Кто первым решил уравнение высшей степени. Схема Горнера. Примеры Решение уравнений с параметром

Проблема решения уравнений третьей и четвертой степени в радикалах не вызывалась особой практической необходимостью. Ее появление косвенным образом свидетельствовало о постепенном переходе математики к более высокому уровню ее развития, когда математическая наука развивается не только под влиянием запросов практики, но и в силу своей внутренней логики. После решения квадратных уравнений естественно было перейти к решению кубических уравнений.

Уравнения третьей и четвертой степени были решены в Италии в XVI в.

Итальянские математики рассматривали три вида кубических уравнений:

Рассмотрение трех видов кубических уравнений вместо одного связано с тем, что, хотя математикиXVI в. были знакомы с отрицательными числами, но они еще долго не считались настоящими числами, и ученые стремились записывать уравнения только с положительными коэффициентами.

Исторически сложилось так, что сначала алгебраисты занялись уравнением первого типа

Первоначально его решил профессор Болонского университета Сципион дель Ферро, но полученное решение не опубликовал, а сообщил его своему ученику Фиоре. С помощью секрета решения этого уравнения Фиоре победил на нескольких математических турнирах. Тогда такие турниры были распространены в Италии. Заключались они в том, что два противника в присутствии нотариуса обменивались заранее обусловленным числом задач и договаривались о сроке для их решения. Победитель получал известность и нередко выгодную должность. В 1535 г. Фиоре вызвал на такой поединок любого, кто хочет с ним сразиться. Вызов принял Тарталья.

Никколо Тарталья (1500-1557) рано остался сиротой и вырос в бедности, не получив никакого образования. Тем не менее он был хорошо знаком с математикой того времени и зарабатывал себе на жизнь частными уроками математики. Незадолго до поединка с Фиоре он сумел самостоятельно решить уравнение (1). Поэтому когда противники встретились, Тарталья смог за несколько часов решить задачи Фиоре; все они оказались на уравнении (1). Что касается Фиоре, то он и за много дней не решил ни одной из 30 разнообразных задач Тартальи. Победителем турнира был признан Тарталья. Известие о его победе распространилось по всей Италии. Он стал заведовать кафедрой математики в университете города Вероны.

Метод Тартальи заключался в следующем. Он полагал в уравнении (1) , гдеu и v – новые неизвестные. Получим:

Положим в последнем уравнении . Образуется система уравнений

которая сводится к квадратному уравнению. Из нее находим:

,

Вскоре после турнира Тарталья легко решил кубические уравнения второго и третьего типа. Например, для уравнения второго типа он применил подстановкукоторая привела к формуле

(3)

Известие об успехи Тартальи дошло до Кардано. Джироламо Кардано (1501-1576) окончил медицинский факультет университета в Павии и был врачом в Милане. Он являлся ученым, не менее талантливым, чем Тарталья, и гораздо более разносторонним: он занимался медициной, математикой, философией и астрологией. Кардано задумал написать книгу энциклопедического характера по алгебре, и она была бы неполна без решения кубических уравнений. Он обратился к Тарталье с просьбой сообщить его способ решения этих уравнений. Тарталья не соглашался, и тогда Кардано поклялся на Евангелии никому не сообщать секрета решения кубических уравнений. По-видимому, Тарталья собирался сам написать книгу по алгебре, включив в нее и свое открытие, но из-за занятости и из-за того, что издание было делом дорогостоящим, откладывал свое намерение. В конце концов в 1545 г. Кардано выпустил свою монографию под названием «Великое искусство», в которую вошло и открытие «моего друга Тартальи». Тарталья был разгневан нарушением клятвы и выступил в печати с разоблачением Кардано. Кончилось тем, что лучший ученик Кардано вызвал Тарталью на публичный поединок. Поединок состоялся в 1548 г. в Милане и закончился, при не вполне ясных обстоятельствах, поражением Тартальи. Формулы корней кубического уравнения получили в истории название формул Кардано, хотя сам Кардано в своей книге и не приводил формул, а излагал алгоритм решения кубического уравнения.

Книга Кардано «Великое искусство» сыграло значительную роль в истории алгебры. В частности, в ней он доказал, что полное уравнение третье степени с помощью подстановки сводится к уравнению без члена с квадратом неизвестного, т.е. к одному из трех видов кубических уравнений, рассмотренных в начале параграфа. Осовременивая изложение, возьмем кубическое уравнение общего вида

с произвольными по знаку коэффициентами вместо тех нескольких типов кубических уравнений, которыми занимался Кардано, и положим в нем

.

Нетрудно проверить, что последнее уравнение не содержит члена с квадратом неизвестного, так как сумма членов, содержащих равна нулю:

.

Аналогично Кардано доказал, что в полном уравнении четвертой степени можно избавиться от члена с кубом неизвестного. Для этого в уравнении четвертой степени общего вида

достаточно положить .

Позднее Ф. Виет знакомое нам кубическое уравнение решил с помощью остроумной подставкиБудем иметь:

.

Положим в последнем уравнении . Из полученного квадратного уравнения находимt ; затем вычислими, наконец,

Уравнение четвертой степени решил Феррари. Он решал его на примере

(без члена с кубом неизвестного), но вполне общим способом.

Прибавим к обеим частям уравнения (4) , с тем, чтобы дополнить левую часть до квадрата суммы:

Теперь прибавим к обеим частям последнего уравнения сумму

где t – новое неизвестное:

Так как левая часть уравнения (5) есть квадрат суммы, то и правая часть есть квадрат, а тогда дискриминант квадратного трехчлена равен нулю: Впрочем, вXVI в. это уравнение писали в виде

Уравнение (6) является кубическим. Найдем из него t уже знакомым способом, подставим это значение t в уравнение (5) и извлечем из обеих частей полученного уравнения квадратный корень. Образуется квадратное уравнение(точнее, два квадратных уравнения).

Приведенный здесь способ решения уравнения четвертой степени вошел в книгу Кардано.

По воззрениям того времени, правило решения кубического уравнения второго типа по формуле (3) нельзя применять в том случае, когда

; c современной точки зрения, в этом случае приходится проводить операции над мнимыми числами. Например, уравнение

имеет действительный корень ; кроме того, оно имеет еще два действительных (иррациональных) корня. Но по формуле (3) получаем:

Каким образом из мнимых («воображаемых», как тогда говорили) чисел получается действительное число? Это случай кубического уравнения получил название неприводимого.

Подробно неприводимый случай разобрал итальянский математик Рафаэль Бомбелли в книге «Алгебра», изданной в 1572 г. В формуле (3) он объяснил эту ситуацию тем, что первый кубический корень равен а второй –a-bi (где a и b- действительные числа, t-мнимая единица), так что их сумма дает

т.е. действительное число.

Бомбелли привел правила действий над комплексными числами.

После выхода книги Бомбелли математикам постепенно становится ясно, что в алгебре без комплексных чисел не обойтись.

Решение уравнений II,III,IV-й степеней по формуле. Уравнения первой степени, т.е. линейные, нас учат решать ещё с первого класса, и особого интереса к ним не проявляют. Интересны нелинейные уравнения т.е. больших степеней. Среди нелинейных (уравнений общего вида, не решающихся разложением на множители или каким-либо другим относительно простым способом) уравнения низших степеней (2,3,4- й) можно решить с помощью формул. Уравнения 5-й степени и выше неразрешимы в радикалах (нет формулы). Поэтому мы рассмотрим только три метода.

I. Квадратные уравнения. Формула Виета. Дискриминант квадратного трехчлена. I. Квадратные уравнения. Формула Виета. Дискриминант квадратного трехчлена. Для любого приведённого кв. уравнения справедлива формула: Для любого приведённого кв. уравнения справедлива формула: Обозначим: D=p-4q тогда формула примет вид: Обозначим: D=p-4q тогда формула примет вид: Выражение D называют дискриминантом. При исследовании кв. трехчлена смотрят на знак D. Если D>0,то корней 2; D=0, то корень 1; если D 0,то корней 2; D=0, то корень 1; если D 0,то корней 2; D=0, то корень 1; если D 0,то корней 2; D=0, то корень 1; если D">

II. Теорема Виета Для любого приведённого кв. уравнения Для любого приведённого кв. уравнения Справедлива теорема Виета: Для любого уравнения n-ой степени теорема Виета также справедлива: коэффициент взятый с противоположным знаком, равен сумме его n корней; свободный член равен произведению n его корней и числа (-1) в n степени. Для любого уравнения n-ой степени теорема Виета также справедлива: коэффициент взятый с противоположным знаком, равен сумме его n корней; свободный член равен произведению n его корней и числа (-1) в n степени.

Вывод формулы Виета. Запишем формулу квадрата суммы Запишем формулу квадрата суммы И заменим в ней a на х, b на И заменим в ней a на х, b на Получим: Получим: Теперь отсюда вычтем первоначальное равенство: Теперь отсюда вычтем первоначальное равенство: Теперь нетрудно получить нужную формулу. Теперь нетрудно получить нужную формулу.

Итальянские математики 16 в. сделали крупнейшее математическое открытие. Они нашли формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Рассмотрим произвольное кубическое уравнение: И покажем, что с помощью подстановки его можно преобразить к виду Пусть Получим: Положим т.е. Тогда данное уравнение примет вид

В 16 в. было распространено соревнование между учеными, проводившееся в форме диспута. Математики предлагали друг другу определенное число задач, которые нужно было решить к началу поединка. Выигрывал тот, кто решил большее число задач. Антонио Фиоре постоянно участвовал в турнирах и всегда выигрывал, так как владел формулой для решения кубических уравнений. Победитель получал денежное вознаграждение, ему предлагали почетные, высоко оплачиваемые должности.

IV. Тарталья преподавал математику в Вероне, Венеции, Брешии. Перед турниром с Фиоре он получил от противника 30 задач, увидев,что все они сводятся к кубическому уравнению И приложил все силы для его решения. Отыскав формулу, Тарталья решил все задачи, преложенные ему Фиоре, и выиграл турнир. Через день после поединка он нашел формулу для решения уравнения Это было величайшее открытие. После того как в Древнем Вавилоне была найдена формула для решения квадратных равнений, выдающиеся математики в течение двух тысячелетий безуспешно пытались найти формулу для решений кубических уравнений. Метод решения Тарталья держал втайне. Рассмотрим уравнение Тарталья использовал подстановку

Ее называют сейчас формулой Кардано, так как она впервые была опубликована в 1545 г. в книге Кардано «Великое искусство, или Об алгебраических правилах». Джироламо Кардано () окончил университет в Падуе. Его главным занятием была медицина. Кроме того, он занимался философией, математикой, астрологией, составлял гороскопы Петрарки, Лютера, Христа, английского короля Эдуарда 6. Папа римский пользовался услугами Кардано - астролога и покровительствовал ему. Кардано умер в Риме. Существует легенда, что он покончил жизнь самоубийством в тот день, который предсказал, составляя собственный гороскоп, как день своей смерти.

Кардано неоднократно обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения кубических уравнений и обещал хранить ее тайну. Он не сдержал слова и опубликовал формулу, указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего все таланты человеческого духа». В книге Кардано «Великое искусство…» опубликована также формула для решения уравнений четвертой степени, которую открыл Луиджи Феррари ()- ученик Кардано, его секретарь и поверенный.

V. Изложим метод Феррари. Запишем общее уравнение четвертой степени: С помощью подстановки его можно привести к виду Используя метод дополнения до полного квадрата, запишем: Феррари ввел параметр и получил: Отсюда Учитывая, получим В левой части уравнения стоит полный квадрат, а в правой - квадратный трехчлен относительно х. Чтобы правая часть была полным квадратом, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена равнялся нулю, т.е. число t должно удовлетворять уравнению

Кубические уравнения Феррари решил по формуле Кардано. Пусть - корень уравнения. Тогда уравнение запишется в виде Кубические уравнения Феррари решил по формуле Кардано. Пусть - корень уравнения. Тогда уравнение запишется в виде Отсюда получаем два квадратных уравнения: Отсюда получаем два квадратных уравнения: Они дают четыре корня исходного уравнения. Они дают четыре корня исходного уравнения.

Приведем пример. Рассмотрим уравнение Легко проверить, что -корень этого уравнения. Естественно считать, что, используя формулу Кардано, мы найдем этот корень. Проведем вычисления, учитывая, что По формуле находим: Как понять выражение На этот вопрос первым ответил инженер Рафаэль Бомбелли (ок), работавший в Болонье В 1572 г. он издал книгу «Алгебра», в которую ввел в математику число i, такое, что Бомбелли сформулировал правила операций с числом Согласно теории Бомбелли,выражение можно записать так: А корень уравнения, имеющий вид, можно записать так:

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Со времен Омара Хайяма ученые средневековья почти 400 лет искали формулу для решения уравнений третьей степени.

Паоло Вальмес за свое открытие поплатился жизнью. Инквизиция отправила Вальмеса на костер. Однако трагедии и неудачи не смогли остановить прогресс.

Омар Хайям(1048 – 1123)

В своих математических трудах таджикский ученый описал все возможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел геометрический способ их решения.

Николо Тарталья (1499 – 1557)

Решил уравнение в радикалах

Джероламо Кардано(1501 – 1576)

Обобщил приемы решения разных видов кубических уравнений. Независимо от Тартальи открыл формулу корней («формула Кардано»).

Франсуа Виет (1540 – 1603)

Установил, каким образом корни уравнения выражаются через коэффициенты. Поставил вопрос о существовании решения уравнений произвольных степеней в радикалах

Паоло Руффини (1765 – 1822)

Пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени.

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)

Искал признаки уравнений высших степеней, разрешимых в радикалах

Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829)

Доказал неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени и более высоких степеней в общем случае.

Эварист Галуа (1811 – 1832)

Нашел необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

Уравнения разных степеней

Ровесник Леонардо да Винчи, профессор Сципион дель Ферро из Болоньи (ум.1526) посвятил всю жизнь решению различных алгебраических уравнений. Затруднения, связанные с неудобными обозначениями неизвестных величин, были огромны.

Как мы показали выше, важнейшие достижения математиков средневековой Европы относились к области алгебры, к усовершенствованию ее аппарата и символики. Региомонтан обогатил понятие числа, введя радикалы и операции над ними. Это позволяло ставить проблему решения возможно более широкого класса уравнений в радикалах. И в этой именно области были достигнуты первые успехи – решены в радикалах уравнения 3-й и 4-й степени.

Ход событий, связанных с этим открытием, освещается в литературе разноречиво. В основном он таков. Профессор университета в Болонье Сципион дель Ферро вывел формулу для нахождения положительного корня конкретных уравнений вида х 3 + рх = q (p›0, q ›0). Он держал ее в тайне, приберегая как оружие против своих противников в научных диспутах, но перед смертью сообщил эту тайну своему родственнику и преемнику по должности Аннибалу делла Наве и ученику своему – Фиоре.

В начале 1535 года должен был состояться научный поединок между Фиоре с Николо Тарталья (1500–1557). Последний был талантливым ученым, выходцем из бедной семьи, зарабатывавшим себе на жизнь преподаванием математики и механики в городах Северной Италии. Узнав, что Фиоре владеет формулой Ферро и готовит своему противнику задачи на решение кубических уравнений, Тарталья сумел заново открыть эту формулу.

На диспуте Фиоре предложил Тарталье несколько вопросов, требующих умения решать уравнения третьей степени. Но Тарталья уже нашел раньше сам решение таких уравнений и, мало того, не только одного того частного случая, который был решен Ферро, но и двух других частных случаев. Тарталья принял вызов и сам предложил Фиоре свои задачи. Результатом состязания было полное поражение последнего. Тарталья решил предложенные ему задачи в продолжение двух часов, между тем как Фиоре не мог решить ни одной задачи, предложенной ему (с обеих сторон было 30 задач).

Вскоре Тарталья смог решать уравнения вида х 3 = рх + q (p›0, q ›0). Наконец он сообщил, что уравнения вида х 3 + q = px сводятся к предыдущему виду, но не дал способа сведения. Тарталья долго не публиковал своего результата. Причин этому было две: во-первых, та же причина, которая останавливала и Ферро. Во-вторых, невозможность справиться с неприводимым случаем. Последний состоит в том, что есть уравнения х 3 = рх + q которые имеют действительный положительный корень. Однако формула Тартальи не давала решения в том случае, когда надо было извлекать корень из отрицательных чисел, так как не было возможности правильно трактовать мнимые числа, получающиеся при этом. Неприводимый случай появлялся у Тартальи и в уравнениях вида х 3 + q = px.

Однако его труд не пропал даром. С 1539 года кубическими уравнениями начинает заниматься Кардано (1501–1576). Услышав об открытии Тартальи, он приложил много усилий, чтобы выманить тайну у осторожного и недоверчивого ученого для публикации в своей книге «Великое искусство, или о правилах алгебры». Только когда Кардано поклялся над Евангелием и дал честное слово дворянина, что не откроет способа Тартальи для решения уравнений и даже запишет его в виде непонятной анаграммы, Тарталья согласился раскрыть свою тайну. Он показал правила решений кубических уравнений, изложив их в стихах, причем довольно туманно.

Однако Кардано не только понял эти правила, но и нашел доказательства для них. Невзирая на данное им обещание, он опубликовал способ Тартальи, и способ этот известен до сих пор под именем «правила Кардана». А книга появилась в 1545 году.

Вскоре было открыто и решение уравнений 4-й степени. Итальянский математик Д. Колла предложил задачу, для решения которой известных до той поры правил были недостаточно, а требовалось умение решать биквадратные уравнения. Большинство математиков считало эту задачу неразрешимою. Но Кардано предложил ее своему ученику Луиджи Феррари, который решил задачу, и даже нашел способ решать уравнения 4-й степени вообще, сводя их к уравнениям 3-й степени.

Столь быстрые и поразительные успехи в нахождении формулы решения уравнений 3-й и 4-й степени поставили перед математиками проблему отыскания решений уравнений любых степеней. Огромное число попыток, усилия виднейших ученых не приносили успеха. В поисках протекло около 300 лет. Только в XIX веке Абель (1802–1829) доказал, что уравнения степени п›4, вообще говоря, в радикалах не решаются.

На пути создания общей теории алгебраических уравнений и способов их решения стояли еще два препятствия: сложность, неудобство получаемых формул и неразъясненность неприводимого случая. Первое составляло чисто практическое неудобство. Его Кардано устраняет, предлагая находить корни уравнений приближенно с помощью правила двух ложных положений, по существу применяемого и в наши дни в виде простой, или линейной, интерполяции. Второе препятствие имеет более глубокие корни, а попытки его преодоления привели к весьма важным следствиям.

Плодотворная и смелая попытка справиться с неприводимым случаем принадлежит итальянскому математику и инженеру Р. Бомбелли из Болоньи. В сочинении «Алгебра» (1572) он ввел формально правила действий над мнимыми и комплексными числами.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Подобные документы

Описание жизни Италии и мира того времени, когда жил и творил Джироламо Кардано. Научная деятельность математика, обзор его математических трудов и поиск решения кубических уравнений в радикалах. Способы решений уравнений третьей и четвертой степеней.

курсовая работа , добавлен 26.08.2011


История развития математической науки в Европе VI-XIV вв., ее представители и достижения. Развитие математики эпохи Возрождения. Создание буквенного исчисления, деятельность Франсуа Виета. Усовершенствование вычислений в конце XVI – начале XVI вв.

презентация , добавлен 20.09.2015


Европейская математика эпохи Возрождения. Создание буквенного исчисления Франсуа Виет и метода решения уравнений. Усовершенствование вычислений в конце XVI – начале XVII веков: десятичные дроби, логарифмы. Установление связи тригонометрии и алгебры.

презентация , добавлен 20.09.2015


Из истории десятичных и обыкновенных дробей. Действия над десятичными дробями. Сложение (вычитание) десятичных дробей. Умножение десятичных дробей. Деление десятичных дробей.

реферат , добавлен 29.05.2006


Греческая математика и её философия. Взаимосвязь и совместный путь философии и математики от начала эпохи возрождения до конца XVII века. Философия и математика в эпохе Просвещения. Анализ природы математического познания немецкой классической философии.

дипломная работа , добавлен 07.09.2009


Уравнение в дробях количества знаков после запятой, выполнение сложения и вычитания, не обращая внимания на запятую. Практическая значимость теории десятичных дробей. Самостоятельная работа с последующей проверкой результатов, выполнение вычислений.

презентация , добавлен 02.07.2010


Изучение возникновения математики и использования математических методов Древнем Китае. Особенности задач китайцев по численному решению уравнений и геометрических задач, приводящих к уравнениям третьей степени. Выдающиеся математики Древнего Китая.