Всичко за тунинг на автомобили

Най-малко общо кратно 2. Как да намерим най-малкото общо кратно на числа. Намиране на LCM на три или повече числа


Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията под заглавие LCM - най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), и обърнете специално внимание на решаването на примери. Нека първо покажем как LCM на две числа се изчислява по отношение на GCD на тези числа. След това обмислете намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числа на прости множители. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три или повече числа и също ще обърнем внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известния най-голям общ делител. Съответната формула има формата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Помислете за примери за намиране на LCM според горната формула.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на двете числа 126 и 70.

Решение.

В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Тоест първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим НОК на тези числа по написаната формула.

Намерете gcd(126, 70), като използвате алгоритъма на Евклид: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следователно gcd(126, 70)=14 .

Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Отговор:

LCM(126, 70)=630.

Пример.

Какво е LCM(68, 34)?

Решение.

защото 68 се дели равномерно на 34, тогава gcd(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Отговор:

LCM(68, 34)=68.

Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.

Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители

Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако направим произведение на всички прости множители на тези числа, след което изключим от това произведение всички общи прости множители, които присъстват в разширенията на тези числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на тези числа.

Обявеното правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички множители, включени в разширенията на числата a и b. На свой ред, gcd(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разширенията на числата a и b (което е описано в раздела за намиране на gcd с помощта на разлагането на числа на прости множители ).

Да вземем пример. Нека знаем, че 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Съставете произведението на всички множители на тези разширения: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега изключваме от този продукт всички множители, които присъстват както в разгръщането на числото 75, така и в разгръщането на числото 210 (такива множители са 3 и 5), тогава произведението ще приеме формата 2 3 5 5 7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на числата 75 и 210, т.е. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Пример.

След като разложите числата 441 и 700 на прости множители, намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

Решение.

Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители:

Получаваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .

Сега нека направим произведение на всички фактори, включени в разширенията на тези числа: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . По този начин, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Отговор:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Правилото за намиране на LCM с помощта на разлагането на числата на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако добавим липсващите множители от разлагането на числото b към множителите от разлагането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.

Например, нека вземем всички едни и същи числа 75 и 210, тяхното разлагане на прости множители е както следва: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Към множителите 3, 5 и 5 от разлагането на числото 75 добавяме липсващите множители 2 и 7 от разлагането на числото 210, получаваме произведението 2 3 5 5 7 , чиято стойност е LCM(75 , 210).

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Решение.

Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разлагането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на числата 84 и 648 е 4536.

Отговор:

LCM(84, 648)=4 536 .

Намиране на LCM на три или повече числа

Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Спомнете си съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.

Теорема.

Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира в последователното изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Разгледайте приложението на тази теорема на примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.

Пример.

Намерете LCM на четирите числа 140, 9, 54 и 250.

Решение.

В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Първо намираме m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). За да направим това, използвайки Евклидовия алгоритъм, ние определяме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следователно gcd( 140, 9)=1 , откъдето LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Тоест m 2 =1 260 .

Сега намираме m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Нека го изчислим чрез gcd(1 260, 54) , което също се определя от алгоритъма на Евклид: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогава gcd(1 260, 54)=18 , откъдето LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоест m 3 \u003d 3 780.

Остава да се намери m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). За да направим това, намираме НОД(3 780, 250) с помощта на алгоритъма на Евклид: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следователно gcd(3 780, 250)=10, откъдето gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоест m 4 \u003d 94 500.

Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.

Отговор:

LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.

В много случаи най-малкото общо кратно на три или повече числа се намира удобно чрез разлагане на прости множители на дадени числа. В този случай трябва да се спазва следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разлагането на второто число се добавят към всички множители от разлагането на първото число, липсващите множители от разлагането на третото число се добавя към получените множители и т.н.

Помислете за пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагането на числа на прости множители.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.

Решение.

Първо, получаваме разширенията на тези числа в прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 прости множители) и 143=11 13 .

За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2 , 2 , 3 и 7 ) трябва да добавите липсващите множители от разгръщането на второто число 6 . Разгръщането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разгръщането на първото число 84. Допълнително към множителите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 2 и 2 от разгръщането на третото число 48, получаваме набор от множители 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма нужда да добавяте фактори към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разлагането на числото 143 . Получаваме произведението 2 2 2 2 3 7 11 13 , което е равно на 48 048 .

Кратно на число е число, което се дели на дадено число без остатък. Най-малкото общо кратно (LCM) на група числа е най-малкото число, което се дели равномерно на всяко число в групата. За да намерите най-малкото общо кратно, трябва да намерите простите множители на дадените числа. Също така LCM може да се изчисли с помощта на редица други методи, които са приложими за групи от две или повече числа.

стъпки

Поредица от кратни

    Вижте тези числа.Описаният тук метод се използва най-добре, когато са дадени две числа, които и двете са по-малки от 10. Ако са дадени големи числа, използвайте различен метод.

    • Например, намерете най-малкото общо кратно на числата 5 и 8. Това са малки числа, така че този метод може да се използва.

  1. Кратно на число е число, което се дели на дадено число без остатък. В таблицата за умножение могат да бъдат намерени множество числа.

    • Например числата, кратни на 5, са: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. Запишете поредица от числа, кратни на първото число.Направете това под кратни на първото число, за да сравните два реда числа.

    • Например числата, кратни на 8, са: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

  3. Намерете най-малкото число, което се появява в двете серии от кратни.Може да се наложи да напишете дълги серии от кратни, за да намерите общата сума. Най-малкото число, което се появява в двете серии от кратни, е най-малкото общо кратно.

    • Например най-малкото число, което се появява в поредицата от кратни на 5 и 8, е 40. Следователно 40 е най-малкото общо кратно на 5 и 8.

    Разлагане на прости множители

    1. Вижте тези числа.Методът, описан тук, се използва най-добре, когато са дадени две числа, които и двете са по-големи от 10. Ако са дадени по-малки числа, използвайте различен метод.

      • Например, намерете най-малкото общо кратно на числата 20 и 84. Всяко от числата е по-голямо от 10, така че този метод може да се използва.

    2. Факторизиране първо число.Тоест трябва да намерите такива прости числа, при умножаване на които получавате дадено число. След като намерите прости множители, запишете ги като равенство.

      Разложете второто число на прости множители.Направете това по същия начин, както разложихте първото число, тоест намерете такива прости числа, които при умножаване ще получат това число.

      Запишете множителите, общи за двете числа.Запишете такива множители като операция за умножение. Докато записвате всеки множител, задраскайте го и в двата израза (изрази, които описват разлагането на числа на прости множители).

      Добавете останалите множители към операцията за умножение.Това са фактори, които не са зачеркнати и в двата израза, тоест фактори, които не са общи за двете числа.

      Изчислете най-малкото общо кратно.За да направите това, умножете числата в операцията за писмено умножение.

    Намиране на общи делители

      Начертайте решетка, както бихте направили за игра на тик-так-палец.Такава мрежа се състои от две успоредни линии, които се пресичат (под прав ъгъл) с две други успоредни линии. Това ще доведе до три реда и три колони (мрежата изглежда много като знака #). Напишете първото число в първия ред и втората колона. Напишете второто число в първия ред и третата колона.

      • Например, намерете най-малкото общо кратно на 18 и 30. Напишете 18 в първия ред и втората колона и напишете 30 в първия ред и третата колона.

    1. Намерете общия делител на двете числа.Запишете го в първия ред и първата колона. По-добре е да търсите прости делители, но това не е задължително условие.

      • Например 18 и 30 са четни числа, така че общият им делител е 2. Затова напишете 2 в първия ред и първата колона.

    2. Разделете всяко число на първия делител.Запишете всяко частно под съответното число. Частното е резултат от разделянето на две числа.

      Намерете делител, общ за двете частни.Ако няма такъв делител, пропуснете следващите две стъпки. В противен случай запишете делителя във втория ред и първата колона.

      • Например 9 и 15 се делят на 3, така че напишете 3 във втория ред и първата колона.

    3. Разделете всяко частно на втория делител.Запишете всеки резултат от деленето под съответното частно.

      Ако е необходимо, допълнете мрежата с допълнителни клетки.Повторете горните стъпки, докато частните получат общ делител.

      Оградете числата в първата колона и последния ред на мрежата.След това запишете маркираните числа като операция за умножение.

    Алгоритъм на Евклид

      Запомнете терминологията, свързана с операцията деление.Дивидентът е числото, което се разделя. Делителят е числото, на което се дели. Частното е резултат от разделянето на две числа. Остатъкът е числото, което остава при разделяне на две числа.

      Напишете израз, който описва действието деление с остатък.Израз: дивидент = делител × частно + остатък (\displaystyle (\text(делител))=(\text(делител))\times (\text(частно))+(\text(остатък))). Този израз ще се използва за записване на алгоритъма на Евклид и намиране на най-големия общ делител на две числа.

      Третирайте по-голямото от двете числа като дивидент.Разгледайте по-малкото от двете числа като делител. За тези числа запишете израз, който описва действието деление с остатък.

      Превърнете първия делител в нов дивидент.Използвайте остатъка като нов делител. За тези числа запишете израз, който описва действието деление с остатък.

Нека продължим дискусията за най-малкото общо кратно, която започнахме в раздела LCM - Най-малко общо кратно, дефиниция, примери. В тази тема ще разгледаме начини за намиране на LCM за три или повече числа, ще анализираме въпроса как да намерим LCM на отрицателно число.

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Вече установихме връзката между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител. Сега нека научим как да дефинираме LCM чрез GCD. Първо, нека разберем как да направим това за положителни числа.

Определение 1

Можете да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител, като използвате формулата LCM (a, b) \u003d a b: НОД (a, b) .

Пример 1

Необходимо е да се намери LCM на числата 126 и 70.

Решение

Нека вземем a = 126 , b = 70 . Заменете стойностите във формулата за изчисляване на най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b) .

Намира НОД на числата 70 и 126. За това се нуждаем от алгоритъма на Евклид: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , следователно gcd (126 , 70) = 14 .

Нека изчислим LCM: LCM (126, 70) = 126 70: НОД (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Отговор: LCM (126, 70) = 630.

Пример 2

Намерете nok на числата 68 и 34.

Решение

GCD в този случай е лесно да се намери, тъй като 68 се дели на 34. Изчислете най-малкото общо кратно, като използвате формулата: LCM (68, 34) = 68 34: НОД (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Отговор: LCM(68, 34) = 68.

В този пример използвахме правилото за намиране на най-малкото общо кратно на положителни цели числа a и b: ако първото число се дели на второто, тогава LCM на тези числа ще бъде равно на първото число.

Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители

Сега нека разгледаме начин за намиране на LCM, който се основава на разлагането на числата на прости множители.

Определение 2

За да намерим най-малкото общо кратно, трябва да изпълним няколко прости стъпки:

  • съставяме произведението на всички прости множители на числа, за които трябва да намерим LCM;
  • ние изключваме всички прости множители от техните получени продукти;
  • произведението, получено след елиминиране на общите прости множители, ще бъде равно на LCM на дадените числа.

Този начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на равенството LCM (a , b) = a b: НОД (a , b) . Ако погледнете формулата, ще стане ясно: произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, които участват в разширяването на тези две числа. В този случай НОД на две числа е равен на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разложенията на тези две числа.

Пример 3

Имаме две числа 75 и 210. Можем да ги разделим по следния начин: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Ако направите произведението на всички множители на двете оригинални числа, получавате: 2 3 3 5 5 5 7.

Ако изключим множителите, общи за числата 3 и 5, получаваме продукт от следната форма: 2 3 5 5 7 = 1050. Този продукт ще бъде нашият LCM за числата 75 и 210.

Пример 4

Намерете LCM на числата 441 И 700 , разлагайки двете числа на прости множители.

Решение

Нека намерим всички прости множители на числата, дадени в условието:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Получаваме две вериги от числа: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7 .

Продуктът на всички фактори, които са участвали в разширяването на тези числа, ще изглежда така: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нека намерим общите множители. Това число е 7. Изключваме го от общия продукт: 2 2 3 3 5 5 7 7. Оказва се, че NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Отговор: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Нека дадем още една формулировка на метода за намиране на LCM чрез разлагане на числата на прости множители.

Определение 3

Преди това изключихме от общия брой фактори, общи за двете числа. Сега ще го направим по различен начин:

  • Нека разложим и двете числа на прости множители:
  • добавете към произведението на простите множители на първото число липсващите множители на второто число;
  • получаваме продукта, който ще бъде търсеният LCM от две числа.

Пример 5

Да се ​​върнем към числата 75 и 210, за които вече търсихме LCM в един от предишните примери. Нека ги разделим на прости фактори: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Към произведението на множители 3 , 5 и 5 номер 75 добавете липсващите множители 2 И 7 числата 210 . Получаваме: 2 3 5 5 7 .Това е LCM на числата 75 и 210.

Пример 6

Необходимо е да се изчисли LCM на числата 84 и 648.

Решение

Нека разложим числата от условието на прости множители: 84 = 2 2 3 7И 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Добавете към произведението на множителите 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 липсващи множители 2 , 3 , 3 и
3 числата 648 . Получаваме продукта 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .Това е най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Отговор: LCM (84, 648) = 4536.

Намиране на LCM на три или повече числа

Независимо с колко числа имаме работа, алгоритъмът на нашите действия винаги ще бъде един и същ: последователно ще намираме LCM на две числа. Има теорема за този случай.

Теорема 1

Да предположим, че имаме цели числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kот тези числа се намира при последователно изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Сега нека да разгледаме как теоремата може да се приложи към конкретни проблеми.

Пример 7

Трябва да изчислите най-малкото общо кратно на четирите числа 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение

Нека въведем нотацията: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Нека започнем с изчисляването на m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Нека използваме евклидовия алгоритъм, за да изчислим НОД на числата 140 и 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Получаваме: НОД(140, 9) = 1, НОК(140, 9) = 140 9: НОД(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Следователно m 2 = 1 260 .

Сега нека изчислим по същия алгоритъм m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . В хода на изчисленията получаваме m 3 = 3 780.

Остава да изчислим m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Ние действаме по същия алгоритъм. Получаваме m 4 \u003d 94 500.

LCM на четирите числа от примерното условие е 94500.

Отговор: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Както можете да видите, изчисленията са прости, но доста трудоемки. За да спестите време, можете да отидете по друг начин.

Определение 4

Предлагаме ви следния алгоритъм на действие:

  • разложи всички числа на прости множители;
  • към произведението на множителите на първото число добавете липсващите множители от произведението на второто число;
  • добавете липсващите фактори на третото число към продукта, получен на предишния етап и т.н.;
  • полученото произведение ще бъде най-малкото общо кратно на всички числа от условието.

Пример 8

Необходимо е да се намери НОК на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.

Решение

Нека разложим всичките пет числа на прости множители: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Простите числа, което е числото 7, не могат да бъдат разложени на прости множители. Такива числа съвпадат с тяхното разлагане на прости множители.

Сега нека вземем произведението на простите множители 2, 2, 3 и 7 на числото 84 и добавим към тях липсващите множители на второто число. Разложихме числото 6 на 2 и 3. Тези множители вече са в произведението на първото число. Затова ги пропускаме.

Продължаваме да добавяме липсващите множители. Обръщаме се към числото 48, от произведението на прости множители, на които вземаме 2 и 2. След това добавяме прост множител 7 от четвъртото число и множителите 11 и 13 от петото. Получаваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Това е най-малкото общо кратно на петте оригинални числа.

Отговор: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Намиране на най-малкото общо кратно на отрицателни числа

За да се намери най-малкото общо кратно на отрицателни числа, тези числа трябва първо да бъдат заменени с числа с противоположен знак и след това изчисленията да се извършат съгласно горните алгоритми.

Пример 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) и LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Такива действия са допустими поради факта, че ако се приеме, че аИ − а- противоположни числа
тогава множеството от кратни асъвпада с набора от кратни на число − а.

Пример 10

Необходимо е да се изчисли LCM на отрицателни числа − 145 И − 45 .

Решение

Нека сменим числата − 145 И − 45 към техните противоположни числа 145 И 45 . Сега, използвайки алгоритъма, ние изчисляваме LCM (145 , 45) = 145 45: НОД (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , като преди това сме определили НОД с помощта на алгоритъма на Евклид.

Получаваме, че НОК на числата − 145 и − 45 равно на 1 305 .

Отговор: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

За да разберете как да изчислите LCM, първо трябва да определите значението на термина "множество".


Кратно на A е естествено число, което се дели без остатък на A. Така 15, 20, 25 и т.н. могат да се считат за кратни на 5.


Може да има ограничен брой делители на определено число, но има безкраен брой кратни.


Общо кратно на естествени числа е число, което се дели на тях без остатък.

Как да намерим най-малкото общо кратно на числа

Най-малкото общо кратно (LCM) на числа (две, три или повече) е най-малкото естествено число, което се дели равномерно на всички тези числа.


За да намерите NOC, можете да използвате няколко метода.


За малки числа е удобно да се изпишат в ред всички кратни на тези числа, докато се намери общо сред тях. Множествата се означават в записа с главна буква K.


Например, кратни на 4 могат да бъдат записани така:


K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)


K(6) = (12, 18, 24, ...)


И така, можете да видите, че най-малкото общо кратно на числата 4 и 6 е числото 24. Това въвеждане се извършва по следния начин:


LCM(4, 6) = 24


Ако числата са големи, намерете общото кратно на три или повече числа, тогава е по-добре да използвате друг начин за изчисляване на LCM.


За да изпълните задачата, е необходимо да разложите предложените числа на прости множители.


Първо трябва да напишете разширението на най-голямото от числата в ред, а под него - останалите.


При разширяването на всяко число може да има различен брой фактори.


Например, нека разложим числата 50 и 20 на прости множители.




При разширяването на по-малкото число трябва да се подчертаят факторите, които липсват при разширяването на първото най-голямо число, и след това да се добавят към него. В представения пример липсва двойка.


Сега можем да изчислим най-малкото общо кратно на 20 и 50.


LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


Така произведението на простите множители на по-голямото число и множителите на второто число, които не са включени в разлагането на по-голямото число, ще бъде най-малкото общо кратно.


За да се намери LCM на три или повече числа, всички те трябва да бъдат разложени на прости множители, както в предишния случай.


Като пример можете да намерите най-малкото общо кратно на числата 16, 24, 36.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


Така само две двойки от разлагането на шестнадесет не са включени в разлагането на по-голямо число (едно е в разлагането на двадесет и четири).


Следователно те трябва да бъдат добавени към разлагането на по-голям брой.


LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


Има специални случаи за определяне на най-малкото общо кратно. Така че, ако едно от числата може да се раздели без остатък на друго, тогава по-голямото от тези числа ще бъде най-малкото общо кратно.


Например NOC от дванадесет и двадесет и четири биха били двадесет и четири.


Ако е необходимо да се намери най-малкото общо кратно на взаимно прости числа, които нямат еднакви делители, тогава техният LCM ще бъде равен на техния продукт.


Например LCM(10, 11) = 110.