Cum se rezolvă inegalitățile complexe. Inegalități. Tipuri de inegalități. III. Învățarea de materiale noi

Ce trebuie să știți despre pictogramele inegalității? Inegalități cu pictograma Mai mult (> ), sau Mai puțin (< ) sunt numite strict. Cu icoane mai mult sau egal (≥ ), mai putin sau egal (≤ ) sunt numite nu strict. Pictogramă nu este egal (≠ ) se deosebește, dar trebuie să rezolvați tot timpul exemplele cu această pictogramă. Și vom decide.)

Pictograma în sine nu are prea multă influență asupra procesului de soluționare. Dar la finalul deciziei, la alegerea răspunsului final, sensul pictogramei apare cu forță! Aceasta este ceea ce vom vedea mai jos în exemple. Sunt niste glume acolo...

Inegalitățile, ca și egalitățile, există credincios și necredincios. Totul este simplu aici, fără trucuri. Să zicem 5 > 2 este o inegalitate adevărată. 5 < 2 - incorect.

Această pregătire funcționează pentru inegalități orice felși simplu până la groază.) Trebuie doar să executați corect două (doar două!) acțiuni elementare. Aceste acțiuni sunt familiare tuturor. Dar, caracteristic, greșelile în aceste acțiuni sunt principala greșeală în rezolvarea inegalităților, da... Prin urmare, aceste acțiuni trebuie repetate. Aceste acțiuni se numesc astfel:

Transformări identice ale inegalităților.

Transformările identice ale inegalităților sunt foarte asemănătoare cu transformările identice ale ecuațiilor. De fapt, aceasta este principala problemă. Diferentele iti trec peste cap si... iata-te.) Prin urmare, voi evidentia in special aceste diferente. Deci, prima transformare identică a inegalităților:

1. Același număr sau expresie poate fi adăugat (scăzut) la ambele părți ale inegalității. Orice. Acest lucru nu va schimba semnul inegalității.

În practică, această regulă este folosită ca un transfer de termeni din partea stângă a inegalității la dreapta (și invers) cu o schimbare de semn. Cu o schimbare a semnului termenului, nu a inegalității! Regula unu-la-unu este aceeași cu regula pentru ecuații. Dar următoarele transformări identice în inegalități diferă semnificativ de cele în ecuații. Așa că le evidențiez cu roșu:

2. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu același lucrupozitivnumăr. Pentru oricepozitiv Nu se va schimba.

3. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu același lucrunegativ număr. Pentru oricenegativnumăr. Semnul inegalității de aicise va schimba la invers.

Vă amintiți (sper...) că ecuația poate fi înmulțită/împărțită cu orice. Și pentru orice număr și pentru o expresie cu X. Dacă nu ar fi zero. Aceasta face ca el, ecuația, să nu fie nici cald, nici rece.) Nu se schimbă. Dar inegalitățile sunt mai sensibile la înmulțire/împărțire.

Un exemplu clar pentru o memorie lungă. Să scriem o inegalitate care nu ridică îndoieli:

5 > 2

Înmulțiți ambele părți cu +3, primim:

15 > 6

Obiecții? Nu există obiecții.) Și dacă înmulțim ambele părți ale inegalității originale cu -3, primim:

15 > -6

Și aceasta este o minciună totală.) O minciună completă! Înșelătoria oamenilor! Dar, de îndată ce schimbați semnul de inegalitate cu cel opus, totul cade la locul său:

15 < -6

Nu jur doar despre minciuni și înșelăciune.) „Am uitat să schimb semnul egal...”- Acest Acasă eroare în rezolvarea inegalităților. Această regulă banală și simplă a rănit atât de mulți oameni! Pe care l-au uitat...) Deci jur. Poate îmi voi aminti...)

Oamenii deosebit de atenți vor observa că inegalitatea nu poate fi multiplicată cu o expresie cu X. Respect celor care sunt atenți!) De ce nu? Răspunsul este simplu. Nu cunoaștem semnul acestei expresii cu X. Poate fi pozitiv, negativ... Prin urmare, nu știm ce semn de inegalitate să punem după înmulțire. Ar trebui să-l schimb sau nu? Necunoscut. Desigur, această restricție (interdicția înmulțirii/împărțirii unei inegalități cu o expresie cu x) poate fi ocolită. Dacă chiar ai nevoie. Dar acesta este un subiect pentru alte lecții.

Sunt toate transformările identice ale inegalităților. Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că lucrează pentru orice inegalităților Acum puteți trece la anumite tipuri.

Inegalități liniare. Soluție, exemple.

Inegalitățile liniare sunt inegalități în care x este în prima putere și nu există o împărțire cu x. Tip:

x+3 > 5x-5

Cum se rezolvă astfel de inegalități? Sunt foarte usor de rezolvat! Și anume: cu ajutorul reducem cea mai confuză inegalitate liniară direct la răspuns. Asta e soluția. Voi evidenția punctele principale ale deciziei. Pentru a evita greșelile stupide.)

Să rezolvăm această inegalitate:

x+3 > 5x-5

O rezolvăm exact în același mod ca o ecuație liniară. Cu singura diferenta:

Monitorizăm cu atenție semnul inegalității!

Primul pas este cel mai comun. Cu X - la stânga, fără X - la dreapta... Aceasta este prima transformare identică, simplă și fără probleme.) Doar nu uitați să schimbați semnele termenilor transferați.

Semnul inegalității rămâne:

x-5x > -5-3

Iată altele asemănătoare.

Semnul inegalității rămâne:

4x > -8

Rămâne să aplicați ultima transformare identică: împărțiți ambele părți la -4.

Împarte la negativ număr.

Semnul inegalității se va schimba în sens invers:

X < 2

Acesta este răspunsul.

Așa se rezolvă toate inegalitățile liniare.

Atenţie! Punctul 2 este desenat alb, adică. nevopsite. Gol în interior. Asta înseamnă că ea nu este inclusă în răspuns! Am desenat-o atât de sănătoasă intenționat. Un astfel de punct (gol, nu sănătos!)) în matematică se numește punct perforat.

Numerele rămase pe axă pot fi marcate, dar nu sunt necesare. Numerele străine care nu au legătură cu inegalitatea noastră pot fi confuze, da... Trebuie doar să rețineți că numerele cresc în direcția săgeții, i.e. numerele 3, 4, 5 etc. sunt La dreapta sunt doi, iar numerele sunt 1, 0, -1 etc. - La stânga.

Inegalitatea x < 2 - strict. X este strict mai mic de doi. Dacă aveți îndoieli, verificarea este simplă. Inlocuim numarul dubios in inegalitate si ne gandim: "Doi este mai putin decat doi? Nu, desigur!" Exact. Inegalitatea 2 < 2 incorect. Un doi în schimb nu este potrivit.

Este unul ok? Cu siguranță. Mai puțin... Și zero este bun și -17 și 0,34... Da, toate numerele care sunt mai mici de doi sunt bune! Și chiar și 1.9999.... Măcar puțin, dar mai puțin!

Deci, să marchem toate aceste numere pe axa numerelor. Cum? Există opțiuni aici. Opțiunea unu este umbrirea. Mutăm mouse-ul peste imagine (sau atingem imaginea de pe tabletă) și vedem că zona tuturor x-urilor care îndeplinesc condiția x este umbrită < 2 . Asta e tot.

Să ne uităm la a doua opțiune folosind al doilea exemplu:

X ≥ -0,5

Desenați o axă și marcați numărul -0,5. Ca aceasta:

Observați diferența?) Ei bine, da, este greu să nu observați... Acest punct este negru! Pictat peste. Aceasta înseamnă -0,5 este inclusă în răspuns. Aici, apropo, verificarea poate deruta pe cineva. Să înlocuim:

-0,5 ≥ -0,5

Cum așa? -0,5 nu este mai mult de -0,5! Și există mai multe pictograme...

E bine. Într-o inegalitate slabă, tot ceea ce se potrivește pictogramei este potrivit. ȘI egală bine si Mai mult bun. Prin urmare, -0,5 este inclus în răspuns.

Deci, am marcat -0,5 pe axă; rămâne de marcat toate numerele care sunt mai mari de -0,5. De data aceasta marchez zona valorilor x adecvate arc(din cuvânt arc), mai degrabă decât umbrirea. Plasăm cursorul peste desen și vedem acest arc.

Nu există nicio diferență specială între umbrire și brațe. Fă cum spune profesorul. Dacă nu există profesor, desenați arcade. În sarcinile mai complexe, umbrirea este mai puțin evidentă. Poți fi confuz.

Acesta este modul în care inegalitățile liniare sunt desenate pe o axă. Să trecem la următoarea caracteristică a inegalităților.

Scrierea răspunsului pentru inegalități.

Ecuațiile au fost bune.) Am găsit x și am notat răspunsul, de exemplu: x=3. Există două forme de scriere a răspunsurilor în inegalități. Una este sub forma inegalității finale. Bun pentru cazuri simple. De exemplu:

X< 2.

Acesta este un răspuns complet.

Uneori trebuie să scrieți același lucru, dar într-o formă diferită, la intervale numerice. Apoi înregistrarea începe să pară foarte științifică):

x ∈ (-∞; 2)

Sub icoană ∈ cuvântul este ascuns „aparține”.

Intrarea sună astfel: x aparține intervalului de la minus infinit la doi neincluzând. Destul de logic. X poate fi orice număr din toate numerele posibile de la minus infinit la doi. Nu poate exista un dublu X, ceea ce ne spune cuvântul "neincluzând".

Și unde în răspuns este clar că "neincluzând"? Acest fapt este notat în răspuns rundă paranteză imediat după cele două. Dacă cele două ar fi incluse, paranteza ar fi pătrat. Ca acesta: ]. Următorul exemplu folosește o astfel de paranteză.

Să notăm răspunsul: x ≥ -0,5 la intervale:

x ∈ [-0,5; +∞)

Citeste: x aparține intervalului de la minus 0,5, inclusiv, la plus infinit.

Infinitul nu poate fi niciodată pornit. Nu este un număr, este un simbol. Prin urmare, în astfel de notații, infinitul este întotdeauna adiacent unei paranteze.

Această formă de înregistrare este convenabilă pentru răspunsuri complexe constând din mai multe spații. Dar - doar pentru răspunsurile finale. În rezultatele intermediare, unde se așteaptă o soluție ulterioară, este mai bine să folosiți forma obișnuită, sub forma unei inegalități simple. Ne vom ocupa de asta în subiectele relevante.

Sarcini populare cu inegalități.

Inegalitățile liniare în sine sunt simple. Prin urmare, sarcinile devin adesea mai dificile. Așa că era necesar să se gândească. Acest lucru, dacă nu ești obișnuit, nu este foarte plăcut.) Dar este util. Voi arăta exemple de astfel de sarcini. Nu pentru tine să le înveți, este inutil. Și pentru a nu vă teme când întâlniți astfel de exemple. Gândește-te puțin - și este simplu!)

1. Găsiți oricare două soluții la inegalitatea 3x - 3< 0

Dacă nu este foarte clar ce să faci, amintiți-vă regula principală a matematicii:

Dacă nu știi de ce ai nevoie, fă ce poți!)

X < 1

Si ce? Nimic special. Ce ne întreabă? Ni se cere să găsim două numere specifice care sunt soluția unei inegalități. Acestea. se potrivește cu răspunsul. Două orice numere. De fapt, acest lucru este confuz.) Câteva 0 și 0,5 sunt potrivite. Un cuplu -3 și -8. Există un număr infinit de aceste cupluri! Care răspuns este corect?!

Eu raspund: totul! Orice pereche de numere, fiecare dintre ele mai mică de unu, va fi răspunsul corect. Scrie pe care vrei. Sa trecem peste.

2. Rezolvați inegalitatea:

4x - 3 ≠ 0

Sarcinile în această formă sunt rare. Dar, ca inegalități auxiliare, la găsirea ODZ, de exemplu, sau la găsirea domeniului de definire a unei funcții, ele apar tot timpul. O astfel de inegalitate liniară poate fi rezolvată ca o ecuație liniară obișnuită. Doar peste tot, cu excepția semnului „=" ( egală) pune un semn " ≠ " (nu este egal). Iată cum abordezi răspunsul, cu un semn de inegalitate:

X ≠ 0,75

În exemple mai complexe, este mai bine să faceți lucrurile diferit. Faceți inegalitatea din egalitate. Ca aceasta:

4x - 3 = 0

Rezolvă-o cu calm așa cum ai învățat și obține răspunsul:

x = 0,75

Principalul lucru este, la sfârșit, când scrieți răspunsul final, nu uitați că am găsit x, care dă egalitate.Și avem nevoie de - inegalitate. Prin urmare, nu avem nevoie de acest X.) Și trebuie să-l notăm cu simbolul corect:

X ≠ 0,75

Această abordare duce la mai puține erori. Cei care rezolvă ecuații automat. Și pentru cei care nu rezolvă ecuații, inegalitățile sunt, de fapt, de nimic...) Un alt exemplu de sarcină populară:

3. Găsiți cea mai mică soluție întreagă a inegalității:

3(x - 1) < 5x + 9

Mai întâi rezolvăm pur și simplu inegalitatea. Deschidem parantezele, le mutam, aducem altele asemanatoare... Obtinem:

X > - 6

Nu a mers asa!? Ai urmat indicatoarele!? Și în spatele semnelor membrilor și în spatele semnului inegalității...

Să ne gândim din nou. Trebuie să găsim un anumit număr care să se potrivească atât cu răspunsul, cât și cu condiția „cel mai mic număr întreg”. Dacă nu îți vine imediat, poți să iei orice număr și să-l dai seama. Doi peste minus șase? Cu siguranță! Există un număr potrivit mai mic? Desigur. De exemplu, zero este mai mare decât -6. Și chiar mai puțin? Avem nevoie de cel mai mic lucru posibil! Minus trei este mai mult decât minus șase! Poți deja să prinzi modelul și să nu mai mergi prost prin numere, nu?)

Să luăm un număr mai aproape de -6. De exemplu, -5. Răspunsul este îndeplinit, -5 > - 6. Este posibil să găsiți un alt număr mai mic decât -5 dar mai mare decât -6? Poți, de exemplu, -5,5... Oprește-te! ni se spune întreg soluţie! Nu se rostogolește -5,5! Dar minus șase? Uh-uh! Inegalitatea este strictă, minus 6 nu este în niciun caz mai mic decât minus 6!

Prin urmare, răspunsul corect este -5.

Sper că totul este clar cu alegerea valorii din soluția generală. Alt exemplu:

4. Rezolvați inegalitatea:

7 < 3x+1 < 13

Wow! Această expresie se numește inegalitate triplă. Strict vorbind, aceasta este o formă prescurtată a unui sistem de inegalități. Dar astfel de triple inegalități mai trebuie rezolvate în unele sarcini... Se poate rezolva fără niciun sistem. După aceleaşi transformări identice.

Trebuie să simplificăm, să aducem această inegalitate la X pur. Dar... Ce ar trebui mutat unde?! Aici este timpul să ne amintim că este mișcarea la stânga și la dreapta forma scurta prima transformare a identităţii.

Și forma completă sună așa: Orice număr sau expresie poate fi adăugat/scăzut de ambele părți ale ecuației (inegalitate).

Sunt trei părți aici. Deci vom aplica transformări identice tuturor celor trei părți!

Deci, să scăpăm de cel din partea de mijloc a inegalității. Să scădem unul din toată partea de mijloc. Pentru ca inegalitatea să nu se modifice, scădem una din celelalte două părți. Ca aceasta:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

E mai bine, nu?) Tot ce rămâne este să împărțim toate cele trei părți în trei:

2 < X < 4

Asta e tot. Acesta este răspunsul. X poate fi orice număr de la doi (neincluzând) la patru (neincluzând). Acest răspuns este, de asemenea, scris la intervale; astfel de intrări vor fi în inegalități pătratice. Acolo sunt cel mai comun lucru.

La sfârșitul lecției voi repeta cel mai important lucru. Succesul în rezolvarea inegalităților liniare depinde de capacitatea de a transforma și simplifica ecuațiile liniare. Dacă în acelaşi timp urmăriți semnul inegalității, nu vor fi probleme. Asta iti doresc. Fără probleme.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

De exemplu, inegalitatea este expresia \(x>5\).

Tipuri de inegalități:

Dacă \(a\) și \(b\) sunt numere sau , atunci inegalitatea este numită numeric. De fapt, este doar compararea a două numere. Astfel de inegalități sunt împărțite în credinciosȘi necredincios.

De exemplu:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) este o inegalitate numerică incorectă, deoarece \(17+3=20\) și \(20\) este mai mic decât \(115\) (și nu mai mare sau egal cu) .

Dacă \(a\) și \(b\) sunt expresii care conțin o variabilă, atunci avem inegalitatea cu variabila. Astfel de inegalități sunt împărțite în tipuri în funcție de conținut:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabil doar la prima putere
\(3x^2-x+5>0\)				Există o variabilă în a doua putere (pătrat), dar nu există puteri superioare (a treia, a patra etc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... și așa mai departe.

Care este soluția la o inegalitate?

Dacă înlocuiți un număr în loc de o variabilă într-o inegalitate, aceasta se va transforma într-una numerică.

Dacă o valoare dată pentru x transformă inegalitatea inițială într-una numerică adevărată, atunci se numește soluție la inegalitate. Dacă nu, atunci această valoare nu este o soluție. Și a rezolva inegalitatea– trebuie să-i găsești toate soluțiile (sau să arăți că nu există).

De exemplu, dacă substituim numărul \(7\) în inegalitatea liniară \(x+6>10\), obținem inegalitatea numerică corectă: \(13>10\). Și dacă înlocuim \(2\), va exista o inegalitate numerică incorectă \(8>10\). Adică, \(7\) este o soluție la inegalitatea inițială, dar \(2\) nu este.

Totuși, inegalitatea \(x+6>10\) are alte soluții. Într-adevăr, vom obține inegalitățile numerice corecte când înlocuim \(5\), și \(12\), și \(138\)... Și cum putem găsi toate soluțiile posibile? Pentru aceasta folosesc. Pentru cazul nostru avem:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Adică, orice număr mai mare de patru este potrivit pentru noi. Acum trebuie să scrieți răspunsul. Soluțiile la inegalități sunt de obicei scrise numeric, marcându-le suplimentar pe axa numerelor cu umbrire. Pentru cazul nostru avem:

Răspuns: \(x\in(4;+\infty)\)

Când se schimbă semnul unei inegalități?

Există o mare capcană în inegalități în care elevii „adoră” să cadă:

Când înmulțiți (sau împărțiți) o inegalitate cu un număr negativ, aceasta este inversată („mai mult” cu „mai puțin”, „mai mult sau egal” cu „mai puțin decât sau egal” și așa mai departe)

De ce se întâmplă asta? Pentru a înțelege acest lucru, să ne uităm la transformările inegalității numerice \(3>1\). Este corect, trei este într-adevăr mai mare decât unul. Mai întâi, să încercăm să-l înmulțim cu orice număr pozitiv, de exemplu, doi:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

După cum putem vedea, după înmulțire inegalitatea rămâne adevărată. Și indiferent cu ce număr pozitiv înmulțim, vom obține întotdeauna inegalitatea corectă. Acum să încercăm să înmulțim cu un număr negativ, de exemplu, minus trei:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultatul este o inegalitate incorectă, deoarece minus nouă este mai puțin decât minus trei! Adică, pentru ca inegalitatea să devină adevărată (și, prin urmare, transformarea înmulțirii cu negativ a fost „legală”), trebuie să inversați semnul de comparație, astfel: \(−9<− 3\).
Cu diviziunea va funcționa la fel, puteți verifica singur.

Regula scrisă mai sus se aplică tuturor tipurilor de inegalități, nu doar celor numerice.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(2(x+1)-1<7+8x\)
Soluţie:

\(2x+2-1<7+8x\)	Să ne mișcăm \(8x\) la stânga și \(2\) și \(-1\) la dreapta, fără a uita să schimbăm semnele
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Să împărțim ambele părți ale inegalității la \(-6\), fără a uita să schimbăm de la „mai puțin” la „mai mult”.
	Să marchem un interval numeric pe axă. Inegalitatea, prin urmare, „înțepăm” valoarea \(-1\) în sine și nu o luăm ca răspuns
	Să scriem răspunsul ca un interval

Răspuns: \(x\in(-1;\infty)\)

Inegalități și dizabilități

Inegalitățile, la fel ca și ecuațiile, pot avea restricții asupra , adică asupra valorilor lui x. În consecință, acele valori care sunt inacceptabile conform DZ ar trebui excluse din gama de soluții.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(\sqrt(x+1)<3\)

Soluţie: Este clar că, pentru ca partea stângă să fie mai mică decât \(3\), expresia radicală trebuie să fie mai mică decât \(9\) (la urma urmei, din \(9\) doar \(3\)). Primim:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Toate? Orice valoare a lui x mai mică decât \(8\) ne va potrivi? Nu! Pentru că dacă luăm, de exemplu, valoarea \(-5\) care pare să se potrivească cerinței, aceasta nu va fi o soluție la inegalitatea inițială, deoarece ne va conduce la calcularea rădăcinii unui număr negativ.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Prin urmare, trebuie să luăm în considerare și restricțiile privind valoarea lui X - nu poate fi astfel încât să existe un număr negativ sub rădăcină. Astfel, avem a doua cerință pentru x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Și pentru ca x să fie soluția finală, trebuie să îndeplinească ambele cerințe simultan: trebuie să fie mai mic decât \(8\) (pentru a fi o soluție) și mai mare decât \(-1\) (pentru a fi admisibil în principiu). Trasând-o pe linia numerică, avem răspunsul final:

Răspuns: \(\stanga[-1;8\dreapta)\)

În articol vom lua în considerare rezolvarea inegalităților. Vă vom spune clar despre cum se construiește o soluție la inegalități, cu exemple clare!

Înainte de a analiza rezolvarea inegalităților folosind exemple, să înțelegem conceptele de bază.

Informații generale despre inegalități

Inegalitate este o expresie în care funcțiile sunt legate prin semne de relație >, . Inegalitățile pot fi atât numerice, cât și literale.
Inegalitățile cu două semne ale raportului se numesc dublu, cu trei - triplu etc. De exemplu:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Inegalitățile care conțin semnul > sau sau - nu sunt stricte.
Rezolvarea inegalității este orice valoare a variabilei pentru care această inegalitate va fi adevărată.
"Rezolvați inegalitatea" înseamnă că trebuie să găsim setul tuturor soluțiilor sale. Există diferite metode de rezolvare a inegalităților. Pentru soluții pentru inegalități Ei folosesc linia numerică, care este infinită. De exemplu, soluție la inegalitate x > 3 este intervalul de la 3 la +, iar numărul 3 nu este inclus în acest interval, prin urmare punctul de pe linie este notat cu un cerc gol, deoarece inegalitatea este strictă.
+
Răspunsul va fi: x (3; +).
Valoarea x=3 nu este inclusă în setul de soluții, deci paranteza este rotundă. Semnul infinitului este întotdeauna evidențiat cu o paranteză. Semnul înseamnă „apartenere”.
Să ne uităm la cum să rezolvăm inegalitățile folosind un alt exemplu cu semn:
x 2
-+
Valoarea x=2 este inclusă în setul de soluții, deci paranteza este pătrată, iar punctul de pe linie este indicat printr-un cerc umplut.
Raspunsul va fi: x)