Урок «Функции и их свойства. Свойства числовых функций Обобщение темы числовые функции и их свойства

ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА».

Цели урока :

Методическая: повышение активно-познавательной деятельности учащихся путем проведения индивидуально-самостоятельной работы и применения тестовых заданий развивающего типа.

Обучающая: повторить элементарные функции, их основные свойства и графики. Ввести понятие взаимно-обратных функций. Систематизировать знания учащихся по теме; способствовать закреплению умений и навыков в вычислении логарифмов, в применении их свойств при решении заданий нестандартного типа; повторить построение графиков функций с помощью преобразований и проверить навыки и умения при самостоятельном решении упражнений.

Воспитательная: воспитание аккуратности, собранности, ответственности, умения принимать самостоятельные решения.

Развивающая: развивать интеллектуальные способности, мыслительные операции, речь, память. Развивать любовь и интерес к математике; в ходе урока обеспечить развитие у учащихся самостоятельности мышления в учебной деятельности.

Тип урока: обобщение и систематизация.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, учебная литература.

Эпиграф урока: “Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит”.

(М.В. Ломоносов).

ХОД УРОКА

Проверка домашнего задания.

Повторение показательной и логарифмической функций с основанием а = 2, построение их графиков в одной координатной плоскости, анализ их взаимного расположения. Рассмотреть взаимозависимость между основными свойствами этих функций (ООФ и ОЗФ). Дать понятие взаимно-обратных функций.

Рассмотреть показательную и логарифмическую функции с основанием а = ½ с

целью убедиться в соблюдении взаимозависимости перечисленных свойств и для

убывающих взаимно-обратных функций.

Организация самостоятельной работы тестового типа на развитие мыслительной

операции систематизации по теме «Функции и их свойства».

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ:

1). у = ‌│х│ ;

2). Возрастает на всей области определения;

3). ООФ: (- ∞; + ∞) ;

4). у = sin x ;

5). Убывает при 0 < а < 1 ;

6). у = х ³ ;

7). ОЗФ: (0; + ∞) ;

8). Функция общего вида;

9). у = √ х;

10). ООФ: (0; + ∞) ;

11). Убывает на всей области определения;

12). у = кх + в;

13). ОЗФ: (- ∞; + ∞) ;

14). Возрастает при к > 0 ;

15). ООФ: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;

16). у = cos x ;

17). Не имеет точек экстремума;

18). ОЗФ: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;

19). Убывает при к < 0 ;

20). у = х ² ;

21). ООФ: х ≠ πn ;

22). у = к/х;

23). Четная;

25). Убывает при к > 0 ;

26). ООФ: [ 0; + ∞) ;

27). у = tg x ;

28). Возрастает при к < 0;

29). ОЗФ: [ 0; + ∞) ;

30). Нечетная;

31). у = log x ;

32). ООФ: х ≠ πn/2 ;

33). у = ctg x ;

34). Возрастает при а > 1.

Во время этой работы осуществлять опрос учащихся по индивидуальным заданиям:

№1. а) Построить график функции

б) Построить график функции

№2. а) Вычислить:

б) Вычислить:

№3. а) Упростить выражение
и найти его значение при

б) Упростить выражение
и найти его значение при
.

Домашнее задание: №1. Вычислить: а)
;

в)
;

г)
.

№2. Найти область определения функции: а)
;

в)
; г)
.

Это соответствие, при котором каждому элементу х из множества D по некоторому правилу сопоставляется определенное число у, зависящее от х. Обозначение: y = f(x) х у Независимая переменная или аргумент зависимая переменная или значение функции D(f) E(f) Область определения функции Область значения функции Числовая функция с областью определения D

Чётность функции Функция y=f(x), называется чётной, если для любого значения х из области определения выполняется равенство f(-x)=f(x). Функция y=f(x), называется нечётной, если для любого значения х из области определения выполняется равенство f(-x)=-f(x).

Монотонность функции (Возрастание и убывание функции) Функцию у=f(x) называют возрастающей на множестве Х є D(f), если для любых точек х 1 и х 2 множества Х таких, что х 1 f(x 2) f(x 2)">

Как построить график периодической функции Если функция у=f(x) имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить ветвь (волну, часть) графика на любом промежутке длины Т, а затем сдвинуть эту ветвь по оси х вправо и влево на Т, 2Т, 3Т и т. д.

Ограниченность функции Функцию y=f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х є D(f), если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа. (т.е. если существует число m такое, что для любого значения х є Х выполняется неравенство: f(x) > m. Функцию y=f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х є D(f), если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа. (т.е. если существует число M такое, что для любого значения х є Х выполняется неравенство: f(x) m. Функцию y=f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х є D(f), если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа. (т.е. если существует число M такое, что для любого значения х є Х выполняется неравенство: f(x)

Наибольшее и наименьшее значение функции Число m называют наименьшим значением функции у=f(x) на множестве Х є D(f), если: 1) существует точка х o є Х такая, что f(х o)=m; 2) Для любого значения х є Х выполняется неравенство f(x)f(x o) Число M называют наибольшим значением функции у=f(x) на множестве Х є D(f), если: 1) существует точка х o є Х такая, что f(х o)=M; 2) Для любого значения х є Х выполняется неравенство f(x)f(x o)

Выпуклость функции Функция выпукла вверх на промежутке X с Dif), если, соединив любые две точки ее графика с абсциссами из X отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке X с D(f), если, соединив любые две точки ее графика с абсциссами из X отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка

Непрерывность функции непрерывность функции на промежутке X означает, что график функции на данном промежутке не имеет точек разрыва (т. е. представляет собой сплошную линию). Замечание. На самом деле о непрерывности функции можно говорить только тогда, когда доказано, что функция является непрерывной. Но соответствующее определение сложное и нам пока не по силам (мы дадим его позднее, в § 26). То же самое можно сказать и о понятии выпуклости. Поэтому, обсуждая указанные два свойства функций, будем пока по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления.

Точки экстремумов и экстремум функции. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции. Определение. Точка x 0 называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x 0 выполняется неравенство f(x) f(x 0). Определение. Точка x 0 называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x 0 выполняется неравенство f(x) f(x 0).

Схема исследования функции 1 - Область определения 2 - четность (нечетность) 3 - наименьший положительный период 4 - промежутки возрастания и убывания 5 – точки экстремумов и экстремумы функции 6 – ограниченность функции 7 – непрерывность функции 8 - наибольшее и наименьшее значение функции 9 - Область значений 10 –выпуклость функции

Разделы: Математика

Класс: 9

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование:

Интерактивное оборудование (ПК, мультимедийный проектор).
Тест, материал в Microsoft Word (Приложение 1 ).
Интерактивная программа “АвтоГраф”.
Индивидуальный тест – раздаточный материал (Приложение 2 ).

Ход урока

1. Организационный момент

Озвучивается цель урока.

I этап урока

Проверка домашнего задания

Собрать листочки с домашней самостоятельной работой из дидактического материала С-19 вариант 1.
Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся при выполнении домашней самостоятельной работы.

II этап урока

1. Фронтальный опрос.

2. Блиц-опрос: выделите на доске верный ответ в тесте (Приложение 1, стр. 2-3).

III этап урока

Выполнение упражнений.

1. Решить № 358 (а). Решите графически уравнение: .

2. Карточки (четыре слабых учащихся решают в тетради или на доске):

1) Найдите значение выражения: а) ; б) .

2) Найдите область определения функций: а) ; б) y = .

3. Решить № 358 (а). Решите графически уравнение: .

Один ученик решает на доске, остальные в тетради. При необходимости учитель помогает ученику.

На интерактивной доске с помощью программы “АвтоГраф” построена прямоугольная система координат. Учащийся чертит соответствующие графики маркером, находит решение, записывает ответ. Затем задание проверяется: вводится формула с помощью клавиатуры, и график должен совпасть с уже нарисованным в этой же системе координат. Абсцисса пересечения графиков и есть корень уравнения.

Решение :

Ответ : 8

Решить № 360 (а). Постройте и прочитайте график функции:

Учащиеся выполняют задание самостоятельно.

Проверяется построение графика с помощью программы “АвтоГраф”, свойства записываются на доске одним учащимся (область определения, область значения, чётность, монотонность, непрерывность, нули и знакопостоянство, наибольшее и наименьшее значения функции).