисани. Това означава -0,5 е включено в отговора.Тук, между другото, проверката може да обърка някого. Нека заместим:

-0,5 ≥ -0,5

Как така? -0,5 не е повече от -0,5! И има още икона...

Всичко е наред. При слабо неравенство всичко, което пасва на иконата, е подходящо. И равно надобре и Повече ▼добре. Следователно -0,5 е включено в отговора.

И така, отбелязахме -0,5 на оста; остава да отбележим всички числа, които са по-големи от -0,5. Този път маркирам зоната на подходящи x стойности лък(от думата дъга), а не засенчване. Задръжте курсора върху рисунката и ще видите този лък.

Няма особена разлика между засенчването и ръцете. Направете както казва учителят. Ако няма учител, нарисувайте арки. При по-сложни задачи засенчването е по-малко очевидно. Можете да се объркате.

Така се чертаят линейни неравенства върху ос. Нека да преминем към следващата характеристика на неравенствата.

Записване на отговора за неравенства.

Уравненията бяха добри.) Намерихме x и записахме отговора, например: x=3. Има две форми за записване на отговорите в неравенствата. Единият е под формата на крайно неравенство. Добър за прости случаи. Например:

х< 2.

Това е пълен отговор.

Понякога трябва да запишете едно и също нещо, но в различна форма, на цифрови интервали. Тогава записът започва да изглежда много научно):

x ∈ (-∞; 2)

Под иконата ∈ думата е скрита "принадлежи".

Записът гласи така: x принадлежи на интервала от минус безкрайност до две без да включва. Съвсем логично. X може да бъде всяко число от всички възможни числа от минус безкрайност до две. Не може да има двойно Х, което ни казва думата "без да включва".

И къде в отговора става ясно, че "без да включва"? Този факт е отбелязан в отговора кръгълскоба веднага след двете. Ако двете бяха включени, скобата щеше да бъде квадрат.Ето го:]. Следващият пример използва такава скоба.

Нека запишем отговора: x ≥ -0,5 на интервали:

x ∈ [-0,5; +∞)

Чете: x принадлежи на интервала от минус 0,5, включително,до плюс безкрайност.

Безкрайността никога не може да бъде включена. Това не е число, а символ. Следователно в такива обозначения безкрайността винаги е съседна на скоба.

Тази форма на запис е удобна за сложни отговори, състоящи се от няколко интервала. Но – само за окончателни отговори. При междинни резултати, където се очаква по-нататъшно решение, е по-добре да се използва обичайната форма, под формата на просто неравенство. Ще се занимаваме с това в съответните теми.

Популярни задачи с неравенства.

Самите линейни неравенства са прости. Поради това задачите често стават по-трудни. Така че беше необходимо да се мисли. Това, ако не сте свикнали с него, не е много приятно.) Но е полезно. Ще покажа примери за такива задачи. Не ти да ги учиш, не е нужно. И за да не се плашим при среща с подобни примери. Просто помислете малко - и е просто!)

1. Намерете произволни две решения на неравенството 3x - 3< 0

Ако не е много ясно какво да правите, помнете основното правило на математиката:

Ако не знаете от какво имате нужда, направете каквото можете!)

х < 1

И какво? Нищо специално. Какво ни питат? От нас се иска да намерим две конкретни числа, които са решение на неравенство. Тези. отговаря на отговора. две всякаквичисла. Всъщност това е объркващо.) Подходящи са двойка от 0 и 0,5. Двойка -3 и -8. Безкрайно много са тези двойки! Кой отговор е верен?!

Отговарям: всичко! Всяка двойка числа, всяко от които е по-малко от едно, ще бъде правилният отговор.Напиши коя искаш. Да продължим.

2. Решете неравенството:

4x - 3 ≠ 0

Задачите в тази форма са рядкост. Но, като спомагателни неравенства, при намиране на ODZ, например, или при намиране на областта на дефиниция на функция, те се срещат през цялото време. Такова линейно неравенство може да се реши като обикновено линейно уравнение. Само навсякъде с изключение на знака "=" ( равно на) сложи знак " ≠ " (не е равно). Ето как подхождате към отговора със знак за неравенство:

х ≠ 0,75

В по-сложни примери е по-добре нещата да се правят по различен начин. Направете неравенство от равенството. Като този:

4x - 3 = 0

Решете го спокойно, както е научено, и получете отговора:

х = 0,75

Основното е, че в самия край, когато записвате крайния отговор, не забравяйте, че намерихме x, което дава равенство.И имаме нужда от - неравенство.Следователно всъщност не се нуждаем от това X.) И трябва да го запишем с правилния символ:

х ≠ 0,75

Този подход води до по-малко грешки. Тези, които решават уравнения автоматично. А за тези, които не решават уравнения, неравенствата всъщност не са от полза...) Друг пример за популярна задача:

3. Намерете най-малкото цяло число решение на неравенството:

3(x - 1) < 5x + 9

Първо просто решаваме неравенството. Отваряме скобите, местим ги, привеждаме подобни... Получаваме:

х > - 6

Не се ли получи така!? Следвахте ли знаците!? И зад знаците членове, и зад знака за неравенство...

Нека помислим отново. Трябва да намерим конкретно число, което отговаря както на отговора, така и на условието "най-малкото цяло число".Ако не ви светне веднага, можете просто да вземете произволно число и да го разберете. Две на минус шест? Със сигурност! Има ли подходящ по-малък номер? Разбира се. Например нула е по-голяма от -6. И още по-малко? Имаме нужда от най-малкото възможно нещо! Минус три е повече от минус шест! Вече можете да хванете модела и да спрете глупаво да преминавате през числа, нали?)

Нека вземем число, по-близо до -6. Например, -5. Отговорът е изпълнен, -5 > - 6. Възможно ли е да се намери друго число, по-малко от -5, но по-голямо от -6? Можете например -5,5... Спри! Казват ни цялорешение! Не се търкаля -5.5! Какво ще кажете за минус шест? Ъ-ъ-ъ! Неравенството е строго, минус 6 по никакъв начин не е по-малко от минус 6!

Следователно верният отговор е -5.

Надявам се, че всичко е ясно с избора на стойност от общото решение. Друг пример:

4. Решете неравенство:

7 < 3x+1 < 13

Еха! Този израз се нарича тройно неравенство.Строго погледнато, това е съкратена форма на система от неравенства. Но такива тройни неравенства все пак трябва да се решават в някои задачи... Решава се и без системи. Според същите идентични трансформации.

Трябва да опростим, да доведем това неравенство до чисто X. Но... Какво къде трябва да се прехвърли?! Тук е моментът да запомните, че се движите наляво и надясно съкратена формапърва трансформация на идентичността.

И пълната форма звучи така: Всяко число или израз може да се добави/извади от двете страни на уравнението (неравенство).

Тук има три части. Така че ще приложим идентични трансформации и към трите части!

И така, нека се отървем от това в средната част на неравенството. Нека извадим едно от цялата средна част. За да не се промени неравенството, изваждаме една от останалите две части. Като този:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Така е по-добре, нали?) Остава само да разделим и трите части на три:

2 < х < 4

Това е всичко. Това е отговорът. X може да бъде всяко число от две (без да се включва) до четири (без да се включва). Този отговор също се записва на интервали; такива записи ще бъдат в квадратни неравенства. Там те са най-често срещаното нещо.

В края на урока ще повторя най-важното. Успехът при решаването на линейни неравенства зависи от способността да се трансформират и опростяват линейни уравнения. Ако в същото време внимавайте за знака за неравенство,няма да има проблеми. Това ти пожелавам. Никакви проблеми.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Например неравенството е изразът \(x>5\).

Видове неравенства:

Ако \(a\) и \(b\) са числа или , тогава неравенството се извиква числови. Всъщност това е просто сравняване на две числа. Такива неравенства се разделят на веренИ неверен.

Например:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) е неправилно числено неравенство, тъй като \(17+3=20\) и \(20\) е по-малко от \(115\) (и не е по-голямо или равно на) .

Ако \(a\) и \(b\) са изрази, съдържащи променлива, тогава имаме неравенство с променлива. Такива неравенства са разделени на видове в зависимост от съдържанието:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Променлива само на първа степен
\(3x^2-x+5>0\)				Има променлива във втората степен (квадрат), но няма по-високи степени (трета, четвърта и т.н.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... и така нататък.

Какво е решението на едно неравенство?

Ако заместите число вместо променлива в неравенство, то ще се превърне в числово.

Ако дадена стойност за x превръща оригиналното неравенство в истинско числово, тогава то се извиква решение на неравенството. Ако не, тогава тази стойност не е решение. И към решаване на неравенство– трябва да намерите всички негови решения (или да покажете, че няма такива).

Например,ако заместим числото \(7\) в линейното неравенство \(x+6>10\), получаваме правилното числено неравенство: \(13>10\). И ако заместим \(2\), ще има неправилно числено неравенство \(8>10\). Тоест \(7\) е решение на първоначалното неравенство, но \(2\) не е.

Неравенството \(x+6>10\) обаче има и други решения. Наистина, ще получим правилните числени неравенства, когато заместим \(5\), и \(12\), и \(138\)... И как можем да намерим всички възможни решения? За това те използват За нашия случай имаме:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Тоест всяко число, по-голямо от четири, ще ни подхожда. Сега трябва да запишете отговора. Решенията на неравенствата обикновено се записват числено, като допълнително се маркират върху числовата ос със засенчване. За нашия случай имаме:

Отговор: \(x\in(4;+\infty)\)

Кога се променя знакът на неравенството?

Има един голям капан в неравенствата, в който учениците наистина „обичат“ да попадат:

При умножаване (или деление) на неравенство с отрицателно число, то се обръща („повече“ с „по-малко“, „повече или равно“ с „по-малко или равно“ и т.н.)

Защо се случва това? За да разберем това, нека разгледаме трансформациите на численото неравенство \(3>1\). Вярно е, три наистина е по-голямо от едно. Първо, нека се опитаме да го умножим по всяко положително число, например две:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Както виждаме, след умножението неравенството остава вярно. И без значение по какво положително число умножаваме, винаги ще получим правилното неравенство. Сега нека се опитаме да умножим по отрицателно число, например минус три:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Резултатът е неправилно неравенство, защото минус девет е по-малко от минус три! Тоест, за да стане неравенството вярно (и следователно преобразуването на умножението с минус е било „законно“), трябва да обърнете знака за сравнение по следния начин: \(−9<− 3\).
С разделянето ще се получи по същия начин, можете да го проверите сами.

Правилото, написано по-горе, важи за всички видове неравенства, не само за числовите.

Пример: Решете неравенството \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2x+2-1<7+8x\)	Нека преместим \(8x\) наляво и \(2\) и \(-1\) надясно, като не забравяме да променим знаците
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Нека разделим двете страни на неравенството на \(-6\), като не забравяме да променим от „по-малко“ на „повече“
	Нека отбележим цифров интервал върху оста. Неравенство, следователно ние „изваждаме“ самата стойност \(-1\) и не я приемаме като отговор
	Нека запишем отговора като интервал

Отговор: \(x\in(-1;\infty)\)

Неравенства и увреждания

Неравенствата, точно като уравненията, могат да имат ограничения върху , тоест върху стойностите на x. Съответно тези стойности, които са неприемливи според DZ, трябва да бъдат изключени от обхвата на решенията.

Пример: Решете неравенството \(\sqrt(x+1)<3\)

Решение: Ясно е, че за да бъде лявата страна по-малка от \(3\), радикалният израз трябва да е по-малък от \(9\) (в края на краищата от \(9\) само \(3\)). Получаваме:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(х<8\)

Всичко? Всяка стойност на x, по-малка от \(8\), ще ни подхожда? Не! Защото ако вземем, например, стойността \(-5\), която изглежда отговаря на изискването, това няма да е решение на първоначалното неравенство, тъй като ще ни доведе до изчисляване на корен от отрицателно число.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Следователно трябва да вземем предвид и ограниченията за стойността на X - не може да има отрицателно число под корена. Така имаме второто изискване за x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

И за да бъде x крайното решение, то трябва да отговаря на двете изисквания едновременно: трябва да е по-малко от \(8\) (за да бъде решение) и по-голямо от \(-1\) (за да е допустимо по принцип). Начертавайки го на числовата ос, имаме окончателния отговор:

Отговор: \(\ляво[-1;8\дясно)\)

В статията ще разгледаме решаване на неравенства. Ще ви кажем ясно за как да конструирате решение на неравенства, с ясни примери!

Преди да разгледаме решаването на неравенства с помощта на примери, нека разберем основните понятия.

Общи сведения за неравенствата

Неравенствое израз, в който функциите са свързани със знаци за релация >, . Неравенствата могат да бъдат както числови, така и буквални.
Неравенствата с два знака на съотношението се наричат ​​двойни, с три - тройни и т.н. Например:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Неравенствата, съдържащи знака > или или - не са строги.
Решаване на неравенствотое всяка стойност на променливата, за която това неравенство ще бъде вярно.
"Решете неравенство" означава, че трябва да намерим множеството от всички негови решения. Има различни методи за решаване на неравенства. За решения за неравенстваТе използват числовата линия, която е безкрайна. Например, решение на неравенството x > 3 е интервалът от 3 до +, а числото 3 не е включено в този интервал, следователно точката на правата се означава с празен кръг, т.к. неравенството е строго.
+
Отговорът ще бъде: x (3; +).
Стойността x=3 не е включена в набора от решения, така че скобите са кръгли. Знакът за безкрайност винаги се маркира със скоба. Знакът означава "принадлежност".
Нека да разгледаме как се решават неравенства, използвайки друг пример със знак:
х 2
-+
Стойността x=2 е включена в набора от решения, така че скобата е квадратна и точката на линията е обозначена със запълнен кръг.
Отговорът ще бъде: x)