Определете реакциите на твърдото прекъсване на гредата. Определянето на реакциите на опорите на гредата е решение на проблема. Равновесни уравнения за силите
На опорите на гредата възникват реакции, с определянето на които трябва да започнете да решавате всички проблеми на изчисляването на огъване.
Реакциите на опорите се определят от уравненията на равновесието (статика), които могат да бъдат представени в две различни версии:
1) под формата на сумата от проекциите на всички сили върху оста хИ при, както и сумата от моментите на силите (включително реакциите) спрямо всяка точка по оста на гредата:
2) като сума от всички сили върху една от координатните оси хили прии две суми от моменти на сили (включително реакции) около две точки, лежащи на оста на гредата:
Изборът на един или друг вариант за съставяне на уравнения на равновесие, както и изборът на точки по направлението на координатните оси, използвани при съставянето на тези уравнения, се извършва във всеки конкретен случай по такъв начин, че по възможност съвместно решение от уравненията не се изпълнява. За да проверите правилността на определяне на опорните реакции, се препоръчва да замените техните стойности във всяко уравнение на равновесие, което не е използвано преди.
При определяне на реакциите техните посоки могат да бъдат избрани произволно. Ако реакциите при изчислението се оказаха отрицателни, това означава, че посоката им е избрана неправилно. В този случай на проектната схема първоначалната посока на реакциите е зачертана и е посочена противоположната им посока. При следващите изчисления стойностите на реакцията се приемат за положителни.
Възможно е обаче предварително да се предвиди правилната посока на реакциите въз основа на психически представената еластична линия на гредата, след като тя бъде натоварена от външни сили (фиг. А) реакция Р Аима посока към опората; при "натискане" на гредата в опората (опора IN) реакция Р Бима посока встрани от опората.
Фигура 8.5 - За определяне на посоката на реакциите
Помислете за типични случаи на определяне на реакции за най-простите видове товари.
Ако лъчът се въздейства от интензитета р, както е показано на фиг. 8.6, тогава при определяне на опорните реакции товарът се заменя с неговия резултат Р, равна на произведението от интензивността на натоварването рза дължината на зоната му на действие л
Пример за непрекъснато равномерно разпределено натоварване е собственото тегло на греда или често разположените товари по нейната дължина.
Фигура 8.6 - Случай на равномерно разпределено натоварване върху гредата
Точка на приложение на непрекъснато равномерно разпределено натоварване рлежи в средата на зоната, върху която действа; с триъгълен закон на действие на разпределен товар, резултантната се прилага по протежение на неговия център на тежестта.
Размер на интензивността на натоварването робикновено се изразява в kN/m или kN/cm.
Помислете за последователността на определяне на опорните реакции за случай на натоварване на греда, показана на фиг. 8.7:
1. Приетата посока на реакциите е показана на проектната диаграма на гредата Р АИ Р Бвъзникващи върху опорите. Тъй като външното натоварване действа във вертикална равнина, перпендикулярна на оста на гредата, хоризонталната реакция върху шарнирната опора Аотсъстващ.
2. Тъй като в този случай има две неизвестни реакции ( Р АИ Р Б), тогава две уравнения се приемат като равновесни за определяне на реакциите
При съставянето на тези условия на равновесие трябва да се приеме правилото за знаци за моментите на силите, включително реакциите. Обикновено такова правило се приема за външни (активни) знаци: ако моментите от силите са насочени по посока на часовниковата стрелка, тогава те се считат за положителни.
Тогава първото условие за равновесие (8.4) води до уравнението за неизвестната реакция Р Б(виж фиг.8.6)
Реакцията се оказва положителна, поради което посоката й се приема за правилна.
По подобен начин използваме второто условие за равновесие (8.4), което води до уравнението за втората реакция Р А:
Отново реакцията се оказа положителна, следователно първоначалната й посока в изчислителната схема беше избрана правилно.
3. Проверяваме правилността на определяне на величините на реакциите, като използваме друго, неизползвано преди това условие за равновесие
В този случай проекциите на силите съвпадат с посоката на оста при, се считат за положителни, а насочените в обратната посока - отрицателни.
Тогава, въз основа на използването на условието (8.5), имаме:
Получената идентичност (0=0) показва правилността на определянето на стойностите на реакцията при изчисляването на огъването на лъча.
Помислете за друг типичен случай на натоварване под формата на ексцентрично разположена концентрирана сила Рпо дължината на гредата л(фиг.8.7).
Фигура 8.7 - Случай на натоварване на греда с концентрирана сила
1. Ще покажем на изчислителната схема на реакцията Р АИ Р Б. Те са насочени, както бе споменато по-горе, към товара.
2. Определяме реакциите от условията на равновесие:
Реакциите се оказаха положителни, следователно първоначалната им посока на изчислителната схема беше избрана правилно.
Обърнете внимание в същото време, че реакцията на опората INсе оказа повече от реакцията на подкрепата А: R B ˃R A. Това следва от факта, че силата Ре по-близо до основата IN, и следователно го натоварва повече.
3. Проверете:
Получената идентичност показва правилността на определението на реакцията.
Нека разгледаме още един случай на натоварване на греда в участък от външен концентриран момент (фиг. 8.8), който се извършва при практически изчисления на огъване.
| 𝔐 |
Фигура 8.8 - Случай на натоварване на гредата с концентриран момент
1. Нека покажем на изчислителната схема очакваната посока на реакциите (първоначално не знаем дали тези посоки са взети правилно).
2. Реакциите се определят от уравненията на равновесието:
Реакцията се оказа положителна, следователно първоначалната му позиция беше избрана правилно.
Реакцията се оказа отрицателна, което означава, че нейната посока е избрана неправилно. Следователно на проектната схема зачеркваме първоначално (погрешно) приетата посока Р Аи показват обратната (истинска) посока (вижте Фигура 8.8). При по-нататъшни изчисления вземаме предвид реакцията Р Ас правилната посока на положителното.
3. Проверете:
Уравнението на равновесието, използвано за лъча, е изпълнено, което означава, че реакциите и тяхната посока са правилно определени.
Ако греда при напречно огъване има такива опори, че общият брой реакции, протичащи върху опорите, не надвишава две, тогава реакциите винаги могат да бъдат определени от две уравнения на равновесие от типа (8.2). Такива греди, чиито реакции се определят от тези статични уравнения, се наричат статично детерминирангреди. Тези греди могат да бъдат от най-простите видове (фиг. 8.9):
Фигура 8.9 - Статично дефинирани греди
1) греда с един твърдо закрепен и другия свободен край, в противен случай конзола(фиг.8.9, А); 2) шарнирни греди (фиг. 8.9, bи 8.9, V).
Наричат се греди, в които общият брой опорни реакции е по-голям от броя на уравненията на равновесието статически неопределени(изчисляването на тяхното огъване ще бъде разгледано в раздел 8.10). За такива греди реакциите на опорите се определят от съвместното решение на уравненията на статиката и условията за съвместимост на деформациите.
ПРИМЕРИ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ ПО СТАТИКА
Пример 1Определете реакциите на опорите на хоризонталната греда от даден товар.
дадени:
Диаграма на лъча (фиг. 1).
П= 20 kN, Ж= 10 kN, М= 4 kNm, р= 2 kN/m, а=2 м, b\u003d 3 м, .
___________________________________
АИ IN.
Ориз. 1
Решение:
Помислете за равновесието на гредата AB(фиг. 2).
Към гредата се прилага балансирана система от сили, състояща се от активни сили и сили на реакция.
Активен (дадени) сили:
Двойка сили с момент М, Където
Концентрирана сила, заместваща действието, разпределено по сегмента ACинтензивност на натоварването р.
Стойност
Линията на действие на силата минава през средата на сегмента AC.
сили за реакция (неизвестни сили):
Заменя действието на изхвърлената подвижна панта (подпора А).
Реакцията е перпендикулярна на повърхността, върху която лежат ролките на подвижния шарнир.
Заменете действието на изхвърлената фиксирана панта (подпора IN).
Компоненти на реакцията, чиято посока не е предварително известна.
Схема за проектиране
Ориз. 2
За получената плоска произволна система от сили могат да се съставят три уравнения на равновесие:
Задачата е статично определима, тъй като броят на неизвестните сили (,,) - три - е равен на броя на уравненията на равновесието.
Поставяме координатната система XYточно А, ос БРАВИЛАдиректно по дължината на лъча. За център на моментите на всички сили избираме точката IN.
Съставяме уравненията на равновесието:
Решавайки системата от уравнения, намираме ,,.
След като определихме, намираме големината на силата на реакция на фиксираната панта
За да проверим, правим уравнение
Ако в резултат на заместване на данните от проблема и намерените сили на реакция в дясната страна на това равенство получим нула, тогава проблемът е решен - правилно.
Реакциите са намерени правилно. Неточността се дължи на закръгляване в изчислението.
Отговор:
Пример 2За дадена плоска рамка определете реакциите на опорите.
дадени:
Рамкова схема фиг.3
П= 20 kN, Ж= 10 kN, М= 4 kNm, р= 2 kN/m, а=2 м, b\u003d 3 м, .
______________________________
Определете реакциите на опорите на рамката.
Ориз. 3
Решение:
Помислете за равновесието на твърда рамка И ТЕГЛО(фиг. 4).
Схема за проектиране
Ориз. 4
Системата от сили, приложени към рамката, се състои от активни сили и сили на реакция.
Активни сили:
Двойка сили с момент , , .
, замени действието на разпределен товар върхусегменти VDИ DE.
Линията на действие на силата минава на разстояние от точката IN.
Линията на действие на силата минава през средата на отсечката DE.
Реакционни сили:
Заменя действието на силно прищипване, което ограничава всяко движение на рамката в равнината на чертане.
Към рамката е приложена равнинна произволна система от сили. Можем да напишем три уравнения на равновесие за него:
, , 
Задачата е статистически определима, тъй като броят на неизвестните също е три - , , .
Нека съставим уравненията на равновесието, като изберем точката А за център на моментите, тъй като тя се пресича от най-голям брой неизвестни сили.
Решавайки системата от уравнения, намираме , , .
За да проверим получените резултати, съставяме уравнението на моментите около точката C.
Замествайки всички стойности, получаваме
Реакциите са намерени правилно.
Отговор:
Пример 3. За дадена плоска рамка определете реакциите на опорите.
дадени: версия на проектната схема (фиг. 5);
Р 1 = 8 kN; Р 2 = 10 kN; р= 12 kN/m; М= 16 kNm; л= 0,1 m.
Определете реакциите в опорите АИ IN.
Фиг.5
Решение. Заменяме действието на връзките (подпорите) с реакции. Броят, видът (сила или двойка сили с момент), както и посоката на реакциите зависят от вида на опорите. В равнинната статика за всяка опора поотделно може да се провери кои посоки на движение забранява дадената опора на тялото. Проверете две взаимно перпендикулярни премествания на тялото спрямо референтната точка ( Аили IN) и въртене на тялото в равнината на действие на външни сили спрямо тези точки. Ако изместването е забранено, тогава ще има реакция под формата на сила в тази посока, а ако въртенето е забранено, тогава ще има реакция под формата на двойка сили с момент ( МА или М IN).
Първоначално реакциите могат да бъдат избрани във всяка посока. След определяне на стойността на реакцията знакът плюс ще покаже, че посоката в тази посока е правилна, а знакът минус ще покаже, че правилната посока на реакцията е противоположна на избраната (например не надолу, а нагоре за сила или стрелка по часовниковата стрелка, а не срещу нея за момента на двойка сили).
Въз основа на гореизложеното, реакциите на фиг. 5. Поддържа се Аима две от тях, тъй като опората забранява движението хоризонтално и вертикално и въртенето около точката А- позволява. Момент МНо това не възниква, тъй като тази шарнирна опора не забранява въртенето на тялото около точката А. В точката INедна реакция, тъй като е забранено да се движите само в една посока (по протежение на безтегловния лост BB¢ ).
се заменя с еквивалентната концентрирана сила. Неговата линия на действие минава през центъра на тежестта на диаграмата (за правоъгълна диаграма центърът на тежестта е в пресечната точка на диагоналите, така че силата Qминава през средата на сегмента, засегнат от р). Големината на силата Qравна на площта на парцела, т.е
След това трябва да изберете координатните оси x и y и да разложите всички сили и реакции, които не са успоредни на осите, на компоненти, успоредни на тях, като използвате правилото на паралелограма. Фигура 5 показва силите , ,. В този случай точката на приложение на получения и неговите компоненти трябва да бъде една и съща. Самите компоненти могат да бъдат пропуснати, тъй като техните модули лесно се изразяват чрез резултантния модул и ъгъла с една от осите, които трябва да бъдат посочени или определени от други определени ъгли и показани на диаграмата. Например за сила Р 2 модулът на хоризонталната компонента е , а на вертикалната - .
Сега е възможно да се съставят три уравнения на равновесие и тъй като има и три неизвестни реакции (,,), техните стойности лесно се намират от тези уравнения. Знакът на стойността на реакцията, както беше споменато по-горе, определя правилността на избраните посоки на реакция. За схемата на фиг. 5 проекционни уравнения на всички сили върху оста хИ ги уравненията на моментите на всички сили около точка Аще бъде написана така:
От първото уравнение намираме стойността Р B , след това го заместваме с неговия знак в проекционните уравнения и намираме стойностите на реакциите хА и ПриА.
В заключение отбелязваме, че е удобно да съставим уравнението на моментите по отношение на точката, така че да съдържа едно неизвестно, т.е. така че две други неизвестни реакции да пресичат тази точка. Удобно е да изберете оси, така че по-голям брой сили да са успоредни на осите, което опростява съставянето на проекционни уравнения.
Пример 4За дадена конструкция, състояща се от два счупени пръта, определете реакциите на опорите и налягането в междинната панта СЪС.
дадени:
Схема на проектиране (фиг. 6).
П= 20 kN, Ж= 10 kN, М= 4 kNm, р= 2 kN/m, а=2 м, b\u003d 3 м, .
______________________________________
Определете реакциите на опорите в точки АИ INи натиск в междинната панта СЪС.
Ориз. 6
Решение:
Помислете за баланса на цялата структура (фиг. 7).
Към него са приложени:
активни сили,, двойка сили с момент М, Където
сили за реакция:
, , , ,
Заменете действието на силно щипане;
Замества действието на шарнирната опора А.
Схема за проектиране
Ориз. 7
За получената плоска произволна система от сили можем да съставим три уравнения на равновесие, като броят на неизвестните е четири, , , .
За да стане проблемът статично определен, разчленяваме конструкцията чрез вътрешна връзка - панта СЪСи получаваме още две изчислителни схеми (фиг. 8, фиг. 9).
Ориз. 8фиг. 9
Заменете действието на тялото ACвърху тялото SW, който се предава през пантата СЪС. Тяло SWпредава действието си на тялото ACпрез същата панта СЪС, Ето защо ; , .
За три схеми на проектиране можем да обобщим девет уравнения на равновесие, а броят на неизвестните е шест , , , , , , т.е. проблемът е станал статично детерминиран. За да разрешим проблема, използваме Фиг. 8, 9 и фиг. 7 ще бъдат оставени за проверка.
Тяло слънце(фиг. 8)
Тяло SA(фиг. 9)
4)
5) 
6) 
Решаваме система от шест уравнения с шест неизвестни.
Преглед:
Реакциите на външни опори в точки A и B са намерени правилно. Налягането в пантата C се изчислява по формулата
Отговор:
, , 
, ,
Минусите означават, че посоките трябва да се обърнат.
Пример 5Дизайнът се състои от две части. Определете при какъв метод на свързване на частите на конструкцията модулът на реакцията е най-малък и за този вариант на свързване определете реакциите на опорите, както и връзките СЪС.
дадени:= 9 kN; = 12 kN; = 26 kNm; = 4 kN/m.
Проектната схема е показана на фиг.10.
Фиг.10
Решение:
1) Определяне на реакцията на опора А с шарнирна връзка в точка С.
Помислете за система от балансиращи сили, приложени към цялата конструкция (фиг. 11). Нека съставим уравнението на моментите на силите спрямо точката б.
Фиг.11
където kN.
След заместване на данни и изчисления, уравнение (26) приема формата:
(2)
Получаваме второто уравнение с неизвестни, като разглеждаме системата от балансиращи сили, приложени към частта от конструкцията, разположена вляво от пантата СЪС(фиг. 12):
Ориз. 12
От тук намираме това
kN.
Замествайки намерената стойност в уравнение (2), намираме стойността:
Модул на реакция на опора А с шарнирно свързване в точка СЪСравно на:
2) Изчислителна схема при свързване на части от конструкцията в точка С с плъзгащо уплътнение, показано на фиг. 13.
Ориз. 13
Силовите системи, показани на фиг. 12 и 13 не се различават един от друг. Следователно уравнение (2) остава валидно. За да получите второто уравнение, разгледайте система от балансиращи сили, приложени към частта от конструкцията, разположена отляво на плъзгащото се уплътнение C (фиг. 14).
Ориз. 14
Нека съставим уравнение на равновесие:
и от уравнение (2) намираме:
Следователно модулът на реакция за плъзгащо се уплътнение в пантата C е равен на:
Така че, когато се свързва в точка С с плъзгащо се уплътнение, модулът на реакция на опора А е по-малък, отколкото при шарнирно свързване ().
Нека намерим компонентите на реакцията на опората B и плъзгащата се вграждане.
За лявата страна от C
,
Компонентите на реакцията на опората B и момента в плъзгащото се вграждане ще бъдат намерени от уравненията за равновесие, съставени за дясната страна на конструкцията от C.
kN
Отговор: Резултатите от изчислението са показани в таблицата.
|
Момент, kNm |
|||||||
|
X А |
У А |
Р А |
X C |
XB |
Y B |
М С |
|
|
За веригата на фиг. 11 |
18,4 |
19,9 |
|||||
|
За веригата на фиг. 13 |
14,36 |
11,09 |
17,35 |
28,8 |
28,8 |
12,0 |
17,2 |
Пример 6
Дадено е: вариант на проектната схема (фиг. 15).
Р 1 = 14 kN; Р 2 = 8 kN; р= 10 kN/m; М= 6 kNm; AB= 0,5 m; слънце= 0,4 m; CD= 0,8 m; DE= 0,3 m; EF= 0,6 m.
Определете реакциите в опорите АИ Е.
Решение. Използвайки препоръките на пример 3, подреждаме реакциите в опорите. Те са четири (, , , ). Тъй като в равнинната статика за едно тяло могат да се съставят само три уравнения на равновесие, за определяне на реакциите е необходимо конструкцията да се раздели на отделни твърди тела, така че броят на уравненията и неизвестните да съвпадат. В този случай тя може да бъде разделена на две тела ABCдИ DEF. В същото време, на мястото на разделяне, т.е дза всяко от двете тела се появяват допълнителни реакции, определени от вида, броя и посоката по същия начин, както при точките АИ Е. Освен това, според третия закон на Нютон, те са еднакви по стойност и противоположно насочени за всяко от телата. Следователно те могат да бъдат обозначени със същите букви (виж фиг. 16).
Ориз. 15
Освен това, както в пример 3, заместваме разпределеното натоварване рконцентрирана сила и намерете нейния модул. След това избираме координатните оси и очертаваме всички сили на фиг. 15 и 16 на компоненти, успоредни на осите. След това съставяме уравненията на равновесието за всяко от телата. Има общо шест от тях и също има шест неизвестни реакции (, , , , , ), така че системата от уравнения има решение и можете да намерите модулите, като вземете предвид знака на модула и правилния посока на тези реакции (виж пример 3).
Ориз. 16.Разделяне на структура на две тела в една точка д, т.е. в точката на свързването им с плъзгащо уплътнение (при него не се отчита триенето)
Препоръчително е да изберете последователността на съставяне на уравнения по такъв начин, че от всяко следващо да е възможно да се определи една от желаните реакции. В нашия случай е удобно да започнем с тялото DEF, тъй като имаме по-малко неизвестни за него. Първо правим уравнението на проекциите върху оста Х,от които намираме РЕ. След това съставяме уравненията на проекциите върху осите прии намери Y D и след това уравнението на моментите около точка Еи дефинирайте МД. След това преминаваме към тялото. ABCD. За него можете първо да напишете уравненията на моментите около точката Аи намери М A, а след това последователно от уравненията на проекциите върху оста, за да намерите ха , YА. За второто тяло е необходимо да се вземат предвид неговите реакции YД, М D , като ги вземем от фиг.16, но стойностите на тези реакции вече ще бъдат известни от уравненията за първото тяло.
В този случай стойностите на всички предварително определени реакции се заместват в следващите уравнения с техния знак. Така уравненията ще бъдат записани, както следва:
за тяло DEF
за тяло ABCD
В някои изпълнения, коефициентът на триене е даден в някакъв момент, например. Това означава, че в този момент е необходимо да се вземе предвид силата на триене , където нА е реакцията на самолета в тази точка. Когато конструкцията се раздели в точка, където се взема предвид силата на триене, всяко от двете тела се влияе от собствената си сила на триене и реакцията на равнината (повърхността). Те са по двойки противоположно насочени и еднакви по стойност (както и реакциите на фиг. 16).
реакция нвинаги перпендикулярна на равнината на възможно плъзгане на тела или допирателна към повърхности в точката на плъзгане, ако там няма равнина. Силата на триене е насочена по тази допирателна или по равнината срещу скоростта на възможното плъзгане. Горната формула за силата на триене е валидна за случая на гранично равновесие, когато приплъзването е на път да започне (в случай на негранично равновесие силата на триене е по-малка от тази стойност и нейната стойност се определя от уравненията на равновесието) . Така в опциите за задаване на гранично равновесие, като се вземе предвид силата на триене, трябва да се добави още едно уравнение към уравненията на равновесието за едно от телата. Когато съпротивлението при търкаляне е взето предвид и е даден коефициентът на съпротивление при търкаляне, се добавят уравнения за баланс на колелата (фиг. 17).
В крайно равновесие
Фиг.17
От последните уравнения, знаейки G , ,R,може да се намери Н,Е tr, Tда започне да се търкаля, без да се подхлъзне.
В заключение отбелязваме, че разделянето на структурата на отделни тела се извършва на мястото (точката), където се извършва най-малък брой реакции. Често това е безтегловен кабел или безтегловен ненатоварен лост с панти в краищата, които свързват две тела (фиг. 18).
Ориз. 18
Пример 7. твърда рамка ABCD(фиг. 19) има в точката Афиксирана опора на пантите Ав точката b- подвижна шарнирна опора на ролките. Всички действащи натоварвания и размери са показани на фигурата.
дадени: Е=25 kN, =60º , Р=18 kN, =75º , М= 50 kNm, = 30° а= 0,5 м
Определете: реакции в точки АИ IN , причинени от експлоатационни натоварвания.
Ориз. 19
Упътвания.Задачата е да се уравновеси тялото под действието на произволна плоска система от сили. Когато го решавате, вземете предвид, че напреженията на двата клона на нишката, хвърлени върху блока, когато се пренебрегне триенето, ще бъдат еднакви. Моментното уравнение ще бъде по-просто (съдържа по-малко неизвестни), ако уравнението е написано спрямо точката, където линиите на действие на две реакции на връзката се пресичат. При изчисляване на момента на силатаЕ често е удобно да се разложи на компоненти Е' И Е”, за които рамената се определят лесно и използвайте теоремата на Varignon; Тогава
Решение. 1. Помислете за равновесието на плочата. Начертайте координатни оси хуи изобразяват силите, действащи върху плочата: силата , няколко сили с момент М,напрежение на кабела (по модул T = R)и реакции на свързване (реакцията на фиксирана шарнирна опора Апредставляват двата му компонента, реакцията на шарнирната опора върху ролките е насочена перпендикулярно на базовата равнина).
2. За получената плоска система от сили ще съставим три уравнения на равновесие. При изчисляване на момента на силата спрямо точка Аизползваме теоремата на Вариньон, т.е. разширете компонентите на silun F΄ ,F ˝ (, )и вземете предвид, че според теоремата на Вариньон: Получаваме:
Чрез заместване на числените стойности на дадените количества в съставените уравнения и решаване на тези уравнения, ние определяме желаните реакции.
Отговор: X=-8,5kN; Y=-23,3 kN; R= 7,3kN. Знаците показват, че силите X АИ У Анасочена противоположно на силите, показани на фиг. 19.
Пример 8Твърдата рамка A BCD (фиг. 20) има фиксирана шарнирна опора в точка A, а точка D е прикрепена към безтегловен прът. В точка C към рамката е вързан кабел, преметнат върху блок и носещ товар в края с тегло P = 20 kN. Двойка сили с момент M = 75 kNm и две сили F 1 = 10 kN и F 2 = 20 kN действат върху рамката, сключвайки ъгли с прътите на рамката = 30 0 и = 60 0, съответно. Когато определяте размерите на рамката, вземете а=0,2м . Определете реакциите на свързване в точки A и D, причинени от действието на товара.
дадени: P = 20 kN, M = 75 kNm, F 1 = 10 kN, F 2 = 20 kN, = 30 0, = 60 0, = 60 0, а = 0,2 м.
Определете: X A, Y A, R D.
Ориз. 20
Упътвания.Задачата е да се уравновеси тялото под действието на произволна плоска система от сили. При решаването му трябва да се има предвид, че напреженията на двата клона на нишката, хвърлени върху блока, когато се пренебрегне триенето, ще бъдат еднакви. Моментното уравнение ще бъде по-просто (съдържа по-малко неизвестни), ако вземем моментите около точката, където линиите на действие на двете реакции на връзката се пресичат. При изчисляване на момента на силата често е удобно да се разложи на компоненти И , за които рамената се определят лесно и използвайте теоремата на Varignon; Тогава
Решение.
1. Помислете за баланса на рамката. Начертайте координатни оси x, yи изобразяват силите, действащи върху рамката: сили и , двойка сили с момент M, напрежение на кабела (модул T \u003d P) и реакцията на връзките (реакцията на фиксираната опора на пантата Априсъства под формата на компоненти; опората на пръта предотвратява движението на t.D на рамката в посоката на пръта, така че реакцията на опората ще действа в същата посока).
2. Съставете уравненията на равновесието на рамката. За равновесието на произволна равнинна система от сили е достатъчно сумата от проекциите на всички сили върху всяка от двете координатни оси и алгебричната сума на моментите на всички сили спрямо всяка точка от равнината да са равни на нула.
При изчисляване на моментите на силите и спрямо точката Аизползваме теоремата на Вариньон, т.е. разлагаме силите на компоненти , ; , 
и вземете предвид, че.
Получаваме:
Чрез заместване на числените стойности на дадените количества в съставените уравнения и решаване на тези уравнения, ние определяме желаните реакции.
От уравнение (3) определяме R D =172,68 kN.
От уравнение (1) определяме X A = -195,52 kN.
От уравнение (2) определяме U A \u003d -81,34 kN.
Знаците "-" при стойностите X A и Y A означават, че истинската посока на тези реакции е противоположна на тази, посочена на фигурата.
Да проверим.
тъй като , тогава реакциите на опорите се намират правилно.
Отговор: X A \u003d -195,52 kN, Y A = -81,34 kN, R D \u003d 172,68 kN.
Пример 9Дизайнът (фиг. 21) се състои от твърд квадрат и прът, които в точка С свободно лежат един върху друг. Външните връзки, наложени върху конструкцията са: в точка А - твърдо закрепване, в точка Б - панта. Конструкцията се влияе от: двойка сили с момент M = 80 kN m, равномерно разпределен интензивен товар р=10 kN/m и сили: =15 kN и =25kN. Когато определяте размерите на конструкцията, вземете А\u003d 0,35 м. Определете реакциите на връзките в точки A, B и C.
дадени: M = 80 kN · m, р\u003d 10 kN / m, F 1 \u003d 15 kN, F 2 \u003d 25 kN, А=0,35 m.
Определете: R A, M A, R B, R C.
Упътвания.Задачата е да се уравновеси системата от тела под действието на плоска система от сили. Когато го решавате, можете или да разгледате първо баланса на цялата система, а след това баланса на едно от телата на системата, изобразявайки го отделно, или можете веднага да разчлените системата и да разгледате баланса на всяко от телата поотделно , като се вземе предвид закона за равенство на действието и реакцията. В задачи, където има твърдо прекъсване, трябва да се има предвид, че неговата реакция е представена от сила, чийто модул и посока са неизвестни, и двойка сили, чийто момент също е неизвестен.
Решение.
V Ние го изпълняваме в съответствие с горния метод.
1. В тази задача изучаваме равновесието на система, състояща се от твърд квадрат и прът.
2. Изберете координатната система HAU (вижте Фиг. 21).
3. Активните натоварвания на тази система са: разпределен интензитет на натоварване р, , и момент М.
Фиг.21
Нека изобразим очакваните реакции на връзките на чертежа. Тъй като твърдо вграждане (в разрез А) предотвратява движението на тази част от пръта по посоките хИ При, както и въртенето на пръта около точката А, то в този раздел, в резултат на действието на вграждането върху пръта, реакциите , , . Точка на вътрене INпредотвратява движението на дадената точка на пръта по направленията хИ При. Следователно, в точката INима реакции и . В точка С на опората на пръта върху квадрата възниква реакцията на действието на квадрата върху пръта и реакцията на действието на пръта върху квадрата. Тези реакции са насочени перпендикулярно на равнината на квадрата и R C = R ¢ C (според закона за равенство на действието и реакцията).
1. Решаваме проблема чрез метода на разчленяване. Помислете първо за равновесието на пръта слънце(фиг. 21, b). Върху пръта действат реакции на връзки , , , сила и момент. За получената плоска система от сили могат да се съставят три уравнения на равновесие, докато сумата от моментите на външните сили и реакциите на връзката е по-удобна за разглеждане спрямо точка B:
;
;(1)
;
; (2)
От уравнение (3) получаваме: R ° С =132,38 kN.
От уравнение (1) получаваме: Х В = -12,99 kN.
От уравнение (2) получаваме: Y B = -139,88 kN.
Реакция на шарнира в точка B:
Сега разгледайте равновесието на квадрат CA (фиг. 21, V). Квадратът се влияе от: реакции на връзка, сила р. Имайте предвид, че R / C = R C = 132,38 kN. За дадена плоска система от сили могат да се съставят три уравнения на равновесие, докато сумата от моментите на силите ще се разглежда спрямо точката C:
;
;(4)
От уравнение (4) получаваме: X A = 17,75 kN.
От уравнение (5) получаваме: Y A \u003d -143,13 kN.
От уравнение (6) получаваме: M A = -91,53 kNm.
Проблема решен.
И сега, за ясно доказателство за важността на правилния избор на точката, спрямо която се съставя уравнението на моментите, намираме сумата от моментите на всички сили спрямо точка А (фиг. 21, V):
От това уравнение е лесно да се определи M A:
M A = -91,53 kNm.
Разбира се, уравнение (6) дава същата стойност на M A като уравнение (7), но уравнение (7) е по-кратко и не включва неизвестни реакции X A и Y A, следователно е по-удобно да се използва.
Отговор: R A = 144,22 kN, M A = -91,53 kNm, R B = 140,48 kN, R C = R ¢ C = 132,38 kN.
Пример 10. На площада ABC(), край Акойто е твърдо вграден, в точката СЪСнаклонен прът DE(фиг. 22, А). Пръчката има връхдфиксирана шарнирна опора и към нея се прилага сила, а към квадрата - равномерно разпределени в сайтари двойка с момент М.
Ориз. 22
Д а н о:Е=10 kN, М=5 kNm, q = 20 kN/m, А=0,2 м.
Определете:реакции в точки А , СЪС, дпричинени от дадени натоварвания.
Упътвания.Задачата е да се уравновеси системата от тела под действието на плоска система от сили. Когато го решавате, можете или да разгледате първо баланса на цялата система като цяло, а след това баланса на едно от телата на системата, изобразявайки го отделно, или веднага да разчлените системата и да разгледате баланса на всяко от телата отделно, като се вземе предвид закона за равенство на действието и реакцията. В задачи, където има твърдо прекъсване, вземете под внимание, че неговата реакция е представена от сила, чийто модул и посока са неизвестни, и двойка сили, чийто момент също е неизвестен.
Решение. 1. За да определим реакциите, правим дисекция на системата и първо разглеждаме равновесието на пръта DE(фиг. 22, b). Начертайте координатни оси XYи изобразяват силите, действащи върху пръта: сила , реакция, насочена перпендикулярно на пръта и компонентите и реакциите на шарнира д. За получената плоска система от сили съставяме три уравнения на равновесие:
,;( 1)
Решение
2 . При терминирането може да възникне реакция, представена от две: компоненти (Р да,Р брадва), и реактивен момент М A . Начертаваме възможните посоки на реакции върху диаграмата на лъча.
Коментирайте.Ако посоките са избрани неправилно, при изчисленията получаваме отрицателни стойности на реакциите. В този случай реакциите в диаграмата трябва да бъдат насочени в обратна посока, без да се повтаря изчислението.
Поради ниската височина,че всички точки на лъча са на една и съща права линия; и трите неизвестни реакции са прикрепени в една точка. За да го решите, е удобно да използвате системата от уравнения на равновесие в първата форма. Всяко уравнение ще съдържа едно неизвестно.
3. Използваме системата от уравнения:
Знаците на получените реакции са (+), следователно посоките на реакциите са избрани правилно.
3 . За да проверим правилността на решението, съставяме уравнението на моментите около точка B.
Заменяме стойностите на получените реакции:
Решението е взето правилно.
Пример 2Двойна греда с шарнирни опори АИ INзаредени с концентрирана сила Е,разпределено натоварване с интензивност ри няколко сили с момент T(фиг. 6.8а). Определете реакциите на опорите.
Упражнение
Дадена е хоризонтална двуопорна греда. Гредата е натоварена с активни сили: концентрирана Е, разпределени по интензитета на силата ри няколко сили с момент М(Таблица 2.1 и Фигура 2.6).
Цел на работата – изградете изчислителна схема на гредата, съставете уравненията за равновесие на гредата, определете реакциите на нейните опори и идентифицирайте най-натоварената опора.
Теоретична обосновка
В много машини и конструкции има конструктивни елементи, предназначени основно да поемат товари, насочени перпендикулярно на тяхната ос. Проектните схеми на такива елементи (валове, части от метална конструкция и др.) Могат да бъдат представени с лъч. Гредите имат опорни устройства за предаване на сили и взаимодействие с други елементи.
Основните видове опори за греди са шарнирно-подвижни, шарнирно-фиксирани опори и твърдо вграждане.
Шарнирно - подвижна опора (фиг. 2.1, а) позволява на гредата да се върти около оста на шарнира и линейно движение за малко разстояние, успоредно на референтната равнина. Точката на приложение на опорната реакция е центърът на шарнира. Посоката на реакцията R е перпендикулярна на опорната повърхност.
Шарнирно фиксирана опора (фиг. 2.1.6) позволява само въртенето на гредата около оста на шарнира. Точката на приложение също е центърът на пантата. Тук посоката на реакцията е неизвестна, тя зависи от натоварването, приложено върху гредата. Следователно за такава опора се определят две неизвестни - взаимно перпендикулярни компоненти R x и R y на опорната реакция.
Твърдото уплътнение (прищипване) (фиг. 2.1, c) не позволява нито линейно движение, нито въртене. В този случай неизвестните са не само стойността, но и нейната точка на приложение. По този начин, за да се определи опорната реакция, е необходимо да се намерят три неизвестни: компонентите R x и R y по координатните оси и реактивният момент MR спрямо центъра на тежестта на опорната част на гредата.
A B C
Фиг.2.1
Равновесието на греда под действието на всяка система от дадени сили, разположени в една и съща равнина, може да се осигури от едно твърдо закрепване или две опори - подвижна и неподвижна. Гредите се наричат съответно конзолни (фиг. 2.2, а) или две опори (фиг. 2.2, б)
Фиг.2.2
Върху гредата действат зададените сили и двойки сили. Силите според начина на приложение се разделят на разпределени и концентрирани. Разпределените натоварвания са зададени интензивно q, N/m и дължина 1, m. Равномерно разпределените натоварвания са условно изобразени като правоъгълник, в който успоредни стрелки показват в каква посока действа натоварването (фиг. 2.3). В задачите на статиката равномерно разпределеното натоварване може да бъде заменено с резултантна концентрирана сила Q, числено равна на продукта q * 1, приложена в средата на дължината и насочена към действието q.
Фиг.2.3 2.4
Концентрираните натоварвания се прилагат върху относително малка дължина, така че се считат за приложени в точка. Ако концентрираната сила се прилага под ъгъл към гредата, тогава за определяне на реакцията на опорите е удобно да се разложи на два компонента - F x = Fcos α и F y = F sin α (фиг. 2.4).
Реакциите на опорите на гредата се определят от условията на равновесие на плоска система от произволно разположени сили. За плоска система могат да се формулират три независими условия на равновесие:
∑ F ix = 0; ∑F iy = 0; ∑M io = 0 или
∑M ia = 0; ∑MiB = 0; ∑M iC = 0 или ) (2.1)
∑M iA = 0; ∑MiB = 0; ∑Fix = 0.
Където O, A, B, C са центровете на моментите.
Рационално е да се изберат такива равновесни уравнения, всяко от които да включва една неизвестна реакция.
Работен ред
1. В съответствие със задачата изобразете гредата и действащите дадени сили.
Изберете местоположение на координатните оси: подравнете ос хс греда и оста придиректен перпендикуляр на оста Х.
1. Направете необходимите трансформации: заменете силата, наклонена към оста на гредата под ъгъл a, с две взаимно перпендикулярни компоненти и заменете равномерно разпределения товар с неговия резултат.
2. Освободете гредата от опорите, като замените тяхното действие с реакциите на опорите, насочени по координатните оси.
3. Съставете уравненията на равновесието за гредата така, че решението на всяко от трите уравнения да е определяне на една от неизвестните реакции на опорите.
4. Проверете правилността на определяне на реакциите на опорите според уравнението, което не е използвано за решаване на задачите.
5. Направете заключение за най-натоварената опора.
6. Отговорете на въпроси за сигурност.
Контролни въпроси
1. Колко независими уравнения на равновесие могат да бъдат съставени за плоска система от успоредни сили?
2. Какви компоненти на реакцията на опорите на гредата се срещат в шарнирно - подвижни, шарнирно - фиксирани опори и твърди закрепвания?
3. Коя точка трябва да се избере за център на момента при определяне на реакциите на опорите?
4. Коя система е статически неопределена?
Пример за изпълнение
1.Задача:
q = 5 H/m, F = 25 H, M = 2 H*m, α = 60°
2. Преобразуване на дадени сили:
F x = F cos α = 25cos 60° = 12.500H, F y = F sinα = 25 sin60° = 21.625H
Q \u003d q * 1 \u003d 5 * 6 \u003d 30 H.
Фиг.2.5
3. Да направим изчислителна схема (фиг. 2.5)
4. Равновесни уравнения и дефиниране на реакциите на опорите:
а) ∑Mia = 0; -Q *3 – F y * 7,5+ R B * 8,5 – M = 0;
b) ∑M iB =0: - R Ay *8,5 + Q *5,5 + F y *1 - M = 0:
в) ∑F ix =0: R Ax + F x =0: R Ax = - F x = - 12,500H.
5.Проверете:
∑F iy = 0; R Ay \u003d Q - F y + R B \u003d 0; 21,724 - 30 - 21,651 + 29,927 = 0; 0 = 0
Най-натоварената е опора B - R B \u003d 29.927 N. Натоварване върху опора A - R A \u003d
Литература:
Таблица 2.1
| номер на опцията | Схема № на фиг. 2.6 | q, N/m | Ф, Н | M, N m | , град |
| 4,5 | |||||
| 2,5 | |||||
| 4,5 | |||||
| 3,5 | |||||
| 6,5 | |||||
| 1,5 | |||||
| 0,5 | |||||
Решаването на много проблеми на статиката се свежда до определяне на реакциите на опорите, с помощта на които са фиксирани греди и мостови ферми.
В инженерството обикновено има три вида опорни закрепвания (с изключение на тези, разгледани в § 2):
1. Подвижна шарнирна опора (фиг. 28, опора A). Реакцията на такава опора е насочена по нормата към повърхността, върху която лежат ролките на подвижната опора.
2. Фиксирана шарнирна опора (фиг. 28, опора B). реакция 
такава опора минава през оста на шарнира и може да има произволна посока в равнината на чертежа. При решаване на проблеми ние ще реагираме 
го представят като част 
И 
по посоките на координатните оси. Модул 
дефинирайте по формулата 
.
3. Твърдо завършване (фиг. 29, а). Като се има предвид запечатаният край на гредата и стената като цяло, е изобразено твърдо уплътнение, както е показано на фиг. 29, б. В този случай система от разпределени сили (реакции) действа върху гредата в нейното напречно сечение от страната на вградения край. Разглеждайки тези сили като намалени до центъра А на сечението, те могат да бъдат заменени с една сила 
и двойка с неизвестен момент m A (фиг. 29, а). Сила 
могат да бъдат представени чрез неговите компоненти 
,
(Фиг. 29, b).
По този начин, за да се намери реакцията на твърдо прекъсване, е необходимо да се определят три неизвестни величини X A , Y A , m A .
Ориз. 28 Фиг. 29
Също така отбелязваме, че при инженерните изчисления често се срещат товари, разпределени по повърхността според един или друг закон. Разгледайте някои примери за разпределени сили.
Плоска система от разпределени сили се характеризира със своя интензитет q, т.е. стойността на силата на единица дължина на натоварения сегмент. Интензитетът се измерва в нютони, разделени на метри (N/m).
а) Силите, равномерно разпределени по права линия (фиг. 30, а). За такава система интензитетът q има постоянна стойност. При изчисленията тази система от сили може да бъде заменена с резултатната 
. Модуло
Q= а q . (33)
В средата на сегмент AB е приложена сила Q.
б) Силите, разпределени по права линия по линеен закон (фиг. 30, б). За тези сили интензитетът q е променлива, която нараства от нула до максимална стойност q m . Резултатен модул 
в този случай се определя по формулата
Q=0,5 а q m . (34)
Приложена сила 
на разстояние А/3 от страна BC на триъгълник ABC.
Задача 3. Определете реакциите на неподвижната шарнирна опора A и подвижната опора B на гредата (фиг. 31), върху която действат активни сили: една известна концентрирана сила F \u003d 5 kN, приложена в точка C под ъгъл от 60 0, а една двойка сили с момент m = 8 kNm.
, двойка сили с момент m и реакциите на връзките 
,
,
(реакцията на неподвижната шарнирна опора А е представена от нейните два компонента). В резултат на това имаме произволна плоска система от сили. 3) Нека начертаем координатните оси x, y и съставим условията на равновесие (28). За изчисляване на момента на силата 
, понякога е удобно да се разложи на компоненти 
И 
, чиито модули са F 1 = F cos60 0 = 2,5 kN, F 2 = F cos30 0 = 4,33 kN. Тогава получаваме:
,
,
Решавайки тази система от уравнения, намираме:
X A = F 1 = 2,5 kN, Y B = (m + F 2 ∙ 5) / 3 = 9,88 kN, Y A = F 2 - Y B = - 5,55 kN.
Знакът минус на реакцията Y A показва, че тази реакция е насочена вертикално надолу.
За да проверим, нека съставим уравнение на моментите спрямо новия център, например спрямо точка B:
5,55∙3 – 8 – 4,33∙2 = – 0,01 ≈ 0.
Задача 4. Определете реакцията на закрепване на конзолната греда (фиг. 32), върху която действат активни сили: концентрирана сила F = 6 kN, приложена в точка C под ъгъл 45 0, равномерно разпределен товар с интензитет q = 2 kN / m и двойка сили с въртящ момент m = 3 kNm.
Решение. 1) Избираме обекта на изследване, т.е. разгледайте равновесието на лъча ABC. 2) Нека изобразим външните сили, действащи върху гредата: сила 
, равномерно разпределен товар с интензитет q, двойка сили с момент m и реакции на прекратяване, т.е. три неизвестни величини X A , Y A , m A (реакцията на твърдо прекъсване е представена от нейните два компонента X A , Y A , а двойката е представена от неизвестния момент m A , както на фиг. 29). Сила 
разбийте го на два компонента 
И 
, чиито модули са равни на F 1 \u003d F 2 \u003d F cos45 0 \u003d 4,24 kN, и заместваме разпределеното натоварване с интензитет q с концентрираната сила 
с модул равен на
Q = 3∙q = 6 kN.
Сила 
приложен в средата на сегмент AB. В резултат на това имаме произволна плоска система от сили. 3) Начертайте координатните оси x, y и съставете уравненията на равновесието (2):
,
,
Решавайки тези уравнения, намираме:
X A = F 1 = 4,24 kN, Y A = Q - F 2 = 1,76 kN, m A = Q ∙ 1,5 + m - F 2 ∙ 5 = - 9,2 kNm.
За да проверим, съставяме уравнението на моментите около точка C:
, – 9,2 + 21 – 3 – 8,8 = 0.
Задача 5. Определете реакциите на опорите A, B, C и силата в междинната панта D на композитната конструкция (фиг. 33), върху която действат активни сили: концентрирана сила F \u003d 4 kN, приложена в точка E при ъгъл 45 0, равномерно разпределен интензитет на натоварване q = 2 kN/m и двойка сили с момент m = 10 kNm.
Решение. Един от начините за решаване на проблемите за определяне на реакцията на опорите на композитна конструкция е, че конструкцията е разделена на отделни тела и условията на равновесие за всяко от телата са направени отделно. Нека използваме този метод и разделим конструкцията на две части: лявата AD и дясната DC. В резултат на това стигаме до проблема за равновесието на две тела. Силовите вериги на проблема са показани на фиг. 7.8. За да опростим изчисленията, разширяваме силата 
на компоненти 
И 
, чиито модули са равни на F 1 = F 2 = F cos45 0 = 2,83 kN, и ще заменим разпределеното натоварване с интензитет q с концентрираната сила 
с модул равен на Q = 10 kN. Сила 
прилага се в средата на сегмент BD.
Ориз. 34 Фиг. 35
Анализът на горните силови вериги показва, че те включват шест неизвестни величини: X A, Y A, Y B, X D, Y D, Y C.
Тъй като на фиг. 34,35 има плоски системи от балансирани сили, тогава условията на равновесие (28) могат да бъдат записани за тях под формата на шест линейни алгебрични уравнения:
Лява страна Дясна страна
,
,
,
,
Тъй като съставената система от шест уравнения зависи от шест неизвестни X A , Y A , Y B , X D , Y D , Y C , тогава тя е затворена.
Решавайки системата, намираме:
X A = – 2,83 kN, Y A = – 0,93 kN, Y B = 11,76 kN, Y C = 2 kN, X D = 0, Y D = 2 kN.
За да проверим, съставяме уравнението на моментите около точка D:
2,83∙7 – (– 0,93)∙15 – 11,76∙5 + 10∙2,5 – 10 + 2∙5 = – 0,04 ≈ 0.