Como provar desigualdades exponenciais. Desigualdades exponenciais. Aula e apresentação sobre o tema: “Equações exponenciais e desigualdades exponenciais”

Diagrama na Figura 5:

E o seguinte exemplo: Resolva a desigualdade 0,6 2x – 3< 0,36 .

Seguindo o diagrama da Figura 5, obtemos
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2х – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Responder: (2,5; +∞) .

Consideremos o último esquema para resolver uma desigualdade da forma e f(x)< b , no a>0 E b<0 , apresentado na Figura 6:

Por exemplo, vamos resolver a desigualdade:

Notamos que não importa qual número substituamos x, o lado esquerdo da desigualdade é sempre maior que zero e, no nosso caso, esta expressão é menor que -8, ou seja, e zero, o que significa que não há soluções.

Responder: sem soluções.

Sabendo como resolver as desigualdades exponenciais mais simples, você pode prosseguir para resolvendo desigualdades exponenciais.

Exemplo 1.

Encontre o maior valor inteiro de x que satisfaz a desigualdade

Como 6 x é maior que zero (em nenhum x o denominador vai para zero), multiplicando ambos os lados da desigualdade por 6 x, obtemos:

440 – 2 6 2x > 8, então
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Resposta 1.

Exemplo 2.

Resolva a desigualdade 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Vamos denotar 2 x por y, obter a desigualdade y 2 – 3y + 2 ≤ 0 e resolver esta desigualdade quadrática.

y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 e y 2 = 2.

Os ramos da parábola estão direcionados para cima, vamos desenhar um gráfico:

Então a solução para a desigualdade será a desigualdade 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Responder: (0; 1) .

Exemplo 3. Resolva a desigualdade 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Vamos coletar expressões com as mesmas bases em uma parte da desigualdade

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Vamos tirar 5 x dos colchetes no lado esquerdo da desigualdade e 3 x no lado direito da desigualdade e obteremos a desigualdade

5 x (5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3·5x< (25/3)·3 х

Dividindo ambos os lados da desigualdade pela expressão 3 3 x, o sinal da desigualdade não muda, pois 3 3 x é um número positivo, obtemos a desigualdade:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

Responder: (–∞; 2) .

Se você tiver dúvidas sobre como resolver desigualdades exponenciais ou quiser praticar a resolução de exemplos semelhantes, inscreva-se nas minhas aulas. Tutora Valentina Galinevskaya.

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Resolver a maioria dos problemas matemáticos de uma forma ou de outra envolve a transformação de expressões numéricas, algébricas ou funcionais. O acima exposto aplica-se especialmente à decisão. Nas versões do Exame Estadual Unificado em matemática, esse tipo de problema inclui, em particular, a tarefa C3. Aprender a resolver tarefas C3 é importante não apenas para passar no Exame Estadual Unificado, mas também porque essa habilidade será útil ao estudar um curso de matemática no ensino médio.

Ao completar tarefas C3, você terá que resolver vários tipos de equações e inequações. Entre eles estão racionais, irracionais, exponenciais, logarítmicos, trigonométricos, contendo módulos (valores absolutos), bem como combinados. Este artigo discute os principais tipos de equações e desigualdades exponenciais, bem como vários métodos para resolvê-las. Leia sobre como resolver outros tipos de equações e desigualdades na seção “” em artigos dedicados a métodos para resolver problemas C3 do Exame Estadual Unificado em matemática.

Antes de começarmos a analisar especificamente equações exponenciais e desigualdades, como professor de matemática, sugiro que você atualize algum material teórico que precisaremos.

Função exponencial

O que é uma função exponencial?

Função do formulário sim = um x, Onde a> 0 e a≠ 1 é chamado função exponencial.

Básico propriedades da função exponencial sim = um x:

Gráfico de uma função exponencial

O gráfico da função exponencial é expoente:

Gráficos de funções exponenciais (expoentes)

Resolvendo equações exponenciais

Indicativo são chamadas equações nas quais a variável desconhecida é encontrada apenas em expoentes de algumas potências.

Para soluções equações exponenciais você precisa saber e ser capaz de usar o seguinte teorema simples:

Teorema 1. Equação exponencial a f(x) = a g(x) (Onde a > 0, a≠ 1) é equivalente à equação f(x) = g(x).

Além disso, é útil lembrar as fórmulas básicas e operações com graus:

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Exemplo 1. Resolva a equação:

Solução: Usamos as fórmulas acima e substituição:

A equação então se torna:

O discriminante da equação quadrática resultante é positivo:

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Isso significa que esta equação tem duas raízes. Nós os encontramos:

Passando para a substituição reversa, obtemos:

A segunda equação não tem raízes, pois a função exponencial é estritamente positiva em todo o domínio de definição. Vamos resolver o segundo:

Levando em consideração o que foi dito no Teorema 1, passamos para a equação equivalente: x= 3. Esta será a resposta para a tarefa.

Responder: x = 3.

Exemplo 2. Resolva a equação:

Solução: A equação não tem restrições quanto à faixa de valores permitidos, pois a expressão radical faz sentido para qualquer valor x(função exponencial sim = 9 4 -x positivo e diferente de zero).

Resolvemos a equação por transformações equivalentes usando as regras de multiplicação e divisão de potências:

A última transição foi realizada de acordo com o Teorema 1.

Responder:x= 6.

Exemplo 3. Resolva a equação:

Solução: ambos os lados da equação original podem ser divididos por 0,2 x. Esta transição será equivalente, pois esta expressão é maior que zero para qualquer valor x(a função exponencial é estritamente positiva em seu domínio de definição). Então a equação assume a forma:

Responder: x = 0.

Exemplo 4. Resolva a equação:

Solução: simplificamos a equação para uma equação elementar por meio de transformações equivalentes usando as regras de divisão e multiplicação de potências dadas no início do artigo:

Dividindo ambos os lados da equação por 4 x, como no exemplo anterior, é uma transformação equivalente, pois esta expressão não é igual a zero para nenhum valor x.

Responder: x = 0.

Exemplo 5. Resolva a equação:

Solução: função sim = 3x, situado no lado esquerdo da equação, está aumentando. Função sim = —x O -2/3 no lado direito da equação está diminuindo. Isso significa que se os gráficos dessas funções se cruzarem, então no máximo um ponto. Neste caso, é fácil adivinhar que os gráficos se cruzam no ponto x= -1. Não haverá outras raízes.

Responder: x = -1.

Exemplo 6. Resolva a equação:

Solução: simplificamos a equação por meio de transformações equivalentes, tendo em mente em todos os lugares que a função exponencial é estritamente maior que zero para qualquer valor x e utilizando as regras de cálculo do produto e quociente de potências fornecidas no início do artigo:

Responder: x = 2.

Resolvendo desigualdades exponenciais

Indicativo são chamadas de desigualdades nas quais a variável desconhecida está contida apenas em expoentes de algumas potências.

Para soluções desigualdades exponenciaisé necessário conhecimento do seguinte teorema:

Teorema 2. Se a> 1, então a desigualdade a f(x) > a g(x) é equivalente a uma desigualdade de mesmo significado: f(x) > g(x). Se 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) é equivalente a uma desigualdade com significado oposto: f(x) < g(x).

Exemplo 7. Resolva a desigualdade:

Solução: Vamos apresentar a desigualdade original na forma:

Vamos dividir ambos os lados desta desigualdade por 3 2 x, neste caso (devido à positividade da função sim= 3 2x) o sinal de desigualdade não mudará:

Vamos usar a substituição:

Então a desigualdade assumirá a forma:

Então, a solução para a desigualdade é o intervalo:

passando para a substituição inversa, obtemos:

Devido à positividade da função exponencial, a desigualdade à esquerda é satisfeita automaticamente. Usando a conhecida propriedade do logaritmo, passamos para a desigualdade equivalente:

Como a base do grau é um número maior que um, equivalente (pelo Teorema 2) é a transição para a seguinte desigualdade:

Então, finalmente conseguimos responder:

Exemplo 8. Resolva a desigualdade:

Solução: Usando as propriedades de multiplicação e divisão de potências, reescrevemos a desigualdade na forma:

Vamos introduzir uma nova variável:

Levando em conta esta substituição, a desigualdade assume a forma:

Multiplicando o numerador e o denominador da fração por 7, obtemos a seguinte desigualdade equivalente:

Então, os seguintes valores da variável satisfazem a desigualdade t:

Então, passando para a substituição inversa, obtemos:

Como a base do grau aqui é maior que um, a transição para a desigualdade será equivalente (de acordo com o Teorema 2):

Finalmente conseguimos responder:

Exemplo 9. Resolva a desigualdade:

Solução:

Dividimos ambos os lados da desigualdade pela expressão:

É sempre maior que zero (devido à positividade da função exponencial), portanto não há necessidade de alterar o sinal da desigualdade. Nós temos:

t localizado no intervalo:

Passando para a substituição inversa, descobrimos que a desigualdade original se divide em dois casos:

A primeira desigualdade não tem solução devido à positividade da função exponencial. Vamos resolver o segundo:

Exemplo 10. Resolva a desigualdade:

Solução:

Ramos de parábola sim = 2x+2-x 2 são direcionados para baixo, portanto são limitados de cima pelo valor que atinge em seu vértice:

Ramos de parábola sim = x 2 -2x O +2 no indicador está direcionado para cima, o que significa que é limitado desde baixo pelo valor que atinge em seu vértice:

Ao mesmo tempo, a função também acaba sendo limitada por baixo sim = 3 x 2 -2x+2, que está no lado direito da equação. Atinge seu menor valor no mesmo ponto da parábola no expoente, e esse valor é 3 1 = 3. Portanto, a desigualdade original só pode ser verdadeira se a função à esquerda e a função à direita assumirem o valor , igual a 3 (a intersecção dos intervalos de valores dessas funções é apenas este número). Esta condição é satisfeita em um único ponto x = 1.

Responder: x= 1.

Para aprender a decidir equações e desigualdades exponenciais;é necessário treinar constantemente para resolvê-los. Vários materiais didáticos, livros de problemas de matemática elementar, coleções de problemas competitivos, aulas de matemática na escola, bem como aulas individuais com um tutor profissional podem ajudá-lo nesta difícil tarefa. Desejo sinceramente sucesso na preparação e excelentes resultados no exame.

Sergei Valerievich

P.S. Caros convidados! Por favor, não escreva pedidos para resolver suas equações nos comentários. Infelizmente, não tenho absolutamente nenhum tempo para isso. Tais mensagens serão deletadas. Por favor, leia o artigo. Talvez nele você encontre respostas para perguntas que não lhe permitiram resolver seu problema sozinho.

Muitas pessoas pensam que as desigualdades exponenciais são algo complexo e incompreensível. E que aprender a resolvê-los é quase uma grande arte, que só os Escolhidos conseguem compreender...

Bobagem completa! As desigualdades exponenciais são fáceis. E eles são sempre resolvidos de forma simples. Bem, quase sempre :)

Hoje veremos esse tópico por dentro e por fora. Esta lição será muito útil para aqueles que estão apenas começando a entender esta seção da matemática escolar. Vamos começar com problemas simples e passar para questões mais complexas. Não haverá nenhum trabalho árduo hoje, mas o que você lê agora será suficiente para resolver a maioria das desigualdades em todos os tipos de testes e trabalhos independentes. E neste seu exame também.

Como sempre, vamos começar com a definição. Uma desigualdade exponencial é qualquer desigualdade que contenha uma função exponencial. Em outras palavras, sempre pode ser reduzido a uma desigualdade da forma

\[((a)^(x)) \gt b\]

Onde o papel de $b$ pode ser um número comum, ou talvez algo mais difícil. Exemplos? Sim por favor:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quádruplo ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\fim(alinhar)\]

Acho que o significado é claro: existe uma função exponencial $((a)^(x))$, ela é comparada com algo e então solicitada a encontrar $x$. Em casos particularmente clínicos, em vez da variável $x$, podem colocar alguma função $f\left(x \right)$ e com isso complicar um pouco a desigualdade :).

É claro que, em alguns casos, a desigualdade pode parecer mais grave. Por exemplo:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ou mesmo isto:

Em geral, a complexidade de tais desigualdades pode ser muito diferente, mas no final elas ainda se reduzem à simples construção $((a)^(x)) \gt b$. E de alguma forma descobriremos tal construção (especialmente em casos clínicos, quando nada vem à mente, os logaritmos nos ajudarão). Portanto, agora vamos te ensinar como resolver construções tão simples.

Resolvendo desigualdades exponenciais simples

Vamos considerar algo muito simples. Por exemplo, isto:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Obviamente, o número à direita pode ser reescrito como uma potência de dois: $4=((2)^(2))$. Assim, a desigualdade original pode ser reescrita de uma forma muito conveniente:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

E agora minhas mãos estão ansiosas para “riscar” os dois nas bases das potências para obter a resposta $x \gt 2$. Mas antes de riscar qualquer coisa, vamos lembrar as potências de dois:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Como você pode ver, quanto maior o número no expoente, maior será o número de saída. "Obrigado, capitão!" - exclamará um dos alunos. É diferente? Infelizmente, isso acontece. Por exemplo:

\[((\esquerda(\frac(1)(2) \direita))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\esquerda(\frac(1)(2) \ direita))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\esquerda(\frac(1)(2) \direita))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Também aqui tudo é lógico: quanto maior o grau, mais vezes o número 0,5 é multiplicado por si mesmo (ou seja, dividido ao meio). Assim, a sequência de números resultante é decrescente, e a diferença entre a primeira e a segunda sequência está apenas na base:

• Se a base de grau $a \gt 1$, então à medida que o expoente $n$ aumenta, o número $((a)^(n))$ também aumentará;
• E vice-versa, se $0 \lt a \lt 1$, então à medida que o expoente $n$ aumenta, o número $((a)^(n))$ diminuirá.

Resumindo esses fatos, obtemos a afirmação mais importante na qual se baseia toda a solução das desigualdades exponenciais:

Se $a \gt 1$, então a desigualdade $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ é equivalente à desigualdade $x \gt n$. Se $0 \lt a \lt 1$, então a desigualdade $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ é equivalente à desigualdade $x \lt n$.

Em outras palavras, se a base for maior que um, você pode simplesmente removê-la - o sinal de desigualdade não mudará. E se a base for menor que um, então também pode ser removida, mas ao mesmo tempo terá que alterar o sinal de desigualdade.

Observe que não consideramos as opções $a=1$ e $a\le 0$. Porque nestes casos surge a incerteza. Digamos como resolver uma desigualdade da forma $((1)^(x)) \gt 3$? Um elevado a qualquer potência dará novamente um - nunca obteremos três ou mais. Aqueles. não há soluções.

Com motivos negativos tudo fica ainda mais interessante. Por exemplo, considere esta desigualdade:

\[((\esquerda(-2 \direita))^(x)) \gt 4\]

À primeira vista, tudo é simples:

Certo? Mas não! Basta substituir alguns números pares e ímpares em vez de $x$ para ter certeza de que a solução está incorreta. Dê uma olhada:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Como você pode ver, os sinais se alternam. Mas também existem poderes fracionários e outras bobagens. Como, por exemplo, você ordenaria o cálculo de $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (menos dois elevado a sete)? Sem chance!

Portanto, para fins de definição, assumimos que em todas as desigualdades exponenciais (e equações, aliás, também) $1\ne a \gt 0$. E então tudo se resolve de forma muito simples:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\fim(alinhar) \direita.\]

Em geral, lembre-se mais uma vez da regra principal: se a base de uma equação exponencial for maior que um, você pode simplesmente removê-la; e se a base for menor que um, também pode ser removida, mas o sinal da desigualdade mudará.

Exemplos de soluções

Então, vejamos algumas desigualdades exponenciais simples:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\fim(alinhar)\]

A tarefa principal em todos os casos é a mesma: reduzir as desigualdades à forma mais simples $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. É exatamente isso que faremos agora com cada desigualdade e, ao mesmo tempo, repetiremos as propriedades dos graus e das funções exponenciais. Então vamos!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

O que você pode fazer aqui? Pois bem, à esquerda já temos uma expressão indicativa - nada precisa ser alterado. Mas à direita há algum tipo de porcaria: uma fração e até uma raiz no denominador!

Porém, vamos lembrar as regras para trabalhar com frações e potências:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\fim(alinhar)\]

O que isso significa? Primeiro, podemos facilmente eliminar a fração transformando-a numa potência com um expoente negativo. E em segundo lugar, como o denominador tem uma raiz, seria bom transformá-lo em uma potência - desta vez com um expoente fracionário.

Vamos aplicar essas ações sequencialmente ao lado direito da desigualdade e ver o que acontece:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left((((2)^(\frac( 1)(3))) \direita))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \esquerda(-1 \direita)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Não se esqueça que ao elevar um grau a uma potência, os expoentes desses graus se somam. E em geral, ao trabalhar com equações e desigualdades exponenciais, é absolutamente necessário conhecer pelo menos as regras mais simples para trabalhar com potências:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\fim(alinhar)\]

Na verdade, acabamos de aplicar a última regra. Portanto, nossa desigualdade original será reescrita da seguinte forma:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Agora nos livramos dos dois na base. Como 2 > 1, o sinal de desigualdade permanecerá o mesmo:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Essa é a solução! A principal dificuldade não está na função exponencial, mas na transformação competente da expressão original: é preciso trazê-la com cuidado e rapidez à sua forma mais simples.

Considere a segunda desigualdade:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Mais ou menos. Frações decimais nos aguardam aqui. Como já disse muitas vezes, em qualquer expressão com potências você deve se livrar dos decimais - esta é muitas vezes a única maneira de ver uma solução rápida e simples. Aqui vamos nos livrar de:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\esquerda(\frac(1)(10) \direita))^(2)). \\\fim(alinhar)\]

Aqui novamente temos a desigualdade mais simples, e mesmo com base de 1/10, ou seja, menos de um. Pois bem, retiramos as bases, mudando simultaneamente o sinal de “menos” para “mais”, e obtemos:

\[\begin(alinhar) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\fim(alinhar)\]

Recebemos a resposta final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Observe: a resposta é precisamente um conjunto e em nenhum caso uma construção da forma $x \lt -1$. Porque formalmente, tal construção não é um conjunto, mas uma desigualdade em relação à variável $x$. Sim, é muito simples, mas não é a resposta!

Nota importante. Esta desigualdade poderia ser resolvida de outra forma - reduzindo ambos os lados a uma potência com base maior que um. Dê uma olhada:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cponto 2))\]

Após tal transformação, obteremos novamente uma desigualdade exponencial, mas com base 10 > 1. Isso significa que podemos simplesmente riscar os dez - o sinal da desigualdade não mudará. Nós temos:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\fim(alinhar)\]

Como você pode ver, a resposta foi exatamente a mesma. Ao mesmo tempo, evitamos a necessidade de mudar a placa e geralmente lembrar de todas as regras :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

No entanto, não deixe isso assustar você. Não importa o que esteja nos indicadores, a tecnologia para resolver a desigualdade permanece a mesma. Portanto, observemos primeiro que 16 = 2 4. Vamos reescrever a desigualdade original levando em consideração este fato:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Viva! Obtivemos a desigualdade quadrática usual! O sinal não mudou em lugar nenhum, pois a base é dois - um número maior que um.

Zeros de uma função na reta numérica

Organizamos os sinais da função $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - obviamente, seu gráfico será uma parábola com ramificações para cima, então haverá “vantagens " dos lados. Estamos interessados ​​na região onde a função é menor que zero, ou seja, $x\in \left(2;5 \right)$ é a resposta para o problema original.

Finalmente, considere outra desigualdade:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Novamente vemos uma função exponencial com uma fração decimal na base. Vamos converter esta fração em uma fração comum:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\esquerda(((5)^(-1)) \direita))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

Neste caso, utilizámos a observação dada anteriormente - reduzimos a base ao número 5 > 1 para simplificar a nossa solução adicional. Vamos fazer o mesmo com o lado direito:

\[\frac(1)(25)=((\esquerda(\frac(1)(5) \direita))^(2))=((\esquerda(((5)^(-1)) \ direita))^(2))=((5)^(-1\cponto 2))=((5)^(-2))\]

Vamos reescrever a desigualdade original levando em conta ambas as transformações:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \direita)))\ge ((5)^(-2))\]

As bases de ambos os lados são iguais e excedem um. Não há outros termos à direita e à esquerda, então simplesmente “riscamos” os cincos e obtemos uma expressão muito simples:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

É aqui que você precisa ter mais cuidado. Muitos estudantes gostam de simplesmente tirar a raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade e escrever algo como $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Sob nenhuma circunstância isso deve ser feito , uma vez que a raiz de um quadrado exato é um módulo e em nenhum caso uma variável original:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\esquerda| x\direita|\]

Porém, trabalhar com módulos não é a experiência mais agradável, não é mesmo? Então não vamos trabalhar. Em vez disso, simplesmente movemos todos os termos para a esquerda e resolvemos a inequação usual usando o método do intervalo:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\fim(alinhar)$

Marcamos novamente os pontos obtidos na reta numérica e observamos os sinais:

Como estávamos resolvendo uma desigualdade não estrita, todos os pontos do gráfico estão sombreados. Portanto, a resposta será: $x\in \left[ -1;1 \right]$ não é um intervalo, mas sim um segmento.

Em geral, gostaria de observar que não há nada de complicado nas desigualdades exponenciais. O significado de todas as transformações que realizamos hoje se resume a um algoritmo simples:

• Encontre a base à qual reduziremos todos os graus;
• Execute cuidadosamente as transformações para obter uma desigualdade da forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. É claro que, em vez das variáveis ​​$x$ e $n$, podem existir funções muito mais complexas, mas o significado não mudará;
• Risque as bases dos graus. Neste caso, o sinal de desigualdade pode mudar se a base $a \lt 1$.

Na verdade, este é um algoritmo universal para resolver todas essas desigualdades. E tudo o mais que eles vão te contar sobre esse assunto são apenas técnicas e truques específicos que vão simplificar e acelerar a transformação. Falaremos sobre uma dessas técnicas agora :)

Método de racionalização

Vamos considerar outro conjunto de desigualdades:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\esquerda(\frac(1)(3) \direita))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\esquerda(\frac(1)(9) \direita))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Então, o que há de tão especial neles? Eles são leves. Embora, pare! O número π é elevado a alguma potência? Que absurdo?

Como elevar o número $2\sqrt(3)-3$ a uma potência? Ou $3-2\sqrt(2)$? Os escritores problemáticos obviamente beberam muito Hawthorn antes de se sentarem para trabalhar :).

Na verdade, não há nada de assustador nessas tarefas. Deixe-me lembrá-lo: uma função exponencial é uma expressão da forma $((a)^(x))$, onde a base $a$ é qualquer número positivo, exceto um. O número π é positivo – já sabemos disso. Os números $2\sqrt(3)-3$ e $3-2\sqrt(2)$ também são positivos - isso é fácil de ver se você os comparar com zero.

Acontece que todas essas desigualdades “assustadoras” não são resolvidas de forma diferente das simples discutidas acima? E eles são resolvidos da mesma maneira? Sim, isso está absolutamente certo. No entanto, usando o exemplo deles, gostaria de considerar uma técnica que economiza muito tempo em trabalhos independentes e exames. Falaremos sobre o método de racionalização. Então, atenção:

Qualquer desigualdade exponencial da forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ é equivalente à desigualdade $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ certo) \gt 0 $.

Esse é todo o método :) Você achou que haveria algum tipo de outro jogo? Nada como isso! Mas este simples fato, escrito literalmente em uma linha, simplificará muito o nosso trabalho. Dê uma olhada:

\[\begin(matriz) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Portanto não existem mais funções exponenciais! E você não precisa lembrar se o sinal muda ou não. Mas surge um novo problema: o que fazer com o maldito multiplicador \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Não sabemos qual é o valor exato do número π. No entanto, o capitão parece sugerir o óbvio:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\aprox 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Em geral, o valor exato de π não nos preocupa realmente - é importante apenas entendermos que em qualquer caso $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. esta é uma constante positiva e podemos dividir ambos os lados da desigualdade por ela:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Como vocês podem ver, em determinado momento tivemos que dividir por menos um - e o sinal da desigualdade mudou. No final, expandi o trinômio quadrático usando o teorema de Vieta - é óbvio que as raízes são iguais a $((x)_(1))=5$ e $((x)_(2))=-1$ . Então tudo é resolvido usando o método clássico de intervalo:

Todos os pontos são removidos porque a desigualdade original é estrita. Estamos interessados ​​na região com valores negativos, então a resposta é $x\in \left(-1;5 \right)$. Essa é a solução. :)

Vamos para a próxima tarefa:

\[((\esquerda(2\sqrt(3)-3 \direita))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Tudo aqui geralmente é simples, pois há uma unidade à direita. E lembramos que um é qualquer número elevado a zero. Mesmo que este número seja uma expressão irracional na base à esquerda:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \direita))^(0)); \\ & ((\esquerda(2\sqrt(3)-3 \direita))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\esquerda(2\sqrt(3)-3 \direita))^(0)); \\\fim(alinhar)\]

Bem, vamos racionalizar:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Resta apenas descobrir os sinais. O fator $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ não contém a variável $x$ - é apenas uma constante e precisamos descobrir seu sinal. Para fazer isso, observe o seguinte:

\[\begin(matriz) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \direita)=0 \\\fim(matriz)\]

Acontece que o segundo fator não é apenas uma constante, mas uma constante negativa! E ao dividir por ele, o sinal da desigualdade original muda para o oposto:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Agora tudo se torna completamente óbvio. As raízes do trinômio quadrado à direita são: $((x)_(1))=0$ e $((x)_(2))=2$. Nós os marcamos na reta numérica e observamos os sinais da função $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Estamos interessados ​​nos intervalos marcados com um sinal de mais. Resta anotar a resposta:

Vamos passar para o próximo exemplo:

\[((\esquerda(\frac(1)(3) \direita))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\esquerda(\frac(1)(9) \ direita))^(16-x))\]

Bem, tudo é completamente óbvio aqui: as bases contêm potências do mesmo número. Portanto, escreverei tudo brevemente:

\[\begin(matriz) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\esquerda(((3)^(-1)) \direita))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\esquerda(((3)^(-2)) \direita))^(16-x)) \\\end(matriz)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ esquerda(16-x \direita))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Como você pode ver, durante o processo de transformação tivemos que multiplicar por um número negativo, então o sinal da desigualdade mudou. No final, apliquei novamente o teorema de Vieta para fatorar o trinômio quadrático. Como resultado, a resposta será a seguinte: $x\in \left(-8;4 \right)$ - qualquer um pode verificar isso desenhando uma reta numérica, marcando os pontos e contando os sinais. Enquanto isso, passaremos para a última desigualdade do nosso “conjunto”:

\[((\esquerda(3-2\sqrt(2) \direita))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Como você pode ver, na base há novamente um número irracional e à direita há novamente uma unidade. Portanto, reescrevemos nossa desigualdade exponencial da seguinte forma:

\[((\esquerda(3-2\sqrt(2) \direita))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\esquerda(3-2\sqrt(2) \ direita))^(0))\]

Aplicamos racionalização:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

No entanto, é bastante óbvio que $1-\sqrt(2) \lt 0$, já que $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Portanto, o segundo fator é novamente uma constante negativa, pela qual ambos os lados da desigualdade podem ser divididos:

\[\begin(matriz) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\fim(matriz)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Mude para outra base

Um problema separado ao resolver desigualdades exponenciais é a busca pela base “correta”. Infelizmente, nem sempre é óbvio, à primeira vista, o que tomar como base e o que fazer de acordo com o grau dessa base.

Mas não se preocupe: não existe magia ou tecnologia “secreta” aqui. Em matemática, qualquer habilidade que não possa ser algoritmizada pode ser facilmente desenvolvida através da prática. Mas para isso você terá que resolver problemas de diferentes níveis de complexidade. Por exemplo, assim:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\esquerda(\frac(1)(3) \direita))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ fim(alinhar)\]

Difícil? Apavorante? É mais fácil do que bater numa galinha no asfalto! Vamos tentar. Primeira desigualdade:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Bem, acho que tudo está claro aqui:

Reescrevemos a desigualdade original, reduzindo tudo à base dois:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \direita)\cdot \esquerda(2-1 \direita) \lt 0\]

Sim, sim, você ouviu certo: acabei de aplicar o método de racionalização descrito acima. Agora precisamos trabalhar com cuidado: temos uma desigualdade racional-fracionária (essa é aquela que tem uma variável no denominador), então antes de igualar qualquer coisa a zero, precisamos trazer tudo para um denominador comum e nos livrar do fator constante .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Agora usamos o método de intervalo padrão. Zeros do numerador: $x=\pm 4$. O denominador vai para zero somente quando $x=0$. Há três pontos no total que precisam ser marcados na reta numérica (todos os pontos estão marcados porque o sinal de desigualdade é estrito). Nós temos:

Como você pode imaginar, o sombreamento marca os intervalos em que a expressão à esquerda assume valores negativos. Portanto, a resposta final incluirá dois intervalos ao mesmo tempo:

As extremidades dos intervalos não são incluídas na resposta porque a desigualdade original era estrita. Nenhuma verificação adicional desta resposta é necessária. A este respeito, as desigualdades exponenciais são muito mais simples que as logarítmicas: sem ODZ, sem restrições, etc.

Vamos para a próxima tarefa:

\[((\esquerda(\frac(1)(3) \direita))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Também não há problemas aqui, pois já sabemos que $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, então toda a desigualdade pode ser reescrita da seguinte forma:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\esquerda(-2 \direita) \direita. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Atenção: na terceira linha decidi não perder tempo com ninharias e imediatamente dividir tudo por (−2). Minul foi para a primeira chave (agora há vantagens em todos os lugares) e dois foram reduzidos com um fator constante. Isso é exatamente o que você deve fazer ao preparar cálculos reais para trabalhos independentes e de teste - você não precisa descrever diretamente cada ação e transformação.

A seguir, o método familiar de intervalos entra em ação. Zeros no numerador: mas não há nenhum. Porque o discriminante será negativo. Por sua vez, o denominador é zerado somente quando $x=0$ - assim como da última vez. Bem, é claro que à direita de $x=0$ a fração assumirá valores positivos, e à esquerda - negativos. Como estamos interessados ​​em valores negativos, a resposta final é: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\esquerda(0,16 \direita))^(1+2x))\cdot ((\esquerda(6,25 \direita))^(x))\ge 1\]

O que você deve fazer com frações decimais em desigualdades exponenciais? Isso mesmo: livre-se deles, convertendo-os em comuns. Aqui vamos traduzir:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\ esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\direita))^(x)). \\\fim(alinhar)\]

Então, o que obtivemos nos fundamentos das funções exponenciais? E temos dois números mutuamente inversos:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ direita))^(x))=((\esquerda(((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(-1)) \direita))^(x))=((\ esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(-x))\]

Assim, a desigualdade original pode ser reescrita da seguinte forma:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(1+2x+\esquerda(-x \direita)))\ge ((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(0)); \\ & ((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(x+1))\ge ((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(0) ). \\\fim(alinhar)\]

Claro que, ao multiplicar potências com a mesma base, os seus expoentes somam-se, que foi o que aconteceu na segunda linha. Além disso, representamos a unidade da direita, também como potência na base 4/25. Resta apenas racionalizar:

\[((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(x+1))\ge ((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Observe que $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, ou seja, o segundo fator é uma constante negativa e, ao dividir por ele, o sinal de desigualdade mudará:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Finalmente, a última desigualdade do “conjunto” atual:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Em princípio, a ideia da solução aqui também é clara: todas as funções exponenciais incluídas na desigualdade devem ser reduzidas à base “3”. Mas para isso você terá que mexer um pouco nas raízes e nos poderes:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\fim(alinhar)\]

Tendo em conta estes factos, a desigualdade original pode ser reescrita da seguinte forma:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\direita))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\fim(alinhar)\]

Preste atenção nas 2ª e 3ª linhas dos cálculos: antes de fazer qualquer coisa com a inequação, certifique-se de trazê-la para a forma que falamos desde o início da lição: $((a)^(x)) \ ((a)^(n))$. Contanto que você tenha alguns fatores canhotos, constantes adicionais, etc. à esquerda ou à direita, nenhuma racionalização ou “riscagem” de motivos pode ser realizada! Inúmeras tarefas foram concluídas incorretamente devido à falta de compreensão desse simples fato. Eu mesmo observo constantemente esse problema com meus alunos quando estamos apenas começando a analisar desigualdades exponenciais e logarítmicas.

Mas voltemos à nossa tarefa. Vamos tentar dispensar a racionalização desta vez. Lembremos: a base do grau é maior que um, então os triplos podem simplesmente ser riscados - o sinal de desigualdade não mudará. Nós temos:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\fim(alinhar)\]

Isso é tudo. Resposta final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Isolando uma expressão estável e substituindo uma variável

Concluindo, proponho resolver mais quatro desigualdades exponenciais, que já são bastante difíceis para alunos despreparados. Para lidar com eles, você precisa se lembrar das regras para trabalhar com diplomas. Em particular, colocando os fatores comuns fora dos colchetes.

Mas o mais importante é aprender a entender o que exatamente pode ser retirado dos colchetes. Tal expressão é chamada de estável - pode ser denotada por uma nova variável e, assim, eliminar a função exponencial. Então, vamos dar uma olhada nas tarefas:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\esquerda(0,5 \direita))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Vamos começar desde a primeira linha. Vamos escrever esta desigualdade separadamente:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Observe que $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, então o lado direito lado pode ser reescrito:

Observe que não há outras funções exponenciais exceto $((5)^(x+1))$ na desigualdade. E em geral, a variável $x$ não aparece em nenhum outro lugar, então vamos introduzir uma nova variável: $((5)^(x+1))=t$. Obtemos a seguinte construção:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\fim(alinhar)\]

Voltamos à variável original ($t=((5)^(x+1))$), e ao mesmo tempo lembramos que 1=5 0 . Nós temos:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\fim(alinhar)\]

Essa é a solução! Resposta: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Vamos passar para a segunda desigualdade:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tudo é igual aqui. Observe que $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Então o lado esquerdo pode ser reescrito:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\direita. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\fim(alinhar)\]

É assim que você precisa traçar uma solução para testes reais e trabalho independente.

Bem, vamos tentar algo mais complicado. Por exemplo, aqui está a desigualdade:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Qual é o problema aqui? Em primeiro lugar, as bases das funções exponenciais à esquerda são diferentes: 5 e 25. Porém, 25 = 5 2, então o primeiro termo pode ser transformado:

\[\begin(alinhar) & ((25)^(x+1,5))=((\esquerda(((5)^(2)) \direita))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Como você pode ver, primeiro trouxemos tudo para a mesma base, e depois notamos que o primeiro termo pode ser facilmente reduzido ao segundo - basta expandir o expoente. Agora você pode introduzir com segurança uma nova variável: $((5)^(2x+2))=t$, e toda a desigualdade será reescrita da seguinte forma:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\fim(alinhar)\]

E novamente, sem dificuldades! Resposta final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Vamos passar para a desigualdade final na lição de hoje:

\[((\esquerda(0,5 \direita))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

A primeira coisa que você deve prestar atenção é, claro, a fração decimal na base da primeira potência. É preciso se livrar dele e ao mesmo tempo trazer todas as funções exponenciais para a mesma base - o número “2”:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))= ((\esquerda(((2)^(-1)) \direita))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\esquerda(((2)^(4)) \direita))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Ótimo, demos o primeiro passo: tudo levou à mesma base. Agora você precisa selecionar uma expressão estável. Observe que $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Se introduzirmos uma nova variável $((2)^(4x+6))=t$, então a desigualdade original pode ser reescrita da seguinte forma:

\[\begin(alinhar) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\fim(alinhar)\]

Naturalmente, pode surgir a questão: como descobrimos que 256 = 2 8? Infelizmente, aqui você só precisa conhecer as potências de dois (e ao mesmo tempo as potências de três e cinco). Bem, ou divida 256 por 2 (você pode dividir, já que 256 é um número par) até obtermos o resultado. Vai parecer algo assim:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

O mesmo acontece com três (os números 9, 27, 81 e 243 são seus graus) e com sete (os números 49 e 343 também seriam bons de lembrar). Bom, o cinco também tem graus “lindos” que você precisa conhecer:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\fim(alinhar)\]

Claro que, se desejar, todos esses números podem ser restaurados em sua mente simplesmente multiplicando-os sucessivamente uns pelos outros. No entanto, quando você tem que resolver várias desigualdades exponenciais, e cada uma delas é mais difícil que a anterior, a última coisa em que você quer pensar são as potências de alguns números. E neste sentido, estes problemas são mais complexos do que as desigualdades “clássicas” que são resolvidas pelo método intervalar.

Espero que esta lição tenha ajudado você a dominar este tópico. Se algo não estiver claro, pergunte nos comentários. E nos vemos nas próximas aulas :)

Nesta lição veremos várias desigualdades exponenciais e aprenderemos como resolvê-las, com base na técnica para resolver as desigualdades exponenciais mais simples

1. Definição e propriedades de uma função exponencial

Vamos relembrar a definição e as propriedades básicas da função exponencial. A solução de todas as equações e desigualdades exponenciais é baseada nessas propriedades.

Função exponencialé uma função da forma, onde a base é o grau e aqui x é a variável independente, argumento; y é a variável dependente, função.

Arroz. 1. Gráfico da função exponencial

O gráfico mostra expoentes crescentes e decrescentes, ilustrando a função exponencial com base maior que um e menor que um, mas maior que zero, respectivamente.

Ambas as curvas passam pelo ponto (0;1)

Propriedades da Função Exponencial:

Domínio: ;

Faixa de valores: ;

A função é monotônica, aumenta com, diminui com.

Uma função monotônica recebe cada um de seus valores com um único valor de argumento.

Quando , quando o argumento aumenta de menos para mais infinito, a função aumenta de zero inclusive para mais infinito, ou seja, para determinados valores do argumento temos uma função monotonicamente crescente (). Pelo contrário, quando o argumento aumenta de menos para mais infinito, a função diminui de infinito para zero inclusive, ou seja, para determinados valores do argumento temos uma função monotonicamente decrescente ().

2. As desigualdades exponenciais mais simples, método de solução, exemplo

Com base no exposto, apresentamos um método para resolver desigualdades exponenciais simples:

Técnica para resolver desigualdades:

Equalize as bases dos graus;

Compare os indicadores mantendo ou alterando o sinal de desigualdade para o oposto.

A solução para desigualdades exponenciais complexas geralmente consiste em reduzi-las às desigualdades exponenciais mais simples.

A base do grau é maior que um, o que significa que o sinal de desigualdade é preservado:

Vamos transformar o lado direito de acordo com as propriedades do grau:

A base do grau é menor que um, o sinal de desigualdade deve ser invertido:

Para resolver a desigualdade quadrática, resolvemos a equação quadrática correspondente:

Usando o teorema de Vieta encontramos as raízes:

Os ramos da parábola são direcionados para cima.

Assim, temos uma solução para a desigualdade:

É fácil adivinhar que o lado direito pode ser representado como uma potência com expoente zero:

A base do grau é maior que um, o sinal de desigualdade não muda, obtemos:

Recordemos a técnica para resolver tais desigualdades.

Considere a função racional fracionária:

Encontramos o domínio de definição:

Encontrando as raízes da função:

A função tem uma única raiz,

Selecionamos intervalos de sinal constante e determinamos os sinais da função em cada intervalo:

Arroz. 2. Intervalos de constância de sinal

Assim, recebemos a resposta.

Responder:

3. Resolvendo desigualdades exponenciais padrão

Consideremos desigualdades com os mesmos indicadores, mas com bases diferentes.

Uma das propriedades da função exponencial é que ela assume valores estritamente positivos para qualquer valor do argumento, o que significa que pode ser dividida em uma função exponencial. Vamos dividir a desigualdade dada pelo seu lado direito:

A base do grau é maior que um, o sinal de desigualdade é preservado.

Vamos ilustrar a solução:

A Figura 6.3 mostra gráficos de funções e . Obviamente, quando o argumento é maior que zero, o gráfico da função é maior, esta função é maior. Quando os valores dos argumentos são negativos, a função desce, fica menor. Se o argumento for igual, as funções são iguais, o que significa que este ponto também é uma solução para a desigualdade dada.

Arroz. 3. Ilustração, por exemplo 4

Vamos transformar a desigualdade dada de acordo com as propriedades do grau:

Aqui estão alguns termos semelhantes:

Vamos dividir as duas partes em:

Agora continuamos a resolver de forma semelhante ao exemplo 4, dividindo ambas as partes por:

A base do grau é maior que um, o sinal de desigualdade permanece:

4. Solução gráfica de desigualdades exponenciais

Exemplo 6 – Resolva a inequação graficamente:

Vejamos as funções nos lados esquerdo e direito e construamos um gráfico para cada uma delas.

A função é exponencial e aumenta em todo o seu domínio de definição, ou seja, para todos os valores reais do argumento.

A função é linear e decrescente em todo o seu domínio de definição, ou seja, para todos os valores reais do argumento.

Se essas funções se cruzam, ou seja, o sistema tem uma solução, então tal solução é única e pode ser facilmente adivinhada. Para fazer isso, iteramos sobre inteiros ()

É fácil ver que a raiz deste sistema é:

Assim, os gráficos das funções se cruzam em um ponto com argumento igual a um.

Agora precisamos obter uma resposta. O significado da desigualdade dada é que o expoente deve ser maior ou igual à função linear, ou seja, ser maior ou coincidir com ela. A resposta é óbvia: (Figura 6.4)

Arroz. 4. Ilustração, por exemplo 6

Então, procuramos resolver várias desigualdades exponenciais padrão. A seguir, passamos a considerar desigualdades exponenciais mais complexas.

Bibliografia

Mordkovich A. G. Álgebra e os primórdios da análise matemática. - M.: Mnemósine. Muravin G. K., Muravin O. V. Álgebra e os primórdios da análise matemática. - M.: Abetarda. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn P. et al. - M.: Iluminismo.

Matemática. médico. Repetição matemática. com. Difusar. kemsu. ru.

Trabalho de casa

1. Álgebra e o início da análise, séries 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;

2. Resolva a desigualdade:

3. Resolva a desigualdade.