Jak udowodnić nierówności wykładnicze. Nierówności wykładnicze. Lekcja i prezentacja na temat: „Równania wykładnicze i nierówności wykładnicze”

Schemat na rysunku 5:

I następujący przykład: Rozwiąż nierówność 0,6 2x – 3< 0,36 .

Postępując zgodnie ze schematem na rysunku 5, otrzymujemy
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2х – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Odpowiedź: (2,5; +∞) .

Rozważmy ostatni schemat rozwiązania nierówności formy i f(x)< b , Na a>0 I B<0 , przedstawione na rysunku 6:

Rozwiążmy na przykład nierówność:

Zauważmy, że niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy za x, lewa strona nierówności jest zawsze większa od zera, a w naszym przypadku to wyrażenie jest mniejsze od -8, tj. i zero, co oznacza brak rozwiązań.

Odpowiedź: żadnych rozwiązań.

Wiedząc, jak rozwiązać najprostsze nierówności wykładnicze, możesz przystąpić do rozwiązywanie nierówności wykładniczych.

Przykład 1.

Znajdź największą wartość całkowitą x, która spełnia nierówność

Ponieważ 6 x jest większe od zera (przy żadnym x mianownik nie dąży do zera), mnożąc obie strony nierówności przez 6 x, otrzymujemy:

440 – 2 6 2x > 8, zatem
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

X< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Odpowiedź 1.

Przykład 2.

Rozwiąż nierówność 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Oznaczmy 2 x przez y, uzyskajmy nierówność y 2 – 3y + 2 ≤ 0 i rozwiążmy tę nierówność kwadratową.

y 2 – 3 lata +2 = 0,
y 1 = 1 i y 2 = 2.

Gałęzie paraboli są skierowane w górę, narysujmy wykres:

Wtedy rozwiązaniem nierówności będzie nierówność 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Odpowiedź: (0; 1) .

Przykład 3. Rozwiąż nierówność 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Zbierzmy wyrażenia o tych samych podstawach w jednej części nierówności

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Wstawmy 5 x z nawiasów po lewej stronie nierówności i 3 x po prawej stronie nierówności i otrzymamy nierówność

5x (5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3,5 x< (25/3)·3 х

Podziel obie strony nierówności przez wyrażenie 3 3 x, znak nierówności się nie zmienia, ponieważ 3 3 x jest liczbą dodatnią, otrzymujemy nierówność:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

Odpowiedź: (–∞; 2) .

Jeśli masz pytania dotyczące rozwiązywania nierówności wykładniczych lub chciałbyś poćwiczyć rozwiązywanie podobnych przykładów, zapisz się na moje lekcje. Korepetytor Valentina Galinevskaya.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Rozwiązanie większości problemów matematycznych w taki czy inny sposób polega na przekształcaniu wyrażeń numerycznych, algebraicznych lub funkcjonalnych. Powyższe dotyczy w szczególności decyzji. W wersjach Unified State Exam z matematyki do tego typu zadania zalicza się w szczególności zadanie C3. Nauka rozwiązywania zadań C3 jest ważna nie tylko po to, aby pomyślnie zdać egzamin Unified State Exam, ale także dlatego, że umiejętność ta przyda się podczas nauki matematyki w szkole średniej.

Wykonując zadania C3 trzeba rozwiązywać różnego rodzaju równania i nierówności. Należą do nich racjonalne, irracjonalne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, zawierające moduły (wartości bezwzględne), a także połączone. W artykule omówiono główne typy równań i nierówności wykładniczych, a także różne metody ich rozwiązywania. O rozwiązywaniu innych typów równań i nierówności przeczytasz w dziale „” w artykułach poświęconych metodom rozwiązywania problemów C3 z Unified State Examination z matematyki.

Zanim zaczniemy analizować konkretne Równania i nierówności wykładnicze Jako korepetytor matematyki sugeruję, abyś odświeżył trochę materiału teoretycznego, który będzie nam potrzebny.

Funkcja wykładnicza

Co to jest funkcja wykładnicza?

Funkcja formy y = x, Gdzie A> 0 i A≠ 1 nazywa się funkcja wykładnicza.

Podstawowy własności funkcji wykładniczej y = x:

Wykres funkcji wykładniczej

Wykres funkcji wykładniczej to wykładnik potęgowy:

Wykresy funkcji wykładniczych (wykładniki)

Rozwiązywanie równań wykładniczych

Orientacyjny nazywane są równaniami, w których nieznana zmienna występuje tylko w wykładnikach niektórych potęg.

Dla rozwiązań równania wykładnicze musisz znać i umieć zastosować następujące proste twierdzenie:

Twierdzenie 1. Równanie wykładnicze A F(X) = A G(X) (Gdzie A > 0, A≠ 1) jest równoważne równaniu F(X) = G(X).

Ponadto warto zapamiętać podstawowe formuły i operacje na stopniach:

Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}

Przykład 1. Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie: Korzystamy z powyższych wzorów i podstawień:

Równanie staje się wówczas:

Dyskryminator otrzymanego równania kwadratowego jest dodatni:

Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}

Oznacza to, że to równanie ma dwa pierwiastki. Znajdujemy je:

Przechodząc do odwrotnego podstawienia, otrzymujemy:

Drugie równanie nie ma pierwiastków, ponieważ funkcja wykładnicza jest ściśle dodatnia w całej dziedzinie definicji. Rozwiążmy drugie:

Biorąc pod uwagę to, co zostało powiedziane w Twierdzeniu 1, przechodzimy do równoważnego równania: X= 3. To będzie odpowiedź na zadanie.

Odpowiedź: X = 3.

Przykład 2. Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie: Równanie nie ma ograniczeń co do zakresu dopuszczalnych wartości, ponieważ wyrażenie radykalne ma sens dla dowolnej wartości X(funkcja wykładnicza y = 9 4 -X dodatnia i różna od zera).

Równanie rozwiązujemy za pomocą przekształceń równoważnych, korzystając z zasad mnożenia i dzielenia potęg:

Ostatnie przejście przeprowadzono zgodnie z Twierdzeniem 1.

Odpowiedź:X= 6.

Przykład 3. Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie: obie strony pierwotnego równania można podzielić przez 0,2 X. To przejście będzie równoważne, ponieważ to wyrażenie jest większe od zera dla dowolnej wartości X(funkcja wykładnicza jest ściśle dodatnia w swojej dziedzinie definicji). Wtedy równanie przyjmuje postać:

Odpowiedź: X = 0.

Przykład 4. Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie: upraszczamy równanie do elementarnego poprzez przekształcenia równoważne, korzystając z podanych na początku artykułu zasad dzielenia i mnożenia potęg:

Dzielenie obu stron równania przez 4 X, jak w poprzednim przykładzie, jest równoważną transformacją, ponieważ to wyrażenie nie jest równe zero dla żadnej wartości X.

Odpowiedź: X = 0.

Przykład 5. Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie: funkcjonować y = 3X, stojąca po lewej stronie równania, rośnie. Funkcjonować y = —X Wartość -2/3 po prawej stronie równania maleje. Oznacza to, że jeśli wykresy tych funkcji przecinają się, to co najwyżej w jednym punkcie. W tym przypadku łatwo zgadnąć, że wykresy przecinają się w tym punkcie X= -1. Innych korzeni nie będzie.

Odpowiedź: X = -1.

Przykład 6. Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie: upraszczamy równanie za pomocą przekształceń równoważnych, pamiętając wszędzie, że funkcja wykładnicza jest ściśle większa od zera dla dowolnej wartości X i korzystając z zasad obliczania iloczynu i ilorazu potęg podanych na początku artykułu:

Odpowiedź: X = 2.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych

Orientacyjny nazywane są nierównościami, w których nieznana zmienna jest zawarta tylko w wykładnikach niektórych potęg.

Dla rozwiązań nierówności wykładnicze wymagana jest znajomość następującego twierdzenia:

Twierdzenie 2. Jeśli A> 1, to nierówność A F(X) > A G(X) jest równoważne nierówności o tym samym znaczeniu: F(X) > G(X). Jeśli 0< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) jest równoważne nierówności o odwrotnym znaczeniu: F(X) < G(X).

Przykład 7. Rozwiąż nierówność:

Rozwiązanie: Przedstawiamy pierwotną nierówność w postaci:

Podzielmy obie strony tej nierówności przez 3 2 X, w tym przypadku (ze względu na dodatniość funkcji y= 3 2X) znak nierówności nie ulegnie zmianie:

Skorzystajmy z podstawienia:

Wtedy nierówność będzie miała postać:

Zatem rozwiązaniem nierówności jest przedział:

przechodząc do odwrotnego podstawienia, otrzymujemy:

Lewa nierówność, ze względu na dodatniość funkcji wykładniczej, jest spełniona automatycznie. Korzystając ze znanej własności logarytmu, przechodzimy do równoważnej nierówności:

Ponieważ podstawa stopnia jest liczbą większą niż jeden, równoważne (zgodnie z Twierdzeniem 2) jest przejście do następującej nierówności:

Więc w końcu dostajemy odpowiedź:

Przykład 8. Rozwiąż nierówność:

Rozwiązanie: Korzystając z własności mnożenia i dzielenia potęg, zapisujemy nierówność w postaci:

Wprowadźmy nową zmienną:

Uwzględniając to podstawienie, nierówność przyjmuje postać:

Mnożąc licznik i mianownik ułamka przez 7, otrzymujemy równoważną nierówność:

Zatem następujące wartości zmiennej spełniają nierówność T:

Następnie przechodząc do odwrotnego podstawienia otrzymujemy:

Ponieważ podstawa stopnia jest tutaj większa niż jeden, przejście do nierówności będzie równoważne (zgodnie z Twierdzeniem 2):

Wreszcie dostajemy odpowiedź:

Przykład 9. Rozwiąż nierówność:

Rozwiązanie:

Obie strony nierówności dzielimy według wyrażenia:

Jest ona zawsze większa od zera (ze względu na dodatniość funkcji wykładniczej), zatem nie ma potrzeby zmiany znaku nierówności. Otrzymujemy:

t znajdujący się w przedziale:

Przechodząc do odwrotnego podstawienia, okazuje się, że pierwotna nierówność dzieli się na dwa przypadki:

Pierwsza nierówność nie ma rozwiązań ze względu na dodatniość funkcji wykładniczej. Rozwiążmy drugie:

Przykład 10. Rozwiąż nierówność:

Rozwiązanie:

Gałęzie paraboli y = 2X+2-X 2 są skierowane w dół, dlatego jest ograniczona od góry wartością, jaką osiąga na swoim wierzchołku:

Gałęzie paraboli y = X 2 -2X+2 we wskaźniku są skierowane w górę, co oznacza, że ​​jest on ograniczony od dołu wartością, jaką osiąga na swoim wierzchołku:

Jednocześnie funkcja okazuje się również ograniczona od dołu y = 3 X 2 -2X+2, co jest po prawej stronie równania. Najmniejszą wartość osiąga w tym samym punkcie, co parabola wykładnika, a wartość ta wynosi 3 1 = 3. Zatem pierwotna nierówność może być prawdziwa tylko wtedy, gdy funkcja po lewej stronie i funkcja po prawej stronie przyjmą wartość , równy 3 (przecięciem zakresów wartości tych funkcji jest tylko ta liczba). Warunek ten jest spełniony w jednym punkcie X = 1.

Odpowiedź: X= 1.

Aby nauczyć się decydować równania i nierówności wykładnicze, konieczne jest ciągłe szkolenie w ich rozwiązywaniu. W tym trudnym zadaniu pomogą Ci różnorodne pomoce dydaktyczne, zeszyty zadań z matematyki elementarnej, zbiory zadań konkursowych, zajęcia z matematyki w szkole, a także lekcje indywidualne z profesjonalnym korepetytorem. Serdecznie życzę sukcesów w przygotowaniach i doskonałych wyników na egzaminie.

Siergiej Waleriewicz

P.S. Drodzy Goście! Proszę nie pisać w komentarzach próśb o rozwiązanie równań. Niestety nie mam na to kompletnie czasu. Takie wiadomości będą usuwane. Proszę przeczytać artykuł. Być może znajdziesz w nim odpowiedzi na pytania, które nie pozwoliły Ci samodzielnie rozwiązać zadania.

Wiele osób uważa, że ​​nierówności wykładnicze są czymś złożonym i niezrozumiałym. I że nauczenie się ich rozwiązywania to niemal wielka sztuka, którą tylko Wybrani są w stanie pojąć...

Kompletny nonsens! Nierówności wykładnicze są łatwe. I zawsze można je rozwiązać w prosty sposób. No prawie zawsze :)

Dzisiaj przyjrzymy się temu tematowi od wewnątrz i od zewnątrz. Ta lekcja będzie bardzo przydatna dla tych, którzy dopiero zaczynają rozumieć tę część matematyki szkolnej. Zacznijmy od prostych problemów i przejdźmy do bardziej złożonych. Ciężkiej pracy dzisiaj nie będzie, ale to co teraz przeczytasz wystarczy, żeby rozwiązać większość nierówności we wszelkiego rodzaju testach i samodzielnej pracy. I na tym twoim egzaminie też.

Jak zawsze zacznijmy od definicji. Nierówność wykładnicza to dowolna nierówność zawierająca funkcję wykładniczą. Innymi słowy, zawsze można to sprowadzić do nierówności formy

\[((a)^(x)) \gt b\]

Gdzie rolą $b$ może być zwykła liczba, a może coś trudniejszego. Przykłady? Tak proszę:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ kwadrat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(align)\]

Myślę, że znaczenie jest jasne: istnieje funkcja wykładnicza $((a)^(x))$, jest ona porównywana z czymś, a następnie proszona o znalezienie $x$. W szczególnie klinicznych przypadkach zamiast zmiennej $x$ można postawić jakąś funkcję $f\left(x \right)$ i tym samym nieco skomplikować nierówność :)

Oczywiście w niektórych przypadkach nierówność może wydawać się poważniejsza. Na przykład:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Albo nawet to:

Ogólnie rzecz biorąc, złożoność takich nierówności może być bardzo różna, ale ostatecznie sprowadzają się one do prostej konstrukcji $((a)^(x)) \gt b$. I jakoś wymyślimy taką konstrukcję (w szczególnie przypadkach klinicznych, gdy nic nie przychodzi nam do głowy, pomogą nam logarytmy). Dlatego teraz nauczymy Cię, jak rozwiązywać takie proste konstrukcje.

Rozwiązywanie prostych nierówności wykładniczych

Spójrzmy na coś bardzo prostego. Na przykład to:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Oczywiście liczbę po prawej stronie można przepisać jako potęgę dwójki: $4=((2)^(2))$. Zatem pierwotną nierówność można zapisać w bardzo wygodnej formie:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

A teraz aż mnie swędzą ręce, żeby „skreślić” dwójki w podstawach potęg, żeby otrzymać odpowiedź $x \gt 2$. Ale zanim cokolwiek skreślimy, przypomnijmy sobie potęgę dwójki:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Jak widać, im większa liczba w wykładniku, tym większa liczba wyjściowa. „Dzięki, Cap!” – zawoła jeden z uczniów. Czy jest inaczej? Niestety, to się zdarza. Na przykład:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ prawo))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Tutaj również wszystko jest logiczne: im większy stopień, tym więcej razy liczba 0,5 jest mnożona przez siebie (tj. Dzielona na pół). Zatem wynikowy ciąg liczb jest malejący, a różnica między pierwszą a drugą sekwencją występuje tylko w podstawie:

• Jeśli podstawa stopnia $a \gt 1$, to wraz ze wzrostem wykładnika $n$ liczba $((a)^(n))$ również wzrośnie;
• I odwrotnie, jeśli $0 \lt a \lt 1$, to wraz ze wzrostem wykładnika $n$ liczba $((a)^(n))$ będzie się zmniejszać.

Podsumowując te fakty, otrzymujemy najważniejsze stwierdzenie, na którym opiera się całe rozwiązanie nierówności wykładniczych:

Jeżeli $a \gt 1$, to nierówność $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równa nierówności $x \gt n$. Jeśli $0 \lt a \lt 1$, to nierówność $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $x \lt n$.

Innymi słowy, jeśli podstawa jest większa niż jedność, możesz ją po prostu usunąć - znak nierówności nie ulegnie zmianie. A jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, można ją również usunąć, ale jednocześnie będziesz musiał zmienić znak nierówności.

Należy pamiętać, że nie uwzględniliśmy opcji $a=1$ i $a\le 0$. Ponieważ w takich przypadkach pojawia się niepewność. Powiedzmy, jak rozwiązać nierówność postaci $((1)^(x)) \gt 3$? Jeden do dowolnej potęgi znowu da jeden - nigdy nie dostaniemy trzech lub więcej. Te. nie ma rozwiązań.

Z powodów negatywnych wszystko jest jeszcze bardziej interesujące. Rozważmy na przykład tę nierówność:

\[((\lewo(-2 \prawo))^(x)) \gt 4\]

Na pierwszy rzut oka wszystko jest proste:

Prawidłowy? Ale nie! Wystarczy zastąpić kilka liczb parzystych i kilka nieparzystych zamiast $x$, aby mieć pewność, że rozwiązanie jest błędne. Spójrz:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Jak widać, znaki są naprzemienne. Ale są też potęgi ułamkowe i inne bzdury. Jak na przykład zamówić obliczenie $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dwa do potęgi siedem)? Nie ma mowy!

Dlatego dla pewności zakładamy, że we wszystkich nierównościach wykładniczych (a przy okazji także w równaniach) $1\ne a \gt 0$. A potem wszystko zostało rozwiązane bardzo prosto:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Ogólnie rzecz biorąc, pamiętaj jeszcze raz o głównej zasadzie: jeśli podstawa równania wykładniczego jest większa niż jedność, możesz ją po prostu usunąć; a jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, można ją również usunąć, ale znak nierówności ulegnie zmianie.

Przykłady rozwiązań

Przyjrzyjmy się zatem kilku prostym nierównościom wykładniczym:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Podstawowe zadanie we wszystkich przypadkach jest takie samo: sprowadzić nierówności do najprostszej postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Dokładnie to samo teraz zrobimy z każdą nierównością, jednocześnie powtarzając własności stopni i funkcji wykładniczych. Więc chodźmy!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Co możesz tutaj zrobić? Cóż, po lewej stronie mamy już orientacyjne wyrażenie - nic nie trzeba zmieniać. Ale po prawej stronie jest jakiś badziew: ułamek, a nawet pierwiastek z mianownika!

Pamiętajmy jednak o zasadach pracy z ułamkami i potęgami:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Co to znaczy? Po pierwsze, możemy łatwo pozbyć się ułamka, zamieniając go na potęgę o wykładniku ujemnym. A po drugie, skoro mianownik ma pierwiastek, fajnie byłoby zamienić go na potęgę - tym razem z wykładnikiem ułamkowym.

Zastosuj te działania sekwencyjnie po prawej stronie nierówności i zobacz, co się stanie:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \prawo))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \lewo(-1 \prawo)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nie zapominaj, że podnosząc stopień do potęgi, wykładniki tych stopni sumują się. Ogólnie rzecz biorąc, pracując z równaniami wykładniczymi i nierównościami, absolutnie konieczne jest poznanie przynajmniej najprostszych zasad pracy z potęgami:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Właściwie właśnie zastosowaliśmy ostatnią zasadę. Dlatego nasza pierwotna nierówność zostanie przepisana w następujący sposób:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Teraz pozbędziemy się tej dwójki u podstawy. Ponieważ 2 > 1, znak nierówności pozostanie taki sam:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

To jest rozwiązanie! Główna trudność wcale nie polega na funkcji wykładniczej, ale na właściwej transformacji pierwotnego wyrażenia: musisz ostrożnie i szybko doprowadzić je do najprostszej formy.

Rozważmy drugą nierówność:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tak sobie. Tutaj czekają na nas ułamki dziesiętne. Jak mówiłem wiele razy, w każdym wyrażeniu z potęgami należy pozbyć się ułamków dziesiętnych - często jest to jedyny sposób na szybkie i proste rozwiązanie. Tutaj pozbędziemy się:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Strzałka w prawo ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\lewo(\frac(1)(10) \prawo))^(2)). \\\end(align)\]

Tutaj znowu mamy najprostszą nierówność i to nawet o podstawie 1/10, tj. mniej niż jeden. Cóż, usuwamy podstawy, jednocześnie zmieniając znak z „mniej” na „więcej” i otrzymujemy:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Uwaga: odpowiedź jest właśnie zbiorem, a w żadnym wypadku konstrukcją w postaci $x \lt -1$. Bo formalnie taka konstrukcja nie jest w ogóle zbiorem, tylko nierównością względem zmiennej $x$. Tak, to bardzo proste, ale to nie jest odpowiedź!

Ważna uwaga. Nierówność tę można rozwiązać w inny sposób - sprowadzając obie strony do potęgi o podstawie większej niż jeden. Spójrz:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Strzałka w prawo ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Po takim przekształceniu ponownie otrzymamy nierówność wykładniczą, ale o podstawie 10 > 1. Oznacza to, że możemy po prostu skreślić dziesiątkę – znak nierówności nie ulegnie zmianie. Otrzymujemy:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Jak widać, odpowiedź była dokładnie taka sama. Jednocześnie uchroniliśmy się od konieczności zmiany znaku i ogólnie pamiętamy o wszelkich zasadach :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Jednak nie pozwól, aby Cię to przestraszyło. Bez względu na to, co znajduje się we wskaźnikach, sama technologia rozwiązywania nierówności pozostaje taka sama. Dlatego zauważmy najpierw, że 16 = 2 4. Przepiszmy pierwotną nierówność, biorąc pod uwagę ten fakt:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Brawo! Mamy zwykłą nierówność kwadratową! Znak nigdzie się nie zmienił, ponieważ podstawa to dwa - liczba większa niż jeden.

Zera funkcji na osi liczbowej

Ustawiamy znaki funkcji $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - oczywiście jej wykres będzie parabolą z gałęziami w górę, więc będą „plusy” " na bokach. Nas interesuje obszar, w którym funkcja jest mniejsza od zera, tj. $x\in \left(2;5 \right)$ jest odpowiedzią na pierwotny problem.

Na koniec rozważmy inną nierówność:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Ponownie widzimy funkcję wykładniczą z ułamkiem dziesiętnym u podstawy. Zamieńmy ten ułamek na ułamek zwykły:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\RightArrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\lewo(((5)^(-1)) \prawo))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

W tym przypadku skorzystaliśmy z uwagi podanej wcześniej - w celu uproszczenia dalszego rozwiązania zredukowaliśmy bazę do liczby 5 > 1. Zróbmy to samo z prawą stroną:

\[\frac(1)(25)=((\lewo(\frac(1)(5) \prawo))^(2))=((\lewo(((5)^(-1)) \ prawo))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Przepiszmy pierwotną nierówność uwzględniając obie transformacje:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Podstawy po obu stronach są takie same i przekraczają jeden. Po prawej i lewej stronie nie ma innych terminów, więc po prostu „przekreślamy” piątki i otrzymujemy bardzo proste wyrażenie:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Tutaj trzeba zachować większą ostrożność. Wielu uczniów lubi po prostu wyciągać pierwiastek kwadratowy z obu stron nierówności i zapisywać coś w rodzaju $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. W żadnym wypadku nie powinno się tego robić , ponieważ pierwiastek dokładnego kwadratu jest modułem, a w żadnym wypadku zmienną pierwotną:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\lewo| x\prawo|\]

Jednak praca z modułami nie należy do najprzyjemniejszych, prawda? Więc nie będziemy pracować. Zamiast tego po prostu przesuwamy wszystkie wyrazy w lewo i rozwiązujemy zwykłą nierówność za pomocą metody przedziałowej:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(wyrównaj)$

Ponownie zaznaczamy uzyskane punkty na osi liczbowej i patrzymy na znaki:

Ponieważ rozwiązywaliśmy nieścisłą nierówność, wszystkie punkty na wykresie zostały zacienione. Dlatego odpowiedź będzie następująca: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nie jest przedziałem, ale segmentem.

Ogólnie rzecz biorąc, chciałbym zauważyć, że nie ma nic skomplikowanego w nierównościach wykładniczych. Znaczenie wszystkich przekształceń, które dzisiaj wykonaliśmy, sprowadza się do prostego algorytmu:

• Znajdź podstawę, do której sprowadzimy wszystkie stopnie;
• Ostrożnie wykonaj przekształcenia, aby otrzymać nierówność postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Oczywiście zamiast zmiennych $x$ i $n$ mogą istnieć znacznie bardziej złożone funkcje, ale znaczenie się nie zmieni;
• Przekreśl podstawy stopni. W tym przypadku znak nierówności może się zmienić, jeśli podstawa $a \lt 1$.

W rzeczywistości jest to uniwersalny algorytm rozwiązywania wszystkich takich nierówności. A wszystko inne, co Ci powiedzą na ten temat, to tylko konkretne techniki i triki, które uproszczą i przyspieszą transformację. Porozmawiamy teraz o jednej z tych technik :)

Metoda racjonalizacji

Rozważmy inny zestaw nierówności:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Co więc jest w nich takiego wyjątkowego? Są lekkie. Chociaż przestań! Czy liczbę π podniesiono do jakiejś potęgi? Co za bezsens?

Jak podnieść liczbę $2\sqrt(3)-3$ do potęgi? Lub $3-2\sqrt(2)$? Autorzy problemu najwyraźniej wypili za dużo Hawthorn, zanim zabrali się do pracy :)

Tak naprawdę nie ma nic strasznego w tych zadaniach. Przypomnę: funkcja wykładnicza jest wyrażeniem w postaci $((a)^(x))$, gdzie podstawą $a$ jest dowolna liczba dodatnia z wyjątkiem jedności. Liczba π jest dodatnia – to już wiemy. Liczby $2\sqrt(3)-3$ i $3-2\sqrt(2)$ są również dodatnie - łatwo to sprawdzić, jeśli porównasz je z zerem.

Okazuje się, że wszystkie te „przerażające” nierówności rozwiązuje się tak samo jak proste omówione powyżej? I czy są one rozwiązywane w ten sam sposób? Tak, to całkowicie słuszne. Jednak na ich przykładzie chciałbym rozważyć jedną technikę, która znacznie oszczędza czas na samodzielnej pracy i egzaminach. Porozmawiamy o metodzie racjonalizacji. Zatem uwaga:

Dowolna nierówność wykładnicza postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ po prawej) \gt 0 $.

To jest cała metoda. :) Myślałeś, że będzie jakaś inna gra? Nic takiego! Ale ten prosty fakt, zapisany dosłownie w jednym wierszu, znacznie uprości naszą pracę. Spójrz:

\[\begin(macierz) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Zatem nie ma już funkcji wykładniczych! I nie musisz pamiętać, czy znak się zmienia, czy nie. Ale pojawia się nowy problem: co zrobić z tym cholernym mnożnikiem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nie wiemy, jaka jest dokładna wartość liczby π. Jednak kapitan wydaje się wskazywać na oczywistość:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\około 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Ogólnie rzecz biorąc, dokładna wartość π tak naprawdę nas nie dotyczy - ważne jest tylko, abyśmy zrozumieli, że w każdym przypadku $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.j. jest to stała dodatnia i możemy przez nią podzielić obie strony nierówności:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak widać, w pewnym momencie musieliśmy podzielić przez minus jeden - i zmienił się znak nierówności. Na koniec rozwinąłem trójmian kwadratowy korzystając z twierdzenia Viety - oczywiste jest, że pierwiastki są równe $((x)_(1))=5$ i $((x)_(2))=-1$ . Następnie wszystko rozwiązuje się klasyczną metodą interwałową:

Wszystkie punkty są usuwane, ponieważ pierwotna nierówność jest ścisła. Nas interesuje region o wartościach ujemnych, więc odpowiedź brzmi $x\in \left(-1;5 \right)$. To jest rozwiązanie.

Przejdźmy do następnego zadania:

\[((\lewo(2\sqrt(3)-3 \prawo))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Wszystko tutaj jest ogólnie proste, ponieważ po prawej stronie znajduje się jednostka. I pamiętamy, że jeden to dowolna liczba podniesiona do potęgi zerowej. Nawet jeśli ta liczba jest wyrażeniem irracjonalnym u podstawy po lewej stronie:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \prawo))^(0)); \\\end(align)\]

Cóż, racjonalizujmy:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Pozostaje tylko znaleźć znaki. Współczynnik $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nie zawiera zmiennej $x$ - jest to po prostu stała i musimy znaleźć jej znak. Aby to zrobić, zwróć uwagę na następujące kwestie:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(macierz)\]

Okazuje się, że drugi czynnik nie jest tylko stałą, ale stałą ujemną! A przy dzieleniu przez nią znak pierwotnej nierówności zmienia się na przeciwny:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Teraz wszystko staje się zupełnie oczywiste. Pierwiastki trójmianu kwadratowego po prawej stronie to: $((x)_(1))=0$ i $((x)_(2))=2$. Zaznaczamy je na osi liczbowej i patrzymy na znaki funkcji $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Nas interesują interwały oznaczone znakiem plus. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź:

Przejdźmy do następnego przykładu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ prawo))^(16-x))\]

Cóż, tutaj wszystko jest zupełnie oczywiste: w podstawach znajdują się potęgi tej samej liczby. Dlatego napiszę wszystko krótko:

\[\begin(macierz) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\lewo(((3)^(-2)) \prawo))^(16-x)) \\\end(macierz)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ lewo(16-x \prawo))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak widać w procesie transformacji musieliśmy pomnożyć przez liczbę ujemną, więc zmienił się znak nierówności. Na sam koniec ponownie zastosowałem twierdzenie Viety do rozłożenia na czynniki trójmianu kwadratowego. W rezultacie odpowiedź będzie następująca: $x\in \left(-8;4 \right)$ - każdy może to sprawdzić rysując oś liczbową, zaznaczając punkty i licząc znaki. Tymczasem przejdziemy do ostatniej nierówności z naszego „zbioru”:

\[((\lewo(3-2\sqrt(2) \prawo))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Jak widać, u podstawy znów znajduje się liczba niewymierna, a po prawej stronie znowu jednostka. Dlatego przepisujemy naszą nierówność wykładniczą w następujący sposób:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ prawo))^(0))\]

Stosujemy racjonalizację:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Jednakże jest całkiem oczywiste, że $1-\sqrt(2) \lt 0$, ponieważ $\sqrt(2)\około 1,4... \gt 1$. Dlatego drugi czynnik jest ponownie stałą ujemną, na którą można podzielić obie strony nierówności:

\[\begin(macierz) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(macierz)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Przenieś się do innej bazy

Osobnym problemem przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych jest poszukiwanie „właściwej” bazy. Niestety, nie zawsze na pierwszy rzut oka przy zadaniu jest oczywiste, co przyjąć za podstawę i co zrobić w zależności od stopnia tej podstawy.

Ale nie martw się: nie ma tu żadnej magii ani „tajnej” technologii. W matematyce każdą umiejętność, której nie można poddać algorytmizacji, można łatwo rozwinąć poprzez praktykę. Ale w tym celu będziesz musiał rozwiązać problemy o różnych poziomach złożoności. Na przykład tak:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ koniec(wyrównaj)\]

Trudny? Straszny? To łatwiejsze niż uderzenie kurczaka w asfalt! Spróbujmy. Pierwsza nierówność:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Cóż, myślę, że tutaj wszystko jest jasne:

Przepisujemy pierwotną nierówność, redukując wszystko do podstawy dwa:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Tak, tak, dobrze słyszałeś: właśnie zastosowałem opisaną powyżej metodę racjonalizacji. Teraz musimy pracować ostrożnie: mamy nierówność ułamkowo-wymierną (to taka, która ma zmienną w mianowniku), więc zanim zrównamy cokolwiek do zera, musimy sprowadzić wszystko do wspólnego mianownika i pozbyć się stałego czynnika .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Teraz używamy standardowej metody interwałowej. Zera licznika: $x=\pm 4$. Mianownik dąży do zera tylko wtedy, gdy $x=0$. Na osi liczbowej należy zaznaczyć w sumie trzy punkty (wszystkie punkty są zaznaczone, ponieważ znak nierówności jest ścisły). Otrzymujemy:

Jak można się domyślić, cieniowanie oznacza te przedziały, w których wyrażenie po lewej stronie przyjmuje wartości ujemne. Dlatego ostateczna odpowiedź będzie obejmować dwa przedziały jednocześnie:

Końce przedziałów nie są uwzględnione w odpowiedzi, ponieważ pierwotna nierówność była ścisła. Nie jest wymagana dalsza weryfikacja tej odpowiedzi. Pod tym względem nierówności wykładnicze są znacznie prostsze niż nierówności logarytmiczne: bez ODZ, bez ograniczeń itp.

Przejdźmy do następnego zadania:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Tutaj też nie ma problemów, skoro wiemy już, że $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, więc całą nierówność można przepisać następująco:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\lewo(-2 \prawo) \prawo. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Uwaga: w trzeciej linii postanowiłem nie tracić czasu na drobiazgi i od razu podzielić wszystko przez (-2). Minul wszedł do pierwszego nawiasu (teraz wszędzie są plusy), a dwa zmniejszono o stały współczynnik. Dokładnie tak należy postępować przygotowując realne obliczenia do pracy samodzielnej i testowej - nie trzeba bezpośrednio opisywać każdej akcji i transformacji.

Następnie w grę wchodzi znana metoda interwałów. Zera licznikowe: ale ich nie ma. Ponieważ dyskryminator będzie ujemny. Z kolei mianownik jest resetowany dopiero wtedy, gdy $x=0$ - tak jak ostatnim razem. Otóż ​​jasne jest, że na prawo od $x=0$ ułamek będzie przyjmować wartości dodatnie, a na lewo - ujemne. Ponieważ interesują nas wartości ujemne, ostateczna odpowiedź brzmi: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Co należy zrobić z ułamkami dziesiętnymi w nierównościach wykładniczych? Zgadza się: pozbądź się ich, zamieniając je w zwykłe. Tutaj przetłumaczymy:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\prawo))^(x)). \\\end(align)\]

Co więc otrzymaliśmy z podstaw funkcji wykładniczych? I otrzymaliśmy dwie wzajemnie odwrotne liczby:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ prawo))^(x))=((\lewo(((\lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(-1)) \prawo))^(x))=((\ lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(-x))\]

Zatem pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \prawo))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Oczywiście przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie ich wykładniki sumują się, co miało miejsce w drugim wierszu. Dodatkowo reprezentowaliśmy jednostkę po prawej stronie, również jako potęgę w podstawie 4/25. Pozostaje tylko racjonalizować:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Zauważ, że $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tj. drugi czynnik jest stałą ujemną i przy dzieleniu przez nią zmienia się znak nierówności:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Strzałka w prawo x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Na koniec ostatnia nierówność z bieżącego „zbioru”:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

W zasadzie idea rozwiązania tutaj jest również jasna: wszystkie funkcje wykładnicze zawarte w nierówności należy sprowadzić do podstawy „3”. Ale w tym celu będziesz musiał trochę majstrować przy korzeniach i mocach:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Biorąc te fakty pod uwagę, pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Zwróć uwagę na drugą i trzecią linię obliczeń: zanim zrobisz cokolwiek z nierównością, pamiętaj o doprowadzeniu jej do postaci, o której mówiliśmy na samym początku lekcji: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Tak długo, jak masz pewne lewoskrętne czynniki, dodatkowe stałe itp. po lewej lub prawej stronie, nie można dokonywać racjonalizacji ani „przekreślania” podstaw! Niezliczone zadania zostały wykonane niepoprawnie z powodu niezrozumienia tego prostego faktu. Sam stale obserwuję ten problem u moich uczniów, kiedy dopiero zaczynamy analizować nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Wróćmy jednak do naszego zadania. Spróbujmy obejść się tym razem bez racjonalizacji. Pamiętajmy: podstawa stopnia jest większa od jedności, więc trójki można po prostu skreślić – znak nierówności się nie zmieni. Otrzymujemy:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

To wszystko. Ostateczna odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Izolowanie stabilnego wyrażenia i zastępowanie zmiennej

Podsumowując, proponuję rozwiązać jeszcze cztery nierówności wykładnicze, które są już dość trudne dla nieprzygotowanych studentów. Aby sobie z nimi poradzić, należy pamiętać o zasadach pracy ze stopniami. W szczególności wyjmowanie wspólnych czynników z nawiasów.

Ale najważniejsze jest, aby nauczyć się rozumieć, co dokładnie można wyjąć z nawiasów. Takie wyrażenie nazywamy stabilnym - można je oznaczyć nową zmienną i w ten sposób pozbyć się funkcji wykładniczej. Spójrzmy więc na zadania:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Zacznijmy od pierwszej linijki. Zapiszmy tę nierówność osobno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Zauważ, że $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, więc prawa ręka stronę można przepisać:

Zauważ, że w nierówności nie ma innych funkcji wykładniczych poza $((5)^(x+1))$. I ogólnie zmienna $x$ nie występuje nigdzie indziej, więc wprowadźmy nową zmienną: $((5)^(x+1))=t$. Otrzymujemy następującą konstrukcję:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\wiek 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Wracamy do pierwotnej zmiennej ($t=((5)^(x+1))$), pamiętając jednocześnie, że 1=5 0 . Mamy:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

To jest rozwiązanie! Odpowiedź: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Przejdźmy do drugiej nierówności:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tutaj wszystko jest takie samo. Zauważ, że $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Następnie lewą stronę można przepisać:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\prawo. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Strzałka w prawo x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

W przybliżeniu tak trzeba sporządzić rozwiązanie do prawdziwych testów i samodzielnej pracy.

Cóż, spróbujmy czegoś bardziej skomplikowanego. Oto na przykład nierówność:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Jaki jest tutaj problem? Przede wszystkim podstawy funkcji wykładniczych po lewej stronie są różne: 5 i 25. Jednak 25 = 5 · 2, więc pierwszy wyraz można przekształcić:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Jak widać, najpierw sprowadziliśmy wszystko do tej samej podstawy, a potem zauważyliśmy, że pierwszy wyraz można łatwo sprowadzić do drugiego - wystarczy rozwinąć wykładnik. Teraz możesz już bezpiecznie wprowadzić nową zmienną: $((5)^(2x+2))=t$, a cała nierówność zostanie przepisana następująco:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

I znowu żadnych trudności! Ostateczna odpowiedź: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Przejdźmy do ostatniej nierówności na dzisiejszej lekcji:

\[((\lewo(0,5 \prawo))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest oczywiście ułamek dziesiętny w podstawie pierwszej potęgi. Trzeba się go pozbyć, a jednocześnie doprowadzić wszystkie funkcje wykładnicze do tej samej podstawy - liczby „2”:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\lewo(((2)^(-1)) \prawo))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Strzałka w prawo ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Świetnie, zrobiliśmy pierwszy krok – wszystko doprowadziło do tego samego fundamentu. Teraz musisz wybrać stabilne wyrażenie. Zauważ, że $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jeśli wprowadzimy nową zmienną $((2)^(4x+6))=t$, to pierwotną nierówność można zapisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Naturalnie może pojawić się pytanie: jak odkryliśmy, że 256 = 2 · 8? Niestety, tutaj wystarczy znać potęgę dwójki (a jednocześnie potęgę trójki i piątki). Cóż, albo podziel 256 przez 2 (możesz podzielić, ponieważ 256 to liczba parzysta), aż otrzymamy wynik. Będzie to wyglądać mniej więcej tak:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

To samo dotyczy trójki (liczby 9, 27, 81 i 243 to jej stopnie) i siódemki (liczby 49 i 343 też warto zapamiętać). Cóż, ta piątka ma również „piękne” stopnie naukowe, które musisz znać:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Oczywiście, jeśli chcesz, wszystkie te liczby można przywrócić w umyśle, po prostu mnożąc je sukcesywnie przez siebie. Jeśli jednak musisz rozwiązać kilka nierówności wykładniczych, a każda kolejna jest trudniejsza od poprzedniej, to ostatnią rzeczą, o której chcesz myśleć, są potęgi niektórych liczb. I w tym sensie problemy te są bardziej złożone niż „klasyczne” nierówności rozwiązywane metodą przedziałową.

Mam nadzieję, że ta lekcja pomogła Ci w opanowaniu tego tematu. Jeśli coś jest niejasne, pytaj w komentarzach. I do zobaczenia na kolejnych lekcjach :)

Na tej lekcji przyjrzymy się różnym nierównościom wykładniczym i nauczymy się, jak je rozwiązywać, w oparciu o technikę rozwiązywania najprostszych nierówności wykładniczych

1. Definicja i własności funkcji wykładniczej

Przypomnijmy definicję i podstawowe własności funkcji wykładniczej. Rozwiązanie wszystkich równań wykładniczych i nierówności opiera się na tych własnościach.

Funkcja wykładnicza jest funkcją postaci , gdzie podstawa jest stopniem, a tutaj x jest zmienną niezależną, argumentem; y jest zmienną zależną, funkcją.

Ryż. 1. Wykres funkcji wykładniczej

Wykres przedstawia wykładniki rosnące i malejące, ilustrując funkcję wykładniczą o podstawie odpowiednio większej niż jeden i mniejszej niż jeden, ale większej niż zero.

Obie krzywe przechodzą przez punkt (0;1)

Własności funkcji wykładniczej:

Domena: ;

Zakres wartości: ;

Funkcja jest monotoniczna, rośnie wraz z, maleje wraz z.

Funkcja monotoniczna przyjmuje każdą ze swoich wartości podając wartość pojedynczego argumentu.

Kiedy , gdy argument rośnie od minus do plus nieskończoności, funkcja rośnie od zera włącznie do plus nieskończoności, tj. dla danych wartości argumentu mamy funkcję rosnącą monotonicznie (). Przeciwnie, gdy argument rośnie od minus do plus nieskończoności, funkcja maleje od nieskończoności do zera włącznie, czyli dla danych wartości argumentu mamy funkcję malejącą monotonicznie ().

2. Najprostsze nierówności wykładnicze, metoda rozwiązania, przykład

Na podstawie powyższego przedstawiamy metodę rozwiązywania prostych nierówności wykładniczych:

Technika rozwiązywania nierówności:

Wyrównaj podstawy stopni;

Porównaj wskaźniki, utrzymując lub zmieniając znak nierówności na przeciwny.

Rozwiązanie złożonych nierówności wykładniczych zwykle polega na sprowadzeniu ich do najprostszych nierówności wykładniczych.

Podstawa stopnia jest większa od jedności, co oznacza, że ​​znak nierówności zostaje zachowany:

Przekształćmy prawą stronę zgodnie z właściwościami stopnia:

Podstawa stopnia jest mniejsza niż jeden, znak nierówności należy odwrócić:

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, rozwiązujemy odpowiednie równanie kwadratowe:

Korzystając z twierdzenia Viety, znajdujemy pierwiastki:

Gałęzie paraboli są skierowane w górę.

Mamy zatem rozwiązanie nierówności:

Łatwo zgadnąć, że prawą stronę można przedstawić jako potęgę z wykładnikiem zerowym:

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, znak nierówności się nie zmienia, otrzymujemy:

Przypomnijmy technikę rozwiązywania takich nierówności.

Rozważ funkcję ułamkowo-wymierną:

Znajdujemy dziedzinę definicji:

Znajdowanie pierwiastków funkcji:

Funkcja ma jeden pierwiastek,

Wybieramy przedziały znaku stałego i wyznaczamy znaki funkcji na każdym przedziale:

Ryż. 2. Przedziały stałości znaku

W ten sposób otrzymaliśmy odpowiedź.

Odpowiedź:

3. Rozwiązywanie standardowych nierówności wykładniczych

Rozważmy nierówności z tymi samymi wskaźnikami, ale różnymi podstawami.

Jedną z właściwości funkcji wykładniczej jest to, że dla dowolnej wartości argumentu przyjmuje ona wartości ściśle dodatnie, co oznacza, że ​​można ją podzielić na funkcję wykładniczą. Podzielmy podaną nierówność przez jej prawą stronę:

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, znak nierówności zostaje zachowany.

Zilustrujmy rozwiązanie:

Rysunek 6.3 przedstawia wykresy funkcji i . Oczywiście, gdy argument jest większy od zera, wykres funkcji jest wyższy, funkcja ta jest większa. Gdy wartości argumentów są ujemne, funkcja spada, jest mniejsza. Jeśli argument jest równy, funkcje są równe, co oznacza, że ​​ten punkt jest również rozwiązaniem danej nierówności.

Ryż. 3. Ilustracja na przykład 4

Przekształćmy podaną nierówność ze względu na własności stopnia:

Oto kilka podobnych terminów:

Podzielmy obie części na:

Teraz kontynuujemy rozwiązanie podobnie jak w przykładzie 4, dzieląc obie części przez:

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, znak nierówności pozostaje:

4. Graficzne rozwiązanie nierówności wykładniczych

Przykład 6 - Rozwiąż nierówność graficznie:

Przyjrzyjmy się funkcjom po lewej i prawej stronie i zbudujmy wykres dla każdej z nich.

Funkcja jest wykładnicza i rośnie w całej swojej dziedzinie definicji, tj. Dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu.

Funkcja jest liniowa i maleje w całej swojej dziedzinie definicji, czyli dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu.

Jeśli te funkcje się przecinają, czyli układ ma rozwiązanie, to rozwiązanie takie jest unikalne i można je łatwo odgadnąć. Aby to zrobić, iterujemy po liczbach całkowitych ()

Łatwo zauważyć, że korzeniem tego układu jest:

Zatem wykresy funkcji przecinają się w punkcie z argumentem równym jeden.

Teraz musimy uzyskać odpowiedź. Znaczenie danej nierówności jest takie, że wykładnik musi być większy lub równy funkcji liniowej, czyli być wyższy lub z nią pokrywać się. Odpowiedź jest oczywista: (rysunek 6.4)

Ryż. 4. Ilustracja przykładowa 6

Przyjrzeliśmy się więc rozwiązaniu różnych standardowych nierówności wykładniczych. Następnie przejdziemy do rozważenia bardziej złożonych nierówności wykładniczych.

Bibliografia

Mordkovich A. G. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Drop. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Oświecenie.

Matematyka. md. Matematyka-powtórka. kom. Różnić się. kemsu. ru.

Praca domowa

1. Algebra i początki analizy, klasy 10-11 (A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr 472, 473;

2. Rozwiąż nierówność:

3. Rozwiąż nierówność.