Como resolver desigualdades complexas. Desigualdades. Tipos de desigualdades. III. Aprendendo novo material

O que você precisa saber sobre ícones de desigualdade? Desigualdades com ícone mais (> ), ou menos (< ) são chamados estrito. Com ícones mais ou igual (≥ ), menor ou igual (≤ ) são chamados não rigoroso.Ícone não igual (≠ ) se destaca, mas você também precisa resolver exemplos com este ícone o tempo todo. E nós decidiremos.)

O ícone em si não tem muita influência no processo de solução. Mas ao final da decisão, na hora de escolher a resposta final, o significado do ícone aparece com força total! É o que veremos a seguir em exemplos. Tem algumas piadas aí...

As desigualdades, assim como as igualdades, existem fiel e infiel. Tudo é simples aqui, sem truques. Digamos 5 > 2 é uma desigualdade verdadeira. 5 < 2 - incorreto.

Esta preparação funciona para as desigualdades qualquer tipo e simples ao ponto do horror.) Você só precisa executar corretamente duas (apenas duas!) ações elementares. Essas ações são familiares a todos. Mas, caracteristicamente, os erros nestas ações são o principal erro na resolução das desigualdades, sim... Portanto, estas ações devem ser repetidas. Essas ações são chamadas assim:

Transformações idênticas das desigualdades.

Transformações idênticas de desigualdades são muito semelhantes a transformações idênticas de equações. Na verdade, este é o principal problema. As diferenças passam pela sua cabeça e... aqui está você.) Portanto, irei destacar especialmente essas diferenças. Então, a primeira transformação idêntica das desigualdades:

1. O mesmo número ou expressão pode ser adicionado (subtraído) a ambos os lados da inequação. Qualquer. Isso não mudará o sinal de desigualdade.

Na prática, esta regra é usada como uma transferência de termos do lado esquerdo da desigualdade para o direito (e vice-versa) com mudança de sinal. Com mudança no sinal do termo, não a desigualdade! A regra um para um é igual à regra das equações. Mas as seguintes transformações idênticas nas desigualdades diferem significativamente daquelas nas equações. Então eu os destaco em vermelho:

2. Ambos os lados da desigualdade podem ser multiplicados (divididos) pela mesma coisapositivonúmero. Para qualquerpositivo Não mudará.

3. Ambos os lados da desigualdade podem ser multiplicados (divididos) pela mesma coisanegativo número. Para qualquernegativonúmero. O sinal de desigualdade destemudará para o oposto.

Você se lembra (espero...) que a equação pode ser multiplicada/dividida por qualquer coisa. E para qualquer número e para uma expressão com X. Se ao menos não fosse zero. Isso faz dele, a equação, nem quente nem frio.) Ela não muda. Mas as desigualdades são mais sensíveis à multiplicação/divisão.

Um exemplo claro de uma memória longa. Vamos escrever uma desigualdade que não suscita dúvidas:

5 > 2

Multiplique ambos os lados por +3, Nós temos:

15 > 6

Alguma objeção? Não há objeções.) E se multiplicarmos ambos os lados da desigualdade original por -3, Nós temos:

15 > -6

E isso é uma mentira descarada.) Mentiras completas! Decepção do povo! Mas assim que você muda o sinal de desigualdade para o oposto, tudo se encaixa:

15 < -6

Não estou apenas xingando mentiras e enganos.) "Esqueci de mudar o sinal de igual..."- Esse lar erro na resolução de desigualdades. Esta regra trivial e simples prejudicou tantas pessoas! O que eles esqueceram...) Então estou xingando. Talvez eu me lembre...)

Pessoas particularmente atentas notarão que a desigualdade não pode ser multiplicada por uma expressão com X. Respeito a quem está atento!) Por que não? A resposta é simples. Não sabemos o sinal desta expressão com um X. Pode ser positivo, negativo... Portanto, não sabemos qual sinal de desigualdade colocar após a multiplicação. Devo mudar ou não? Desconhecido. É claro que esta restrição (a proibição de multiplicar/dividir uma desigualdade por uma expressão com x) pode ser contornada. Se você realmente precisar. Mas este é um assunto para outras lições.

Essas são todas as transformações idênticas das desigualdades. Deixe-me lembrá-lo mais uma vez que eles trabalham para qualquer desigualdades Agora você pode passar para tipos específicos.

Desigualdades lineares. Solução, exemplos.

Desigualdades lineares são desigualdades em que x está na primeira potência e não há divisão por x. Tipo:

x+3 > 5x-5

Como essas desigualdades são resolvidas? Eles são muito fáceis de resolver! A saber: com a ajuda de reduzimos a desigualdade linear mais confusa direto para a resposta. Essa é a solução. Vou destacar os principais pontos da decisão. Para evitar erros estúpidos.)

Vamos resolver esta desigualdade:

x+3 > 5x-5

Resolvemos isso exatamente da mesma maneira que uma equação linear. Com a única diferença:

Monitoramos cuidadosamente o sinal de desigualdade!

O primeiro passo é o mais comum. Com X's - para a esquerda, sem X's - para a direita... Esta é a primeira transformação idêntica, simples e sem problemas.) Só não se esqueça de alterar os sinais dos termos transferidos.

O sinal de desigualdade permanece:

x-5x > -5-3

Aqui estão alguns semelhantes.

O sinal de desigualdade permanece:

4x > -8

Resta aplicar a última transformação idêntica: divida ambos os lados por -4.

Dividido por negativo número.

O sinal de desigualdade mudará para o oposto:

X < 2

Esta é a resposta.

É assim que todas as desigualdades lineares são resolvidas.

Atenção! O ponto 2 é desenhado em branco, ou seja, sem pintura. Vazio por dentro. Isso significa que ela não está incluída na resposta! Eu a desenhei tão saudável de propósito. Tal ponto (vazio, não saudável!)) em matemática é chamado ponto perfurado.

Os números restantes no eixo podem ser marcados, mas não é necessário. Números estranhos que não estão relacionados à nossa desigualdade podem ser confusos, sim... Basta lembrar que os números aumentam na direção da seta, ou seja, números 3, 4, 5, etc. são Para a direita são dois e os números são 1, 0, -1, etc. - Para a esquerda.

Desigualdade x < 2 - estrito. X é estritamente menor que dois. Em caso de dúvida, verificar é simples. Substituímos o número duvidoso na desigualdade e pensamos: “Dois é menos que dois Não, claro!” Exatamente. Desigualdade 2 < 2 incorreta. Um dois em troca não é apropriado.

Um está bem? Certamente. Menos... E zero é bom, e -17 e 0,34... Sim, todos os números menores que dois são bons! E até 1.9999.... Pelo menos um pouquinho, mas menos!

Então, vamos marcar todos esses números no eixo dos números. Como? Existem opções aqui. Opção um - sombreamento. Passamos o mouse sobre a imagem (ou tocamos na imagem no tablet) e vemos que a área de todos os x que atendem à condição x está sombreada < 2 . Isso é tudo.

Vejamos a segunda opção usando o segundo exemplo:

X ≥ -0,5

Desenhe um eixo e marque o número -0,5. Assim:

Notou a diferença?) Bem, sim, é difícil não notar... Este ponto é preto! Pintado. Isso significa -0,5 está incluído na resposta. Aqui, aliás, a verificação pode confundir alguém. Vamos substituir:

-0,5 ≥ -0,5

Como assim? -0,5 não é mais que -0,5! E tem mais ícone...

Tudo bem. Numa desigualdade fraca, tudo o que cabe no ícone é adequado. E é igual a bom e mais bom. Portanto, -0,5 está incluído na resposta.

Então, marcamos -0,5 no eixo, resta marcar todos os números maiores que -0,5; Desta vez eu marco a área de valores x adequados arco(da palavra arco), em vez de sombreamento. Passamos o cursor sobre o desenho e vemos este arco.

Não há nenhuma diferença particular entre o sombreamento e os braços. Faça o que o professor diz. Se não houver professor, desenhe arcos. Em tarefas mais complexas, o sombreamento é menos óbvio. Você pode ficar confuso.

É assim que as desigualdades lineares são desenhadas em um eixo. Passemos à próxima característica das desigualdades.

Escrevendo a resposta para as desigualdades.

As equações eram boas.) Encontramos x e anotamos a resposta, por exemplo: x=3. Existem duas formas de escrever respostas em desigualdades. Uma está na forma de desigualdade final. Bom para casos simples. Por exemplo:

X< 2.

Esta é uma resposta completa.

Às vezes você precisa escrever a mesma coisa, mas de uma forma diferente, em intervalos numéricos. Então a gravação começa a parecer muito científica):

x ∈ (-∞; 2)

Sob o ícone ∈ a palavra está escondida “pertence”.

A entrada é assim: x pertence ao intervalo de menos infinito a dois não incluindo. Bastante lógico. X pode ser qualquer número entre todos os números possíveis, de menos infinito a dois. Não pode haver um duplo X, que é o que a palavra nos diz "não incluindo".

E onde na resposta está claro que "não incluindo"? Este fato é observado na resposta redondo colchete imediatamente após os dois. Se os dois fossem incluídos, o colchete seria quadrado. Aqui está:]. O exemplo a seguir usa esse parêntese.

Vamos anotar a resposta: x ≥ -0,5 nos intervalos:

x ∈ [-0,5; +∞)

Lê: x pertence ao intervalo de menos 0,5, Incluindo, para mais infinito.

O infinito nunca pode ser ativado. Não é um número, é um símbolo. Portanto, em tais notações, o infinito está sempre adjacente a um parêntese.

Esta forma de gravação é conveniente para respostas complexas que consistem em vários espaços. Mas - apenas para respostas finais. Nos resultados intermédios, onde se espera uma solução adicional, é melhor utilizar a forma habitual, na forma de uma desigualdade simples. Trataremos disso nos tópicos relevantes.

Tarefas populares com desigualdades.

As próprias desigualdades lineares são simples. Portanto, as tarefas muitas vezes se tornam mais difíceis. Então foi necessário pensar. Isso, se você não está acostumado, não é muito agradável.) Mas é útil. Mostrarei exemplos de tais tarefas. Não é para você aprendê-los, é desnecessário. E para não ter medo ao encontrar tais exemplos. Basta pensar um pouco - e é simples!)

1. Encontre duas soluções quaisquer para a desigualdade 3x - 3< 0

Se não estiver muito claro o que fazer, lembre-se da regra principal da matemática:

Se você não sabe o que precisa, faça o que puder!)

X < 1

E o que? Nada especial. O que eles estão nos perguntando? Somos solicitados a determinar dois números específicos que sejam a solução de uma inequação. Aqueles. ajuste a resposta. Dois qualquer números. Na verdade, isso é confuso.) Alguns 0 e 0,5 são adequados. Alguns -3 e -8. Há um número infinito desses casais! Qual resposta está correta?!

Eu respondo: tudo! Qualquer par de números, cada um deles menor que um, será a resposta correta. Escreva qual você deseja. Vamos continuar.

2. Resolva a desigualdade:

4x - 3 ≠ 0

Tarefas neste formulário são raras. Mas, como desigualdades auxiliares, ao encontrar ODZ, por exemplo, ou ao encontrar o domínio de definição de uma função, elas ocorrem o tempo todo. Tal desigualdade linear pode ser resolvida como uma equação linear ordinária. Somente em todos os lugares, exceto o sinal "=" ( é igual a) coloque uma placa " ≠ " (não igual). É assim que você aborda a resposta, com um sinal de desigualdade:

X ≠ 0,75

Em exemplos mais complexos, é melhor fazer as coisas de forma diferente. Faça da igualdade a desigualdade. Assim:

4x - 3 = 0

Resolva com calma conforme ensinado e obtenha a resposta:

x = 0,75

O principal é que no final, ao escrever a resposta final, não esqueça que encontramos x, o que dá igualdade. E precisamos - desigualdade. Portanto, não precisamos realmente deste X. E precisamos escrevê-lo com o símbolo correto:

X ≠ 0,75

Essa abordagem resulta em menos erros. Aqueles que resolvem equações automaticamente. E para quem não resolve equações, as desigualdades são, na verdade, inúteis...) Outro exemplo de tarefa popular:

3. Encontre a menor solução inteira para a desigualdade:

3(x - 1) < 5x + 9

Primeiro, simplesmente resolvemos a desigualdade. Abrimos os colchetes, movemos, trazemos semelhantes... Nós temos:

X > - 6

Não foi assim!? Você seguiu os sinais!? E por trás dos sinais dos membros, e por trás do sinal da desigualdade...

Vamos pensar novamente. Precisamos encontrar um número específico que corresponda à resposta e à condição "menor número inteiro". Se você não perceber imediatamente, basta pegar qualquer número e descobrir. Dois sobre menos seis? Certamente! Existe um número menor adequado? Claro. Por exemplo, zero é maior que -6. E menos ainda? Precisamos da menor coisa possível! Menos três é mais que menos seis! Você já pode entender o padrão e parar de passar estupidamente pelos números, certo?)

Vamos pegar um número mais próximo de -6. Por exemplo, -5. A resposta foi cumprida, -5 > - 6. É possível encontrar outro número menor que -5 mas maior que -6? Você pode, por exemplo, -5,5... Pare! Somos informados todo solução! Não rola -5,5! E menos seis? Uh-uh! A desigualdade é estrita, menos 6 não é de forma alguma menor que menos 6!

Portanto, a resposta correta é -5.

Espero que tudo fique claro com a escolha do valor da solução geral. Outro exemplo:

4. Resolva a desigualdade:

7 < 3x+1 < 13

Uau! Esta expressão é chamada tripla desigualdade. A rigor, esta é uma forma abreviada de sistema de desigualdades. Mas essas triplas desigualdades ainda precisam ser resolvidas em alguns problemas... Pode ser resolvido sem quaisquer sistemas. De acordo com as mesmas transformações idênticas.

Precisamos simplificar, trazer essa desigualdade para X puro. Mas... O que deve ser transferido para onde?! É aqui que é hora de lembrar que mover para a esquerda e para a direita é forma abreviada primeira transformação de identidade.

E o formulário completo é assim: Qualquer número ou expressão pode ser adicionado/subtraído de ambos os lados da equação (desigualdade).

Existem três partes aqui. Portanto, aplicaremos transformações idênticas a todas as três partes!

Então, vamos nos livrar daquele que está no meio da desigualdade. Vamos subtrair um de toda a parte do meio. Para que a desigualdade não mude, subtraímos um das duas partes restantes. Assim:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Assim é melhor, certo?) Resta dividir todas as três partes em três:

2 < X < 4

Isso é tudo. Esta é a resposta. X pode ser qualquer número de dois (não incluído) a quatro (não incluído). Esta resposta também é escrita em intervalos; tais entradas estarão em desigualdades quadráticas. Lá eles são a coisa mais comum.

No final da lição repetirei o mais importante. O sucesso na resolução de desigualdades lineares depende da capacidade de transformar e simplificar equações lineares. Se ao mesmo tempo observe o sinal de desigualdade, não haverá problemas. É isso que desejo para você. Sem problemas.)

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A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Por exemplo, a desigualdade é a expressão \(x>5\).

Tipos de desigualdades:

Se \(a\) e \(b\) são números ou , então a desigualdade é chamada numérico. Na verdade, é apenas comparar dois números. Essas desigualdades são divididas em fiel E infiel.

Por exemplo:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) é uma desigualdade numérica incorreta, pois \(17+3=20\), e \(20\) é menor que \(115\) (e não maior ou igual a) .

Se \(a\) e \(b\) são expressões contendo uma variável, então temos desigualdade com variável. Tais desigualdades são divididas em tipos dependendo do conteúdo:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variável apenas elevado à primeira potência
\(3x^2-x+5>0\)				Existe uma variável na segunda potência (quadrado), mas não existem potências superiores (terceira, quarta, etc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... e assim por diante.

Qual é a solução para uma desigualdade?

Se você substituir um número em vez de uma variável em uma inequação, ela se tornará numérica.

Se um determinado valor para x transforma a desigualdade original em uma desigualdade numérica verdadeira, então ela é chamada solução para a desigualdade. Caso contrário, esse valor não é uma solução. E para resolver a desigualdade– você precisa encontrar todas as suas soluções (ou mostrar que não há nenhuma).

Por exemplo, se substituirmos o número \(7\) na desigualdade linear \(x+6>10\), obteremos a desigualdade numérica correta: \(13>10\). E se substituirmos \(2\), haverá uma desigualdade numérica incorreta \(8>10\). Ou seja, \(7\) é uma solução para a desigualdade original, mas \(2\) não é.

Porém, a desigualdade \(x+6>10\) tem outras soluções. Na verdade, obteremos as desigualdades numéricas corretas ao substituir \(5\), e \(12\), e \(138\)... E como podemos encontrar todas as soluções possíveis? Para isso eles usam. Para o nosso caso temos:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Ou seja, qualquer número maior que quatro nos servirá. Agora você precisa anotar a resposta. As soluções para as desigualdades são geralmente escritas numericamente, marcando-as adicionalmente no eixo dos números com sombreamento. Para o nosso caso temos:

Responder: \(x\in(4;+\infty)\)

Quando o sinal de uma desigualdade muda?

Há uma grande armadilha nas desigualdades em que os estudantes realmente “adoram” cair:

Ao multiplicar (ou dividir) uma desigualdade por um número negativo, ela é invertida (“mais” por “menos”, “mais ou igual” por “menos que ou igual”, e assim por diante)

Por que isso está acontecendo? Para entender isso, vejamos as transformações da desigualdade numérica \(3>1\). Está correto, três é realmente maior que um. Primeiro, vamos tentar multiplicá-lo por qualquer número positivo, por exemplo, dois:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Como podemos ver, após a multiplicação a desigualdade permanece verdadeira. E não importa por qual número positivo multiplicamos, sempre obteremos a desigualdade correta. Agora vamos tentar multiplicar por um número negativo, por exemplo, menos três:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

O resultado é uma desigualdade incorreta, porque menos nove é menor que menos três! Ou seja, para que a desigualdade se torne verdadeira (e portanto, a transformação da multiplicação por negativo foi “legal”), é necessário inverter o sinal de comparação, assim: \(−9<− 3\).
Com a divisão vai funcionar da mesma forma, você mesmo pode verificar.

A regra escrita acima se aplica a todos os tipos de desigualdades, não apenas às numéricas.

Exemplo: Resolva a desigualdade \(2(x+1)-1<7+8x\)
Solução:

\(2x+2-1<7+8x\)	Vamos mover \(8x\) para a esquerda, e \(2\) e \(-1\) para a direita, não esquecendo de mudar os sinais
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Vamos dividir os dois lados da desigualdade por \(-6\), não esquecendo de mudar de “menos” para “mais”
	Vamos marcar um intervalo numérico no eixo. Desigualdade, portanto “retiramos” o próprio valor \(-1\) e não o tomamos como resposta
	Vamos escrever a resposta como um intervalo

Responder: \(x\in(-1;\infty)\)

Desigualdades e deficiência

As desigualdades, assim como as equações, podem ter restrições em , ou seja, nos valores de x. Assim, os valores inaceitáveis ​​​​de acordo com o DZ devem ser excluídos do leque de soluções.

Exemplo: Resolva a desigualdade \(\sqrt(x+1)<3\)

Solução: É claro que para que o lado esquerdo seja menor que \(3\), a expressão radical deve ser menor que \(9\) (afinal, de \(9\) apenas \(3\)). Nós temos:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Todos? Qualquer valor de x menor que \(8\) nos servirá? Não! Porque se tomarmos, por exemplo, o valor \(-5\) que parece se adequar ao requisito, não será uma solução para a desigualdade original, pois nos levará ao cálculo da raiz de um número negativo.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Portanto, devemos também levar em consideração as restrições ao valor de X - não pode ser tal que haja um número negativo sob a raiz. Assim, temos o segundo requisito para x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

E para que x seja a solução final, deve satisfazer ambos os requisitos ao mesmo tempo: deve ser menor que \(8\) (para ser uma solução) e maior que \(-1\) (para ser admissível em princípio). Traçando-o na reta numérica, temos a resposta final:

Responder: \(\esquerda[-1;8\direita)\)

No artigo vamos considerar resolvendo desigualdades. Nós lhe diremos claramente sobre como construir uma solução para as desigualdades, com exemplos claros!

Antes de começarmos a resolver desigualdades usando exemplos, vamos entender os conceitos básicos.

Informações gerais sobre desigualdades

Desigualdadeé uma expressão na qual as funções são conectadas por sinais de relação >, . As desigualdades podem ser numéricas e literais.
Desigualdades com dois sinais de razão são chamadas de duplas, com três são chamadas de triplas, etc. Por exemplo:
uma(x) > b(x),
uma(x) uma(x) b(x),
uma(x) b(x).
a(x) As desigualdades que contêm o sinal > ou ou - não são estritas.
Resolvendo a desigualdadeé qualquer valor da variável para o qual esta desigualdade será verdadeira.
"Resolva a desigualdade" significa que precisamos encontrar o conjunto de todas as suas soluções. Existem diferentes métodos para resolver desigualdades. Para soluções de desigualdade Eles usam a reta numérica, que é infinita. Por exemplo, solução para a desigualdade x > 3 é o intervalo de 3 a +, e o número 3 não está incluído neste intervalo, portanto o ponto na reta é denotado por um círculo vazio, porque a desigualdade é estrita.
+
A resposta será: x (3; +).
O valor x=3 não está incluído no conjunto solução, então o parêntese é redondo. O sinal do infinito é sempre destacado entre parênteses. O sinal significa "pertencer".
Vejamos como resolver desigualdades usando outro exemplo com sinal:
x 2
-+
O valor x=2 está incluído no conjunto de soluções, portanto o colchete é quadrado e o ponto na reta é indicado por um círculo preenchido.
A resposta será: x)