3. Оценить полуширину доверительного интервала для результата косвенных измерений

,

где производные ... вычисляются при

4. Определить относительную погрешность результата

5. Если зависимость z от a, b, c ,... имеет вид , где k, l, m ‒ любые действительные числа, то сначала следует найти относительную ошибку

а затем абсолютную .

6. Окончательный результат записать в виде

z = ± Dz , ε = …% при a= … .

Примечание:

При обработке результатов прямых измерений нужно следовать следующему правилу: численные значения всех рассчитываемых величин должны содержать на один разряд больше, чем исходные (определенные экспериментально) величины.

При косвенных измерениях вычисления производить по правилам приближенных вычислений :

Правило 1. При сложении и вычитании приближенных чисел необходимо:

а) выделить слагаемое, у которого сомнительная цифра имеет наиболее высокий разряд;

б) все остальные слагаемые округлить до следующего разряда (сохраняется одна запасная цифра);

в) произвести сложение (вычитание);

г) в результате отбросить последнюю цифру путем округления (разряд сомнительной цифры результата при этом совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых).

Пример: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.

В этих числах последние значащие цифры сомнительные (неверные уже отброшены). Запишем их в виде 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064.

Видно, что у первого слагаемого сомнительная цифра 2 имеет наиболее высокий разряд (десятки). Округлив все другие числа до следующего разряда и сложив, получим

543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094·10 5 .

Правило 2. При умножении (делении) приближенных чисел необходимо:

а) выделить число (числа) с наименьшим количеством значащих цифр (ЗНАЧАЩИЕ – цифры отличные от ноля и ноли стоящие между ними );

б) округлить остальные числа так, чтобы в них было на одну значащую цифру больше (сохраняется одна запасная цифра), чем выделенном по п. а;

в) перемножить (разделить) полученные числа;

г) в результате оставить столько значащих цифр, сколько их было в числе (числах) с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример: .

Правило 3. При возведении в степень, при извлечении корня в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе.

Пример: .

Правило 4. При нахождении логарифма числа мантисса логарифма должна иметь столько значащих цифр, сколько их в исходном числе:

Пример: .

В окончательной записиабсолютной погрешности следует оставлять только одну значащую цифру . (Если этой цифрой окажется 1, то после нее сохраняют еще одну цифру).

Среднее значение округляется до того же разряда, что и абсолютная погрешность.

Например: V = (375,21 0,03) см 3 = (3,7521 0,0003) см 3 .

I = (5,530 0,013) А, A = Дж.

В большинстве случаев в ходе эксперимента несколькими приборами измеряются несколько величин и для получения конечного результата эти измерения необходимо обработать, используя математические операции: сложения, умножения и т.д. Поэтому необходимо оценивать точность опыта в целом с помощью вычисления предельной и среднеквадратической ошибок опыта.

Правила вычисления предельной относительной ошибки опыта:

1. Ошибка суммы заключена между наибольшей и наименьшей из относительных ошибок слагаемых. Обычно учитывается или наибольшая ошибка или средняя арифметическая величина (в лабораторной работе будем пользоваться средней арифметической величиной).

2. Ошибка произведения или частного равна сумме относительных ошибок сомножителей или соответственно делимого и делителя.

3. Ошибка n -ой степени основания в n раз больше относительной ошибки основания.

Для вычисления среднеквадратической ошибки результата косвенных измерений необходимо обеспечить независимость результатов измерений. В этом случае среднеквадратическая ошибка вычисления величины W , являющейся функцией измеряемых прямо параметров x , y , z , … определяется формулой:

где - частные производные функции вычисленные при средних значениях параметров x , y , z , …, - исправленные дисперсии соответственно x , y , z , ….

Пример . Определение погрешности косвенных измерений

В результате многократных измерений были получены средние значения и среднеквадратические ошибки 3-х взаимно независимых параметров:

а) предельную относительную ошибку измерений и предельную относительную ошибку определения функции

б) среднее значение и среднеквадратическую ошибку определения функции

а) Найдём предельные относительные ошибки измерений x , y , z по формуле (13):

Предельную относительную ошибку определения функции

Найдём по правилам вычисления предельной относительной ошибки опыта:

б) Вычислим среднее значение функции

Для вычисления среднеквадратической ошибки определения функции по формуле (14) найдём частные производные:

и вычислим их при средних значениях x , y , z :

Подставляя в формулу (14), получим:

4. Расчёт характеристик линейной регрессионной модели

Одним из эффективных методов установления взаимосвязей между факторами является корреляционно-регрессионный анализ.

Задача корреляционно-регрессионного метода заключается в нахождении эмпирического уравнения, характеризующего связь результативного параметра Y c определённым входным фактором Х .

В качестве формы связи Y и X широко используют линейную зависимость в силу её простоты в расчётах, а также в связи с тем, что к ней можно привести многие другие виды зависимости.

Расчёт линейной регрессионной модели включает следующие этапы:

1. Расчёт теоретического уравнения линейной регрессии;

2. Оценка силы связи, расчёт коэффициента корреляции;

3. Оценка значимости коэффициента корреляции;

4. Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии;

5. Определение адекватности уравнения регрессии и доверительных границ.

Линейная регрессия Y на X имеет вид:

где α и β - параметры регрессии (β называется коэффициентом регрессии).

Статистические оценки и параметров регрессии α и β выбираются таким образом, чтобы значения вычисленные по формуле были как можно ближе к эмпирическим значениям . В качестве меры близости выбирают сумму квадратов отклонений . Метод нахождения параметров с помощью минимизации суммы квадратов отклонений эмпирических значений от теоретических значений в тех же точках называют методом наименьших квадратов.

Оптимальные значения параметров, полученные согласно этому методу, определяются формулами:

где и - средние значения X и Y , которые вычисляют по формулам:

Учитывая (15), запишем эмпирическую линию регрессии в виде:

Силу линейной корреляционной зависимости Y и X характеризует коэффициент корреляции r . Коэффициент r изменяется в пределах от до 1. Чем ближе он к , тем сильнее линейная связь Y и X , в предельном случае, если , имеет место точная линейная функциональная зависимость Y от X . Если , то Y и X не коррелируют. Оценкой коэффициента корреляции r служит выборочный коэффициент корреляции , который вычисляется по формуле:

Коэффициент корреляции определяемый по выборочным данным, может не совпадать с действительным значением, соответствующим генеральной совокупности. Для проверки статистической гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции используют t -критерий Стьюдента, наблюдаемое значение которого вычисляется по формуле:

Критическое значение t -критерия для числа степеней свободы и уровня значимости α находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента . Если , то предположение о нулевом значении коэффициента корреляции не подтверждается, и выборочный коэффициент корреляции значим. Если , то величина r близка к нулю.

Для оценки параметров, входящих в уравнение регрессии (16) , при решении практических задач можно ограничиться построением доверительных интервалов. Для заданной надёжности γ доверительные интервалы для параметров и β определяются формулами:

где - критическое значение t -критерия для числа степеней свободы и уровня значимости , которое находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента , - квадратный корень из остаточной дисперсии , которая находится по формуле:

После получения эмпирического уравнения регрессии, проверяют насколько оно соответствует результатам наблюдений. Для проверки гипотезы о значимости уравнения регрессии используют F -критерий Фишера, наблюдаемое значение которого вычисляют по формуле:

где - исправленная дисперсия Y , которая вычисляется по формуле:

Критическое значение F -критерия для числа степеней свободы и и уровня значимости α находят по таблицам критических точек распределения Фишера-Снедекора . Если , то гипотеза о незначимости уравнения регрессии не подтверждается, и уравнение соответствует результатам наблюдений. Если , то полученное уравнение незначимо.

Ещё одной характеристикой меры того, насколько эмпирическое уравнение хорошо описывает данную систему наблюдений, является коэффициент детерминации d , который вычисляется по формуле:

Чем ближе коэффициент d к единице, тем лучше описание.

После того как модель построена, она используется для анализа и прогноза. Прогноз осуществляется подстановкой фактора в уравнение (17). Получается точечная оценка :

Доверительный интервал для прогнозируемого значения имеет вид:

где - критическое значение t -критерия для числа степеней свободы и уровня значимости , которое находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента .

Пример. Построение модели линейной регрессии

По данным наблюдений определить параметры линейного уравнения регрессии Y на X . Найти коэффициенты регрессии и корреляции проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции. Найти доверительные интервалы для параметров уравнения регрессии. Определить коэффициент детерминации. Проверить гипотезу о значимости полученного уравнения регрессии. Найти прогнозируемое моделью значение y при x=x 0 и найти для него доверительный интервал. Уровень значимости принять равным 0,05.

Для получения параметров уравнения регрессии составим таблицу. Таблица 2

В последней строке таблицы приведены суммы столбцов, используемых в расчётах.

Найдём средние значения X и Y по формуле (16):

Вычислим коэффициент регрессии по формуле (15):

И получим эмпирическое уравнение регрессии, подставляя в (17):

По формуле (28) вычислим теоретические значения и заполним два последних столбца таблицы 2.

Вычислим коэффициент корреляции по формуле (18):

И проверим гипотезу о его значимости. Наблюдаемое значение критерия найдём по формуле (19):

По таблице критических точек распределения Стьюдента найдём критическую точку распределения Стьюдента с числом степеней свободы и уровнем значимости Получим и сравним и : следовательно, коэффициент корреляции значим, и Y и X связаны линейной корреляционной зависимостью.

Для определения доверительных интервалов параметров уравнения линейной регрессии (28) найдём остаточную дисперсию по формуле (22):

Подставляя в формулу (20), получим доверительный интервал для Вычисляя, получим интервальную оценку для с надёжностью

Доверительный интервал для получим по формуле (21):

Итак, интервальная оценка для параметра с надёжностью

Проверим гипотезу о значимости полученного уравнения регрессии. Для вычисления наблюдаемого значения F -критерия найдём исправленную дисперсию Y по формуле (24): Подставляя в формулу (23), получим: По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора для числа степеней свободы и на уровне значимости найдём Сравнивая наблюдаемое и критическое значения F -критерия, получим следовательно, уравнение значимо.

Для оценки адекватности линейной модели наблюдаемым значениям найдём также коэффициент детерминации по формуле (25):

Этот результат истолковывается так: 97,1% изменчивости Y объясняется изменением фактора X , а на остальные случайные факторы приходится 2,9% изменчивости. Однако, этот вывод действителен только для рассматриваемого интервала значений X .

Используем уравнение (28) для прогноза. При точечную оценку для y получим путём подстановки в формулу (28): Доверительный интервал для получим по формуле (27):

Окончательно, интервальная оценка для с надёжностью

Лекция №8

Обработка результатов измерений

Прямые однократные и многократные измерения.

1. Прямые однократные измерения .

В общем случае задача оценки погрешности полученного результата обычно осуществляется на основе сведений о пределе допускаемой основной погрешности средства измерения (по нормативно-технической документации на используемые средства измерений) и известным значениям дополнительных погрешностей от воздействия влияющих величин. Максимальное значение суммарной погрешности результата измерения (без учета знака) можно найти суммированием составляющих по абсолютной величине:

Более реальную оценку погрешности можно получить статистическим сложением составляющих погрешности:

где - граница i-й неисключенной составляющей систематической погрешности; k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р =0,95, коэффициент k =1,11); m - число не исключённых составляющих.

Результат измерения записывается по первой форме записи результатов:

где - результат однократного измерения; - суммарная погрешность результата измерений; Р - доверительная вероятность (при Р =0,95 может не указываться).

При проведении измерений в нормальных условиях можно считать

2. Прямые многократные измерения.

Точно оценить действительное значение измеряемой величины можно лишь путем ее многократных измерений и соответствующей обработки их результатов. Правильно обработать полученные результаты наблюдений – значит получить наиболее точную оценку действительного значения измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.

В процессе обработки результатов наблюдений необходимо последовательно решить следующие основные задачи:

Определить точечные и интегральные оценки закона распределения результатов измерений по формулам:

где D(x) – точечная оценка дисперсии;

Исключить «промахи» (по одному из критериев);

Устранить систематические погрешности измерений;

Определить доверительные границы не исключённого остатка систематической составляющей, случайной составляющей и общей погрешности результата измерения;

Записать результат измерения.

Оценивание погрешности косвенных измерений. Основные принципы и этапы расчетов. ГОСТы на обработку результатов.

Погрешности косвенных измерений

Оценка погрешностей, возникающих при косвенных измерениях, основывается на следующих предположениях:

1. Относительные погрешности величин, полученных прямыми измерениями и участвующих в расчете искомой величины, должны быть малы по сравнению с единицей (на практике они не должны превышать 10%).

2. Для погрешностей всех величин, участвующих в расчете, принята одна и та же доверительная вероятность. Эту же доверительную вероятность будет иметь и погрешность искомой величины.

3. Наиболее вероятное значение искомой величины получается, если для ее расчета используются наиболее вероятные значения исходных величин, т.е. их средние арифметические значения.

Погрешность в случае одной исходной величины.

Абсолютная погрешность. Пусть искомая величина y , измеряемая косвенно, зависит только от одной величины a , полученной прямым измерением. Границы интервала, в котором с заданной вероятностью лежит величина a , определяются средним арифметическим значением и полной абсолютной погрешностью a величины a . Это значит, что значение a может лежать внутри интервала с границами ± a .

При косвенном измерении для величины y (a ) такие границы будут определяться ее наиболее вероятным значением = y () и погрешностью y , т.е. значения y лежат внутри интервала с границами ± y . Верхней границей для y (при монотонном возрастании) будет значение, соответствующее верхней границе a , т.е. значение + y = y ( + а ) . Таким образом, абсолютная погрешность y величины y имеет вид приращения функции y(a) , вызванного приращением ее аргумента a на величину a его абсолютной погрешности. Следовательно, можно воспользоваться правилами дифференциального исчисления, согласно которому при малых значениях a приращение y можно приближенно выразить в виде

Здесь - производная по a функции y(a) при a = .

Таким образом, абсолютная погрешность окончательного результата может быть вычислена с помощью формулы (1), причем доверительная вероятность соответствует той доверительной вероятности, которую имеет a .

Относительная погрешность. Чтобы найти относительную погрешность значения y , поделим (1) на y и примем во внимание, что

представляет собой производную по a натурального логарифма y . В результате получится

Если в это выражение подставить a = и y = , то его значение и будет относительной погрешностью величины y .

Для обработки результатов измерений используется ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений».

8.3. Результат измерения и оценка его среднего квадратического отклонения:

1. Способы обнаружения грубых погрешностей должны быть указаны в методике выполнения измерений. Если результаты наблюдений можно считать принадлежащими к нормальному распределению, грубые погрешности исключают.

2. За результат измерения принимают среднее арифметическое результатов наблюдений, в которые предварительно введены поправки для исключения систематических погрешностей.

3. Среднее квадратическое отклонение S результата наблюдения оценивают согласно НТД.

4. Среднее квадратическое отклонение результата измерения оценивают по формуле

,

где х i - i -й результат наблюдения;

Результат измерения (среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений);

n - число результатов наблюдений;

Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения.

8.4. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения:

1. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения в соответствии с настоящим стандартом устанавливают для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению. Если это условие не выполняется, методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.

1.1. При числе результатов наблюдений n >50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению по НТД предпочтительным является один из критериев: χ 2 Пирсона или ω 2 Мизеса - Смирнова.

При обработке результатов косвенных измерений физической величины, связанной функционально с физическими величинами А, В и С, которые измеряются прямым способом, сначала определяют относительную погрешность косвенного измерения e= DХ/Х пр, пользуясь формулами, приведенными в таблице (без доказательств).

Абсолютную погрешность определяется по формуле DХ=Х пр *e,

где e выражается десятичной дробью, а не в процентах.

Окончательный результат записывается так же, как и в случае прямых измерений

(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm полезно) Как правильно проводить измерения http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220

Пример: Вычислим погрешность измерения коэффициента трения с помощью динамометра. Опыт заключается в том, что брусок равномерно тянут по горизонтальной поверхности и измеряют прикладываемую силу: она равна силе трения скольжения.

С помощью динамометра взвесим брусок с грузами: 1,8 Н. F тр =0,6 Н

μ=0,33. Инструментальная погрешность динамометра (находим по таблице) составляет Δ и =0,05Н, Погрешность отсчета (половина цены деления)

Δ о =0,05Н. Абсолютная погрешность измерения веса и силы трения 0,1 Н.

Относительная погрешность измерения (в таблице 5-я строчка)

Следовательно абсолютная погрешность косвенного измерения μ составляет 0,22*0,33=0,074

Ответ:

Измерить физическую величину - значит сравнить ее с другой однородной величиной, принятой за единицу измерения. Измерение может быть произведено с помощью:

1. мер, представляющих собой образцы единицы измерения (метр, гиря, литровый сосуд и т.п.),

2. измерительных приборов (амперметр, манометр и т.п.),

3. измерительных установок, под которыми понимают совокупность мер, измерительных приборов и вспомогательных элементов.

Измерения бывают прямые и косвенные. В прямых измерениях физическая величина измеряется непосредственно. Прямыми измерениями являются, например, измерение длины линейкой, времени - секундомером, силы тока - амперметром.

В косвенных измерениях непосредственно измеряют не ту величину, значение которой нужно узнать, а другие величины, с которыми искомая величина связана определенной математической зависимостью. Например, плотность тела определяют по измерению его массы и объема, а сопротивление - по измерению силы тока и напряжения.

В силу несовершенства мер и измерительных приборов, а также наших органов чувств, измерения не могут быть выполнены точно, т.е. всякое измерение дает лишь приближенный результат. Кроме того, часто причиной отклонения результатов измерений является природа самой измеряемой величины. Например, температура, измеряемая термометром или термопарой в определенной точке печи, колеблется вследствие конвекции и теплопроводности в определенных пределах. Мерой оценки точности результата измерения служит погрешность измерения (ошибка измерения) .

Для оценки точности указывают либо абсолютную погрешность, либо относительную погрешность измерения. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины. Например, отрезок пути, пройденный телом, , измерен с абсолютной погрешностью . Относительная погрешность измерения - это отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. В приведенном примере относительная погрешность равна . Чем меньше погрешность измерения, тем выше его точность.

По источникам своего происхождения погрешности измерения подразделяют на систематические, случайные и грубые (промахи).

1. Систематические погрешности - погрешности измерения, величина которых остается постоянной при повторных измерениях, проводимых одним и тем же методом, с помощью одних и тех же измерительных приборов. Причинами систематических погрешностей являются:

· неисправности, неточности измерительных приборов

· неправомерность, неточность использованной методики измерения

Примером систематических погрешностей может быть измерение температуры термометром со смещенной нулевой точкой, измерение тока неправильно отградуированным амперметром, взвешивание тела на весах при помощи гирь без учета выталкивающей силы Архимеда.

Для устранения или уменьшения систематических погрешностей надо тщательно проверить измерительные приборы, произвести измерение одних и тех же величин разными методами, вводить поправки, когда ошибки заведомо известны (поправки на выталкивающую силу, поправки на показания термометра).

2. Грубые ошибки (промахи) - существенное превышение величины погрешности, ожидаемой при данных условиях измерения. Промахи появляются в результате неправильной записи показаний прибора, неправильного отсчета по прибору, из-за ошибки в расчетах при косвенных измерениях. Источник промахов - невнимательность экспериментатора. Путь устранения этих погрешностей - аккуратность экспериментатора, исключение переписывания протоколов измерения.

3. Случайные погрешности - погрешности, величина которых меняется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины одним и тем же методом при помощи тех же приборов. Источником случайных погрешностей является неконтролируемая невоспроизводимость условий измерения. Например, во время измерения неконтролируемым образом может меняться температура, влажность, атмосферное давление, напряжение в электрической сети, состояния органов чувств экспериментатора. Исключить случайные погрешности нельзя. При многократных измерениях случайные ошибки подчиняются статистическим законам, и их влияние можно учесть.