Lekcja „Funkcje i ich właściwości. Własności funkcji numerycznych Uogólnienie tematu: funkcje numeryczne i ich własności

LEKCJA PODSUMOWUJĄCA NA TEMAT „FUNKCJE I ICH WŁAŚCIWOŚCI”.

Cele Lekcji:

Metodyczny: zwiększenie aktywności aktywno-poznawczej uczniów poprzez indywidualną, samodzielną pracę i wykorzystanie zadań testowych typu rozwojowego.

Edukacyjny: powtórz funkcje elementarne, ich podstawowe właściwości i wykresy. Wprowadź pojęcie funkcji wzajemnie odwrotnych. Usystematyzować wiedzę uczniów na dany temat; przyczyniać się do utrwalenia umiejętności obliczania logarytmów, stosowania ich właściwości przy rozwiązywaniu zadań niestandardowego typu; powtórz budowę wykresów funkcji za pomocą przekształceń i sprawdź swoje umiejętności i zdolności podczas samodzielnego rozwiązywania ćwiczeń.

Edukacyjny: kształtowanie dokładności, opanowania, odpowiedzialności i umiejętności podejmowania niezależnych decyzji.

Rozwojowy: rozwijać zdolności intelektualne, operacje umysłowe, mowę, pamięć. Rozwijaj miłość i zainteresowanie matematyką; Podczas lekcji dbaj o to, aby uczniowie rozwijali niezależne myślenie podczas zajęć edukacyjnych.

Typ lekcji: uogólnianie i systematyzacja.

Sprzęt: tablica, komputer, projektor, ekran, literatura edukacyjna.

Motto lekcji:„Matematyki trzeba zatem uczyć, bo ona porządkuje umysł”.

(M.V. Łomonosow).

PODCZAS ZAJĘĆ

Sprawdzanie pracy domowej.

Powtórzenie funkcji wykładniczych i logarytmicznych o podstawie a = 2, konstrukcja ich wykresów w tej samej płaszczyźnie współrzędnych, analiza ich względnego położenia. Rozważ współzależność pomiędzy głównymi właściwościami tych funkcji (OOF i OFP). Podaj pojęcie funkcji wzajemnie odwrotnych.

Rozważmy funkcje wykładnicze i logarytmiczne o podstawie a = ½ c

w celu zapewnienia przestrzegania współzależności wymienionych właściwości i dla

malejące funkcje wzajemnie odwrotne.

Organizacja samodzielnej pracy typu testowego na rzecz rozwoju umiejętności myślenia

operacje systematyzacyjne na temat „Funkcje i ich właściwości”.

WŁAŚCIWOŚCI FUNKCYJNE:

1). y = ‌│х│ ;

2). Zwiększa się na całym obszarze definicji;

3). OOF: (- ∞; + ∞) ;

4). y = grzech x;

5). Zmniejsza się o 0< а < 1 ;

6). y = x³;

7). OPF: (0; + ∞) ;

8). Funkcja ogólna;

9). y = √ x;

10). OOF: (0; + ∞) ;

jedenaście). Zmniejsza się na całym obszarze definicji;

12). y = kx + b;

13). OSF: (- ∞; + ∞) ;

14). Zwiększa się przy k > 0;

15). OOF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;

16). y = cos x;

17). Nie ma punktów ekstremalnych;

18). OSF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;

19). Zmniejsza się przy k< 0 ;

20). y = x²;

21). OOF: x ≠ πn;

22). y = k/x;

23). Nawet;

25). Zmniejsza się dla k > 0;

26). OOF: [ 0; + ∞) ;

27). y = jasnobrązowy x;

28). Rośnie wraz z k< 0;

29). OSF: [ 0; + ∞) ;

trzydzieści). Dziwne;

31). y = log x ;

32). OOF: x ≠ πn/2;

33). y = ctg x ;

34). Zwiększa się, gdy a > 1.

Podczas tej pracy przeprowadź ankietę wśród uczniów dotyczącą poszczególnych zadań:

nr 1. a) Sporządź wykres funkcji

b) Sporządź wykres funkcji

Nr 2. a) Oblicz:

b) Oblicz:

Nr 3. a) Uprość wyrażenie
i znajdź jego wartość przy

b) Uprość wyrażenie
i znajdź jego wartość przy
.

Zadanie domowe: nr 1. Oblicz: a)
;

V)
;

G)
.

Nr 2. Znajdź dziedzinę definicji funkcji: a)
;

V)
; G)
.

Jest to korespondencja, w której każdy element x ze zbioru D, zgodnie z pewną regułą, jest powiązany z pewną liczbą y, w zależności od x. Notacja: y = f(x) x y Zmienna niezależna lub zmienna zależna od argumentu lub wartość funkcji D(f) E(f) Dziedzina funkcji Dziedzina funkcji Funkcja numeryczna z dziedziną D

Równość funkcji Funkcję y=f(x) wywołuje się nawet wtedy, gdy dla dowolnej wartości x z dziedziny definicji spełniona jest równość f(-x)=f(x). Funkcję y=f(x) nazywamy nieparzystą, jeśli dla dowolnej wartości x z dziedziny definicji zachodzi równość f(-x)=-f(x).

Monotoniczność funkcji (funkcje rosnące i malejące) Mówi się, że funkcja y=f(x) jest rosnąca na zbiorze X є D(f) jeśli dla dowolnych punktów x 1 i x 2 zbioru X takich, że x 1 f (x 2) f(x 2)">

Jak zbudować wykres funkcji okresowej Jeśli funkcja y=f(x) ma okres T, to aby zbudować wykres funkcji należy najpierw zbudować gałąź (falę, część) wykresu na dowolnym odcinku długości T, a następnie przesuń tę gałąź wzdłuż osi x w prawo i w lewo o T, 2T, 3T itd.

Ograniczenie funkcji Funkcja y=f(x) nazywana jest ograniczoną od dołu na zbiorze X є D(f), jeżeli wszystkie wartości tej funkcji na zbiorze X są większe od pewnej liczby. (tj. jeśli istnieje liczba m taka, że dla dowolnej wartości x є X zachodzi nierówność: f(x) > m. Funkcję y=f(x) nazywamy ograniczoną od góry na zbiorze X є D(f) jeśli wszystkie wartości tej funkcji na zbiorze X są mniejsze od pewnej liczby (tj. jeśli istnieje liczba M taka, że dla dowolnej wartości x є X zachodzi nierówność: f(x) m. Funkcja y=f( x) nazywa się ograniczonym powyżej na zbiorze X є D(f), jeśli wszystkie wartości tej funkcji na zbiorze X są mniejsze od pewnej liczby (tj. jeśli istnieje liczba M taka, że dla dowolnej wartości x є X zachodzi nierówność: f(x)

Największą i najmniejszą wartość funkcji Liczba m nazywamy najmniejszą wartością funkcji y=f(x) na zbiorze X є D(f), jeżeli: 1) istnieje punkt x o є X taki, że f(x o ) = m; 2) Dla dowolnej wartości x є X spełniona jest nierówność f(x)f(x o). Liczbę M nazywamy największą wartością funkcji y=f(x) ze zbioru X є D(f), jeżeli: 1) istnieje punkt x o є X taki , że f(x o)=M; 2) Dla dowolnej wartości x є X nierówność f(x)f(x o) jest spełniona

Wypukłość funkcji Funkcja jest wypukła w górę na przedziale X z Dif), jeśli łącząc dowolne dwa punkty jej wykresu z odciętą funkcji X za pomocą odcinka, stwierdzimy, że odpowiadająca jej część wykresu leży nad narysowanym odcinkiem. Funkcję uważa się za wypukłą w dół na przedziale X z D(f), jeśli łącząc dowolne dwa punkty jej wykresu z odciętą X segmentem, stwierdzimy, że odpowiadająca jej część wykresu leży poniżej narysowanego odcinka

Ciągłość funkcji, ciągłość funkcji na przedziale X oznacza, że wykres funkcji na danym przedziale nie ma punktów przerwania (czyli jest linią ciągłą). Komentarz. Tak naprawdę o ciągłości funkcji możemy mówić tylko wtedy, gdy udowodnimy, że jest ona ciągła. Jednak odpowiednia definicja jest złożona i nie jesteśmy jeszcze w stanie tego zrobić (podamy ją później, w § 26). To samo można powiedzieć o pojęciu wypukłości. Dlatego omawiając te dwie właściwości funkcji, nadal będziemy opierać się na koncepcjach wizualnych i intuicyjnych.

Ekstrema i ekstrema funkcji. Maksymalne i minimalne punkty funkcji nazywane są ekstremami funkcji. Definicja. Punkt x 0 nazywa się punktem minimalnym funkcji f jeśli dla wszystkich x z jakiegoś otoczenia x 0 zachodzi nierówność f(x) f(x 0). Definicja. Punkt x 0 nazywamy punktem maksymalnym funkcji f jeśli dla wszystkich x z pewnego otoczenia x 0 zachodzi nierówność f(x) f(x 0).

Schemat badania funkcji 1 - Dziedzina definicji 2 - parzysty (nieparzysty) 3 - najmniejszy dodatni okres 4 - przedziały narastania i zmniejszania 5 - punkty ekstremów i ekstremów funkcji 6 - granica funkcji 7 - ciągłość funkcja 8 - największa i najmniejsza wartość funkcji 9 - zakres wartości 10 - wypukłość funkcji

Sekcje: Matematyka

Klasa: 9

Typ lekcji: Lekcja uogólniania i systematyzacji wiedzy.

Sprzęt:

Sprzęt interaktywny (komputer, projektor multimedialny).
Test, materiał w programie Microsoft Word ( Aneks 1).
Program interaktywny „Autograf”.
Test indywidualny – materiały informacyjne ( Załącznik 2).

Podczas zajęć

1. Moment organizacyjny

Ogłoszono cel lekcji.

I etap lekcji

Sprawdzanie pracy domowej

Zbierz ulotki z samodzielną pracą domową z materiału dydaktycznego S-19 opcja 1.
Rozwiązuj zadania na tablicy, które sprawiały uczniom trudności w odrabianiu zadań domowych.

II etap lekcji

1. Badanie czołowe.

2. Ankieta błyskawiczna: Zaznacz na tablicy prawidłową odpowiedź w teście (załącznik 1, s. 2-3).

Etap lekcji III

Robienie ćwiczeń.

1. Rozwiąż zadanie nr 358 (a). Rozwiąż równanie graficznie: .

2. Karty (czterech słabych uczniów rozwiązuje w zeszycie lub na tablicy):

1) Znajdź znaczenie wyrażenia: a) ; B) .

2) Znajdź dziedzinę definicji funkcji: a) ; b) y = .

3. Rozwiąż zadanie nr 358 (a). Rozwiąż równanie graficznie: .

Jeden uczeń rozwiązuje na tablicy, reszta w zeszycie. W razie potrzeby nauczyciel pomaga uczniowi.

Na tablicy interaktywnej za pomocą programu AutoGraph zbudowano prostokątny układ współrzędnych. Uczeń rysuje markerem odpowiednie wykresy, znajduje rozwiązanie i zapisuje odpowiedź. Następnie sprawdzane jest zadanie: formułę wprowadza się za pomocą klawiatury, a wykres musi pokrywać się z wykresem już narysowanym w tym samym układzie współrzędnych. Odcięta przecięcia wykresów jest pierwiastkiem równania.

Rozwiązanie:

Odpowiedź: 8

Rozwiąż zadanie nr 360(a). Narysuj i przeczytaj wykres funkcji:

Uczniowie wykonują zadanie samodzielnie.

Konstrukcja wykresu sprawdzana jest za pomocą programu AutoGraph, właściwości zapisywane są na tablicy przez jednego ucznia (dziedzina definicji, dziedzina wartości, parzystość, monotoniczność, ciągłość, zera i stałość znaku, największe i najmniejsze wartości funkcja).