Числа и их свойства Базовый уровень Задание №19

№1. Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50 Произведение цифр кратно 5, а значит равно 45 Пусть число имеет вид abcd 40 Слайд 3

№2.Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трехзначное число было кратно 35 Вычеркиваем цифру 6, цифру 5 оставляем Т.к. число кратно 35, то кратно 5, оканчивается либо 0, либо 5 Выполним подбор 35·3=105 35·5=175 35·7=245 Вычеркнем цифры 1 и 3 3 х 1 0 х В 19 4 5 2

№3. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трехзначное число было кратно 27 Проверим какое из чисел 126 и 135 кратно 27 3 х 1 0 х В 11 5 3 1 Т.к. число кратно 27, то кратно 9, Сумма цифр кратна 9 1+2+6=9 1+3+5=9 не кратно 27 135 кратно 27

№4. Найдите наименьшее трехзначное число. Которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 5 дает остаток 4 и которое записано тремя различными нечетными цифрами Любое нечетное число при делении на 2 даст в остатке 1. Искомое число может состоять из: Суммы цифр 1+5+9=15, 5+7+9=21 исключаем, как кратные 3 1+3+9 =13 13 – 2 =11 1+9+7 = 17 17-2=15 3+5+9=17 17-2=15 Группа цифр 1,3,9 также исключается 1, 3,5 1,3,7 1, 3,9 1,5,7 1, 5,9 1,9,7 3, 5,9 3,5,7 5,7,9 Числа, которые при делении на 5 дают в остатке 4, оканчиваются либо на 9, либо на 4, но 4 - четное Рассмотрим числа 179, 359, 719, 539 Наименьшее: 179 3 х 1 0 х В 19 7 9 1

№5. Найдите наибольшее пятизначное число, которое записывается только цифрами 0, 5 и 7 и делится на 120 Искомое число оканчивается 0. 3 х 1 0 х В 11 5 0 0 0 7 Т.к число делится на 4, то две последние цифры 0. Т.к. число кратно 3, значит сумма цифр кратна 3 7+5+0+0+0 =12 кратно 3

№6. Найдите четырёхзначное число, кратное 4 , сумма цифр которого равна их произведению Так как а bcd (10с+ d) и d - четное Пусть число – а bcd , тогда а+ b + c + d = a·b·c·d Среди цифр a , b , с и d Не может быть трех единиц, 1+1+1+ d = d –равенство невозможно Среди цифр a , b , с и d нет нулей иначе произведение равно 0 Среди цифр a , b , с и d Не может быть только одна единица, 1+ b + c + d = b·c·d –равенство невозможно

Рассмотрим двузначные числа кратные 4: 12; 16; 24 №6Найдите четырёхзначное число, кратное 4, сумма цифр которого равна их произведению Среди цифр a , b , с и d д ве единицы 1+с+1+2=1 ·с·1·2 Из 1 равенства с+4=2с, значит с=4 1+с+1+6=1 ·с·1·6 1+1+2+4=1 ·1·2·4 Из 2 равенства с+8=6с, с – дробное, чего быть не может 3-е равенство верное Искомые числа: 4112, 1412, 1124

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число. Число кратно 72, значит кратно 9 и кратно 4 и 8 Сумма цифр кратна 9, значит в записи должны быть три двойки и три единицы, т.к. 1+1+1+2+2+2=9 кратно 9 Число из двух последних цифр делится на 4 , значит это 12 Число из трех последних цифр делится на 8 , значит это 112 122112 – одно из чисел 3 х 1 0 х В 19 2 2 1 1 2 1

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2457. Приведите пример такого числа. Пусть а bcd – dcba =2457 3 х 1 0 х В 19 4 0 8 5 d= 0 или d =5, т.к. число кратно 5 d =0 – не подходит, иначе второе число трехзначное а bc 5 – 5 cba =2457 а=8 8 bc 5 – 5 cb 8=2457 с =0; b =4

Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Т.к. число кратно 15, то кратно 5 и 3, значит окачивается либо на 5, либо на 0, и сумма цифр кратна 3 Вычеркнем последние две цифры, тогда число оканчивается цифрой 0 5+3+1+6++4+0= 19 . Можно вычеркнуть либо 1, либо 4 3 х 1 0 х В 19 3 0 4 0 5 6

Среднее общее образование

Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)

Линия УМК А. Г. Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (Б)

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (баз.)

ЕГЭ-2018 по математике, базовый уровень: задание 19

Вашему вниманию мы предлагаем разбор 19 задания ЕГЭ 2018 года по математике. Статья содержит подробный анализ задания, алгоритм решения и рекомендации актуальных пособий для подготовки к ЕГЭ, а также подборку материалов по математике, опубликованных ранее.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

Учебник входит в УМК по математике для 10-11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава - домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

Задание 19

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение

А) Пусть среди написанных чисел

x – положительных

y – отрицательных

z – нулей

Тогда имеем, что

• сумма положительных чисел равна 4x
• сумма отрицательных чисел равна –8y
• сумма всех чисел ряда 4x + (–8y ) + 0z = –3(x + y + z )

4(x – 2y + 0z ) = –3(x + y + z )

Т.к. левая часть равенства кратна 4, то и правая часть равенства должна быть кратна 4, значит

x + y + z (количество чисел) кратно 4.

40 < x + y + z < 48,

x + y + z = 44

Значит на доске написано 44 числа.

Б) Рассмотрим равенство 4x + (–8y ) + 0z = –3(x + y + z )

4x – 8y = – 3x – 3y – 3z

4x + 3x + 3z = 8y – 3y

7x + 3z = 5y

Отсюда получаем, т.к. z ≥ 0 (количество нулей в ряду)

7x < 5y

x < y

Значит положительных чисел меньше, чем отрицательных.

В) Т.к. x + y + z = 44,подставим это значение в равенство 4x + (–8y ) + 0z = –3(x + y + z ),

4x – 8y = (–3 · 44)/4

x – 2y = –33

x = 2y – 33

Учитывая, что x + y + z = 44, имеем x + y ≤ 44, подставим x = 2y – 33 в данное неравенство

2y – 33 +y ≤ 44

3y ≤ 77

y ≤ 25	2
	3

y ≤ 25, учитывая, что x = 2y – 33 получаем x ≤ 17.

Задание №19 из базового ЕГЭ по математикеmathvideourok.moy.su

Признаки делимости на 2 и 4:

Число делится на 2, если оно заканчивается четной
цифрой или нулём.
Числа 2346 и 3650 - делятся на 2. Число 4521 - не
делится на 2.
Число делится на 4, если две последние его
цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В

Числа 31700 и 16608 -делятся на 4. 215634 – не
делится на 4.

Признаки делимости на 3 и 9:

На 3 делятся только те числа, у которых сумма
цифр делится на 3.
Числа 17835 и 5472 – делятся на 3. Число 105499 – не
делится на 3.
На 9 делятся только те числа, у которых сумма
цифр делится на 9.
Числа 2376 и 342000 – делятся на 9. Число 106499 – не
делится на 9.

Признаки делимости на 8 и 6:

Число делится на 8, если три последние цифры его
нули или образуют число, делящееся на 8. В
остальных случаях - не делится.
Числа 125000 и 111120 – делятся на 8. Числа 170004 и
124300 – не делятся на 8.
Число делится на 6, если оно делится одновременно
на 2 и на 3. В противном случае - не делится.
Числа 126 и 254610 – делятся на 6. Числа 3585 и 6574 не делятся на 6.

Признаки делимости на 5 и 25:

На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0
или 5. Другие - не делятся.
Числа 245 и 56780 – делятся на 5. Числа 451 и 678 – не
делятся на 5.
На 25 делятся числа, две последние цифры которых
нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е.
числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие
не делятся.
Числа 7150 и 345600 – делятся на 25. Число 56755 – не
делится на 25.

Признаки делимости на 10, 100 и 1000:

На 10 делятся только те числа, последняя цифра
которых нуль, на 100 - только те числа, у которых
две последние цифры нули, на 1000 - только те, у
которых три последние цифры нули.
Число 34680 – делится на 10. Число 56700 – делится на
100 и на 10. Число 87549000 - делится на 10, 100 и 1000.
Числа 75864, 7776539 и 9864032 – не делятся на 10, 100 и
1000.

Признак делимости на 11:

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр,
занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр,
занимающих четные места, либо разнится от нее на число,
делящееся на 11.
Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих
нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные
места 0+7+5=12.
Число 9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих
нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих
четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть
22, а это число делится на 11.
Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и б +0 +
5=11 не равны друг другу, а их разность 11 -7 = 4 на 11 не делится.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Разложим число 20 на слагаемые различными способами: 1) 20 = 9 + 9 + 2 2) 20 = 9 + 8 + 3 3) 20 = 9 + 7 + 4 4) 20 = 9 + 6 + 5 5) 20 = 8 + 8 + 4 6) 20 = 8 + 7 + 5. Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не делится на 9. При разложении способами (1)−(4) суммы квадратов чисел не делятся на 3. При разложении способом (5) сумма квадратов делится на 3 и на 9. Разложение способом (6) удовлетворяет условиям задачи. Ответ: например, числа 578 или 587 или 785 и т.д.

3 слайд

Описание слайда:

№ 2. Приведите пример трехзначного натурального числа, большего 600, которое при делении на 3, на 4 и на 5 даёт в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число. 600 делится на 3, 4 и 5. Число 601 дает в остатке 1 при делении на эти числа, но цифры в 601 не убывают. НОК=3*4*5=60 - делится на 3, 4 и 5. Проверяем число 600+60 =660. Оно делится на 3, 4 и 5, число с остатком 1 это 661, но цифры не убывают. Проверяем следующее 660+60= 720, оно делится на 3, 4 и 5. Число 721 дает в остатке 1 и цифры убывают. Ответ: 721.

4 слайд

Описание слайда:

№ 3. Приведите пример пятизначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число. Разложим 40 на 5 множителей: 40=5*2*2*2*1. Например, 51222. Т.к. число должно быть кратно 12, то оно должно делиться на 3 и 4. Сумма цифр равна 12, значит, оно делится на 3. Чтобы число делилось на 4, надо чтобы две последние цифры составили число, которое делится на 4. 22 не делится на 4, а 12 делится. Значит, в конце стоят цифры 1, 2. Варианты ответа: 52212, 25212, 22512.

5 слайд

Описание слайда:

№ 4. Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число 5 3 1 6 4 0 1 8 - цифры числа. Чтобы число делилось на 15, надо, чтобы оно делилось на 3 и на 5. Чтобы число делилось на 5, надо, чтобы оно оканчивалось на 0 или на 5. Вычеркнем 2 последние цифры. 5+3+1+6+4+0 = 19, значит надо вычеркнуть цифру 1 (сумма цифр будет 18), или 4 (сумма цифр будет 15). Варианты ответа: 53640 или 53160.

6 слайд

Описание слайда:

№ 5. Найдите трехзначное число большее 500 которое при делении на 4 на 5 и на 6 дает в остатке 2 и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Число которое делится на 4, 5 и 6 равно 60. Число больше 500 и кратное 60 это 540, 600, 660, 720, 780, 840, 900, 960. Чтобы при делении на 60 в остатке получить 2, надо к любому из этих чисел прибавить 2. Это может быть 662 или 722.

7 слайд

№ 7. Найдите трехзначное натуральное число, большее 400, но меньшее 650, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Число начинается с цифры 4 (больше 400), значит оно должно делиться на 4. Второе число - 416. Оно делится и на 4. но не делиться на 6. Первое число - 412. Оно делится и на 4 и на 2 (четное число) Число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Еще число - 432. Оно делится и на 4, и на 3, и на 2. Варианты ответа: 412 или 432.