Comment résoudre des inégalités complexes. Inégalités. Types d'inégalités. III. Apprendre du nouveau matériel

Que devez-vous savoir sur les icônes d’inégalité ? Inégalités avec icône plus (> ), ou moins (< ) sont appelés strict. Avec des icônes plus ou égal (≥ ), inférieur ou égal (≤ ) sont appelés pas stricte. Icône inégal (≠ ) se démarque, mais vous devez également résoudre à tout moment des exemples avec cette icône. Et nous déciderons.)

L'icône elle-même n'a pas beaucoup d'influence sur le processus de résolution. Mais à la fin de la décision, au moment de choisir la réponse finale, la signification de l'icône apparaît dans toute sa force ! C’est ce que nous verrons ci-dessous dans des exemples. Il y a des blagues là-bas...

Les inégalités, comme les égalités, existent fidèle et infidèle. Ici, tout est simple, pas d'astuces. Disons 5 > 2 est une véritable inégalité. 5 < 2 - incorrect.

Cette préparation œuvre pour les inégalités toute sorte et simple jusqu'à l'horreur.) Il vous suffit d'effectuer correctement deux (seulement deux !) actions élémentaires. Ces actions sont familières à tout le monde. Mais, de manière caractéristique, les erreurs dans ces actions sont la principale erreur dans la résolution des inégalités, oui... Par conséquent, ces actions doivent être répétées. Ces actions sont appelées ainsi :

Transformations identiques des inégalités.

Les transformations identiques des inégalités sont très similaires aux transformations identiques des équations. En fait, c'est le principal problème. Les différences vous dépassent la tête et... vous y êtes.) C'est pourquoi je soulignerai particulièrement ces différences. Donc, première transformation identique des inégalités :

1. Le même nombre ou expression peut être ajouté (soustrait) aux deux côtés de l’inégalité. N'importe lequel. Cela ne changera pas le signe de l'inégalité.

En pratique, cette règle est utilisée comme un transfert de termes du côté gauche de l'inégalité vers la droite (et vice versa) avec un changement de signe. Avec un changement de signe du terme, pas l'inégalité ! La règle un-à-un est la même que celle des équations. Mais les transformations identiques suivantes dans les inégalités diffèrent considérablement de celles dans les équations. Je les surligne donc en rouge :

2. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosepositifnombre. Pour toutepositif Ne changera pas.

3. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosenégatif nombre. Pour toutenégatifnombre. Le signe d'inégalité de cecichangera à l’opposé.

Vous vous souvenez (j'espère...) que l'équation peut être multipliée/divisée par n'importe quoi. Et pour n’importe quel nombre, et pour une expression avec un X. Si seulement ce n'était pas zéro. Cela fait de lui, l'équation, ni chaud ni froid.) Cela ne change pas. Mais les inégalités sont plus sensibles à la multiplication/division.

Un exemple clair pour une longue mémoire. Écrivons une inégalité qui ne fait pas de doute :

5 > 2

Multipliez les deux côtés par +3, on a:

15 > 6

Des objections? Il n'y a pas d'objections.) Et si nous multiplions les deux côtés de l'inégalité initiale par -3, on a:

15 > -6

Et c'est un mensonge pur et simple.) Un mensonge complet ! Tromperie du peuple ! Mais dès que l'on change le signe de l'inégalité par le signe opposé, tout se met en place :

15 < -6

Je ne jure pas seulement sur les mensonges et la tromperie.) "J'ai oublié de changer le signe égal..."- Ce maison erreur dans la résolution des inégalités. Cette règle triviale et simple a fait du mal à tant de gens ! Ce qu'ils ont oublié...) Alors je le jure. Peut-être que je m'en souviendrai...)

Les personnes particulièrement attentives remarqueront que les inégalités ne peuvent pas être multipliées par une expression avec un X. Respect à ceux qui sont attentifs !) Pourquoi pas ? La réponse est simple. On ne connaît pas le signe de cette expression avec un X. Cela peut être positif, négatif... On ne sait donc pas quel signe d'inégalité mettre après la multiplication. Dois-je le changer ou pas ? Inconnu. Bien entendu, cette restriction (l’interdiction de multiplier/diviser une inégalité par une expression avec un x) peut être contournée. Si vous en avez vraiment besoin. Mais c'est un sujet pour d'autres leçons.

Ce sont toutes des transformations identiques des inégalités. Permettez-moi de vous rappeler encore une fois qu'ils travaillent pour n'importe lequel inégalités Vous pouvez maintenant passer à des types spécifiques.

Inégalités linéaires. Solution, exemples.

Les inégalités linéaires sont des inégalités dans lesquelles x est à la première puissance et il n'y a pas de division par x. Taper:

x+3 > 5x-5

Comment ces inégalités sont-elles résolues ? Ils sont très faciles à résoudre ! A savoir : avec l'aide de nous réduisons l'inégalité linéaire la plus déroutante directement à la réponse. C'est la solution. Je soulignerai les principaux points de la décision. Pour éviter des erreurs stupides.)

Résolvons cette inégalité :

x+3 > 5x-5

Nous le résolvons exactement de la même manière qu’une équation linéaire. Avec la seule différence :

Nous surveillons attentivement le signe d'inégalité !

La première étape est la plus courante. Avec des X - à gauche, sans X - à droite... C'est la première transformation identique, simple et sans problème.) N'oubliez pas de changer les signes des termes transférés.

Le signe de l'inégalité reste :

x-5x > -5-3

En voici des similaires.

Le signe de l'inégalité reste :

4x > -8

Il reste à appliquer la dernière transformation identique : diviser les deux côtés par -4.

Diviser par négatif nombre.

Le signe de l'inégalité changera à l'opposé :

X < 2

C'est la réponse.

C’est ainsi que toutes les inégalités linéaires sont résolues.

Attention! Le point 2 est dessiné en blanc, c'est-à-dire non peint. Vide à l'intérieur. Cela signifie qu'elle n'est pas incluse dans la réponse ! Je l'ai dessinée exprès en si bonne santé. Un tel point (vide, pas sain !)) en mathématiques s'appelle point percé.

Les nombres restants sur l’axe peuvent être marqués, mais ce n’est pas nécessaire. Les nombres superflus qui ne sont pas liés à nos inégalités peuvent prêter à confusion, oui... Il faut juste se rappeler que les nombres augmentent dans le sens de la flèche, c'est-à-dire numéros 3, 4, 5, etc. sont À droite sont des deux et les nombres sont 1, 0, -1, etc. - À gauche.

Inégalité x < 2 - strict. X est strictement inférieur à deux. En cas de doute, la vérification est simple. Nous substituons le nombre douteux à l'inégalité et pensons : "Deux est inférieur à deux ? Non, bien sûr !" Exactement. Inégalité 2 < 2 Incorrect. Un deux en retour n'est pas approprié.

Est-ce que ça va ? Certainement. Moins... Et zéro est bon, et -17, et 0,34... Oui, tous les nombres inférieurs à deux sont bons ! Et même 1,9999.... Au moins un peu, mais moins !

Marquons donc tous ces nombres sur l’axe des nombres. Comment? Il y a des options ici. La première option est l’ombrage. Nous déplaçons la souris sur l'image (ou touchons l'image sur la tablette) et voyons que la zone de tous les x qui remplissent la condition x est ombrée < 2 . C'est tout.

Examinons la deuxième option en utilisant le deuxième exemple :

X ≥ -0,5

Tracez un axe et marquez le nombre -0,5. Comme ça:

Remarquez la différence ?) Eh bien oui, c'est difficile de ne pas le remarquer... Ce point est noir ! Peint. Cela signifie -0,5 est inclus dans la réponse. Soit dit en passant, la vérification peut dérouter quelqu'un. Remplaçons :

-0,5 ≥ -0,5

Comment ça? -0,5 n'est pas plus de -0,5 ! Et il y a plus d'icônes...

C'est bon. Dans une inégalité faible, tout ce qui correspond à l'icône convient. ET équivaut à bon et plus bien. Par conséquent, -0,5 est inclus dans la réponse.

Nous avons donc marqué -0,5 sur l'axe, il reste à marquer tous les nombres supérieurs à -0,5. Cette fois, je marque la zone des valeurs x appropriées arc(du mot arc), plutôt que d’ombrager. Nous passons le curseur sur le dessin et voyons cet arc.

Il n'y a pas de différence particulière entre l'ombrage et les bras. Faites ce que dit le professeur. S'il n'y a pas de professeur, dessinez des arcs. Dans les tâches plus complexes, l’ombrage est moins évident. Vous pouvez être confus.

C'est ainsi que les inégalités linéaires sont tracées sur un axe. Passons à la caractéristique suivante des inégalités.

Écrire la réponse aux inégalités.

Les équations étaient bonnes.) Nous avons trouvé x et noté la réponse, par exemple : x=3. Il existe deux formes d’écriture des réponses sur les inégalités. L’une est sous la forme d’une inégalité finale. Bon pour les cas simples. Par exemple:

X< 2.

C'est une réponse complète.

Parfois, vous devez écrire la même chose, mais sous une forme différente, à intervalles numériques. Ensuite, l’enregistrement commence à paraître très scientifique) :

x ∈ (-∞; 2)

Sous l'icône ∈ le mot est caché "fait parti".

L'entrée se lit comme ceci : x appartient à l'intervalle de moins l'infini à deux non compris. Assez logique. X peut être n’importe quel nombre parmi tous les nombres possibles de moins l’infini à deux. Il ne peut pas y avoir de double X, c'est ce que nous dit le mot "non compris".

Et où dans la réponse est-il clair que "non compris"? Ce fait est noté dans la réponse rond parenthèse immédiatement après les deux. Si les deux étaient inclus, le support serait carré. Comme celui-ci: ]. L'exemple suivant utilise une telle parenthèse.

Écrivons la réponse : x ≥ -0,5 à intervalles:

x ∈ [-0,5 ; +∞)

Lit : x appartient à l'intervalle de moins 0,5, y compris,à plus l'infini.

L'infini ne peut jamais être activé. Ce n'est pas un chiffre, c'est un symbole. Par conséquent, dans de telles notations, l’infini est toujours adjacent à une parenthèse.

Cette forme d'enregistrement est pratique pour les réponses complexes composées de plusieurs espaces. Mais juste pour des réponses définitives. Dans les résultats intermédiaires, où une solution supplémentaire est attendue, il est préférable d'utiliser la forme habituelle, sous la forme d'une inégalité simple. Nous en traiterons dans les rubriques correspondantes.

Tâches populaires avec inégalités.

Les inégalités linéaires elles-mêmes sont simples. Les tâches deviennent donc souvent plus difficiles. Il fallait donc réfléchir. Ceci, si on n’y est pas habitué, n’est pas très agréable.) Mais c’est utile. Je vais montrer des exemples de telles tâches. Ce n’est pas à vous de les apprendre, c’est inutile. Et pour ne pas avoir peur face à de tels exemples. Réfléchissez un peu - et c'est simple !)

1. Trouvez deux solutions quelconques à l'inégalité 3x - 3< 0

Si vous ne savez pas vraiment quoi faire, rappelez-vous la règle principale des mathématiques :

Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez !)

X < 1

Et quoi? Rien de spécial. Que nous demandent-ils ? On nous demande de trouver deux nombres spécifiques qui sont la solution à une inégalité. Ceux. correspond à la réponse. Deux n'importe lequel Nombres. En fait, c'est déroutant.) Quelques valeurs de 0 et 0,5 conviennent. Un couple -3 et -8. Il existe un nombre infini de ces couples ! Quelle réponse est correcte ?!

Je réponds : tout ! Toute paire de nombres dont chacun est inférieur à un, sera la bonne réponse.Écrivez lequel vous voulez. Allons-nous en.

2. Résolvez l’inégalité :

4x-3 ≠ 0

Les tâches sous cette forme sont rares. Mais, en tant qu'inégalités auxiliaires, lors de la recherche d'ODZ, par exemple, ou lors de la recherche du domaine de définition d'une fonction, elles surviennent tout le temps. Une telle inégalité linéaire peut être résolue comme une équation linéaire ordinaire. Uniquement partout sauf le signe "=" ( équivaut à) mettre un signe " ≠ " (inégal). Voici comment vous abordez la réponse, avec un signe d'inégalité :

X ≠ 0,75

Dans des exemples plus complexes, il vaut mieux faire les choses différemment. Faire de l'égalité l'inégalité. Comme ça:

4x-3 = 0

Résolvez-le calmement comme enseigné et obtenez la réponse :

x = 0,75

L'essentiel est qu'à la toute fin, en écrivant la réponse finale, n'oubliez pas que nous avons trouvé x, ce qui donne égalité. Et nous avons besoin - inégalité. Par conséquent, nous n’avons pas vraiment besoin de ce X.) Et nous devons l’écrire avec le symbole correct :

X ≠ 0,75

Cette approche entraîne moins d’erreurs. Ceux qui résolvent les équations automatiquement. Et pour ceux qui ne résolvent pas les équations, les inégalités ne servent en fait à rien...) Autre exemple de tâche populaire :

3. Trouvez la plus petite solution entière de l'inégalité :

3(x-1) < 5x + 9

Tout d’abord, nous résolvons simplement l’inégalité. On ouvre les parenthèses, on les déplace, on en amène des similaires... On obtient :

X > - 6

Cela n'a-t-il pas fonctionné comme ça !? Avez-vous suivi les panneaux !? Et derrière les pancartes des membres, et derrière les pancartes des inégalités...

Réfléchissons-y à nouveau. Nous devons trouver un numéro spécifique qui correspond à la fois à la réponse et à la condition "le plus petit entier". Si cela ne vous vient pas tout de suite, vous pouvez simplement prendre n’importe quel nombre et le découvrir. Deux sur moins six ? Certainement! Existe-t-il un nombre inférieur approprié ? Bien sûr. Par exemple, zéro est supérieur à -6. Et encore moins ? Nous avons besoin de la plus petite chose possible ! Moins trois, c'est plus que moins six ! Vous pouvez déjà saisir le modèle et arrêter de parcourir bêtement les chiffres, n'est-ce pas ?)

Prenons un nombre plus proche de -6. Par exemple, -5. La réponse est remplie, -5 > - 6. Est-il possible de trouver un autre nombre inférieur à -5 mais supérieur à -6 ? Vous pouvez par exemple -5,5... Stop ! On nous dit entier solution! Ne lance pas -5,5 ! Et moins six ? Euh-euh ! L'inégalité est stricte, moins 6 n'est en aucun cas inférieur à moins 6 !

La bonne réponse est donc -5.

J'espère que tout est clair avec le choix de la valeur de la solution générale. Un autre exemple:

4. Résoudre les inégalités :

7 < 3x+1 < 13

Ouah! Cette expression s'appelle triple inégalité. Il s’agit à proprement parler d’une forme abrégée d’un système d’inégalités. Mais de telles triples inégalités doivent encore être résolues dans certaines tâches... Elles peuvent être résolues sans aucun système. Selon les mêmes transformations identiques.

Il faut simplifier, ramener cette inégalité à X pur. Mais... Que faut-il transférer où ?! C’est là qu’il est temps de se rappeler que se déplacer à gauche et à droite est forme abrégée première transformation identitaire.

Et la forme complète ressemble à ceci : N'importe quel nombre ou expression peut être ajouté/soustrait aux deux côtés de l'équation (inégalité).

Il y a trois parties ici. Nous appliquerons donc des transformations identiques aux trois parties !

Alors, débarrassons-nous de celui qui se trouve au milieu de l’inégalité. Soustrayons-en un de toute la partie médiane. Pour que l’inégalité ne change pas, on soustrait une des deux parties restantes. Comme ça:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

C'est mieux, non ?) Il ne reste plus qu'à diviser les trois parties en trois :

2 < X < 4

C'est tout. C'est la réponse. X peut être n'importe quel nombre compris entre deux (non compris) et quatre (non compris). Cette réponse est également écrite à intervalles ; ces entrées seront en inégalités quadratiques. Là, c'est la chose la plus courante.

À la fin de la leçon, je répéterai la chose la plus importante. Le succès dans la résolution des inégalités linéaires dépend de la capacité à transformer et à simplifier des équations linéaires. Si en même temps surveillez le signe d'inégalité, il n'y aura aucun problème. C'est ce que je te souhaite. Pas de problème.)

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Par exemple, l'inégalité est l'expression \(x>5\).

Types d'inégalités :

Si \(a\) et \(b\) sont des nombres ou , alors l'inégalité est appelée numérique. Il s'agit en fait simplement de comparer deux nombres. Ces inégalités se répartissent en fidèle Et infidèle.

Par exemple:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) est une inégalité numérique incorrecte, puisque \(17+3=20\) et \(20\) est inférieur à \(115\) (et non supérieur ou égal à) .

Si \(a\) et \(b\) sont des expressions contenant une variable, alors nous avons inégalité avec variable. Ces inégalités sont divisées en types selon le contenu :

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variable uniquement à la première puissance
\(3x^2-x+5>0\)				Il y a une variable à la puissance deuxième (carré), mais il n'y a pas de puissances supérieures (troisième, quatrième, etc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... et ainsi de suite.

Quelle est la solution à une inégalité ?

Si vous remplacez un nombre par une variable dans une inégalité, celle-ci deviendra numérique.

Si une valeur donnée pour x transforme l’inégalité d’origine en une véritable inégalité numérique, alors on l’appelle solution aux inégalités. Si ce n’est pas le cas, cette valeur n’est pas une solution. Et à résoudre les inégalités– il faut trouver toutes ses solutions (ou montrer qu’il n’y en a pas).

Par exemple, si nous substituons le nombre \(7\) dans l'inégalité linéaire \(x+6>10\), nous obtenons l'inégalité numérique correcte : \(13>10\). Et si nous substituons \(2\), il y aura une inégalité numérique incorrecte \(8>10\). Autrement dit, \(7\) est une solution à l’inégalité d’origine, mais \(2\) ne l’est pas.

Cependant, l’inégalité \(x+6>10\) a d’autres solutions. En effet, nous obtiendrons les inégalités numériques correctes en substituant \(5\), et \(12\), et \(138\)... Et comment trouver toutes les solutions possibles ? Pour cela ils utilisent. Pour notre cas nous avons :

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Autrement dit, tout nombre supérieur à quatre nous convient. Vous devez maintenant écrire la réponse. Les solutions aux inégalités sont généralement écrites numériquement, en les marquant en outre sur l'axe des nombres avec un ombrage. Pour notre cas nous avons :

Répondre: \(x\in(4;+\infty)\)

Quand le signe d’une inégalité change-t-il ?

Il existe un grand piège dans les inégalités dans lequel les étudiants « aiment » vraiment tomber :

Lorsqu'on multiplie (ou divise) une inégalité par un nombre négatif, elle est inversée (« plus » par « moins », « plus ou égal » par « inférieur ou égal », et ainsi de suite)

Pourquoi cela arrive-t-il? Pour comprendre cela, regardons les transformations de l'inégalité numérique \(3>1\). C’est exact, trois est effectivement supérieur à un. Tout d'abord, essayons de le multiplier par n'importe quel nombre positif, par exemple deux :

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Comme nous pouvons le voir, après multiplication, l’inégalité reste vraie. Et quel que soit le nombre positif par lequel nous multiplions, nous obtiendrons toujours la bonne inégalité. Essayons maintenant de multiplier par un nombre négatif, par exemple moins trois :

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Le résultat est une inégalité incorrecte, car moins neuf est inférieur à moins trois ! Autrement dit, pour que l'inégalité devienne vraie (et donc que la transformation de la multiplication par négatif soit « légale »), vous devez inverser le signe de comparaison, comme ceci : \(−9<− 3\).
Avec la division, cela fonctionnera de la même manière, vous pouvez le vérifier vous-même.

La règle écrite ci-dessus s’applique à tous les types d’inégalités, pas seulement aux inégalités numériques.

Exemple: Résoudre l'inégalité \(2(x+1)-1<7+8x\)
Solution:

\(2x+2-1<7+8x\)	Déplaçons \(8x\) vers la gauche, et \(2\) et \(-1\) vers la droite, sans oublier de changer les signes
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Divisons les deux côtés de l'inégalité par \(-6\), sans oublier de passer de « moins » à « plus »
	Marquons un intervalle numérique sur l'axe. Inégalité, donc nous « retirons » la valeur \(-1\) elle-même et ne la prenons pas comme réponse
	Écrivons la réponse sous forme d'intervalle

Répondre: \(x\in(-1;\infty)\)

Inégalités et handicap

Les inégalités, tout comme les équations, peuvent avoir des restrictions sur , c'est-à-dire sur les valeurs de x. En conséquence, les valeurs inacceptables selon le DZ devraient être exclues de la gamme de solutions.

Exemple: Résoudre l'inégalité \(\sqrt(x+1)<3\)

Solution: Il est clair que pour que le côté gauche soit inférieur à \(3\), l'expression radicale doit être inférieure à \(9\) (après tout, à partir de \(9\) juste \(3\)). On a:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Tous? Toute valeur de x inférieure à \(8\) nous conviendra ? Non! Car si l’on prend, par exemple, la valeur \(-5\) qui semble répondre à l’exigence, ce ne sera pas une solution à l’inégalité originelle, puisqu’elle nous amènera à calculer la racine d’un nombre négatif.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Par conséquent, nous devons également prendre en compte les restrictions sur la valeur de X - il ne peut pas être tel qu'il y ait un nombre négatif sous la racine. Ainsi, nous avons la deuxième exigence pour x :

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Et pour que x soit la solution finale, il doit satisfaire aux deux exigences à la fois : il doit être inférieur à \(8\) (pour être une solution) et supérieur à \(-1\) (pour être admissible en principe). En le traçant sur la droite numérique, nous avons la réponse finale :

Répondre: \(\gauche[-1;8\droite)\)

Dans l'article, nous considérerons résoudre les inégalités. Nous vous expliquerons clairement comment construire une solution aux inégalités, avec des exemples clairs !

Avant d’envisager de résoudre les inégalités à l’aide d’exemples, comprenons les concepts de base.

Informations générales sur les inégalités

Inégalité est une expression dans laquelle les fonctions sont reliées par des signes de relation >, . Les inégalités peuvent être à la fois numériques et littérales.
Les inégalités avec deux signes du rapport sont appelées doubles, avec trois - triples, etc. Par exemple:
une(x) > b(x),
une(x) une(x) b(x),
une(x)b(x).
a(x) Les inégalités contenant le signe > ou ou - ne sont pas strictes.
Résoudre les inégalités est n'importe quelle valeur de la variable pour laquelle cette inégalité sera vraie.
"Résoudre les inégalités" signifie qu'il faut trouver l'ensemble de toutes ses solutions. Il existe différentes méthodes pour résoudre les inégalités. Pour solutions aux inégalités Ils utilisent la droite numérique, qui est infinie. Par exemple, solution aux inégalités x > 3 est l'intervalle de 3 à +, et le nombre 3 n'est pas inclus dans cet intervalle, donc le point sur la ligne est désigné par un cercle vide, car l'inégalité est stricte.
+
La réponse sera : x (3 ; +).
La valeur x=3 n'est pas incluse dans l'ensemble de solutions, la parenthèse est donc ronde. Le signe infini est toujours mis en évidence par une parenthèse. Le signe signifie « appartenance ».
Voyons comment résoudre les inégalités à l'aide d'un autre exemple avec un signe :
x2
-+
La valeur x=2 est incluse dans l'ensemble des solutions, donc la parenthèse est carrée et le point sur la ligne est indiqué par un cercle plein.
La réponse sera : x)