Wszystko o tuningu samochodów

Najmniejsza wspólna wielokrotność 2. Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb. Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb


Przedstawiony poniżej materiał jest logiczną kontynuacją teorii z artykułu pod nagłówkiem LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, związek między LCM a GCD. Tutaj porozmawiamy znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) i zwróć szczególną uwagę na rozwiązywanie przykładów. Najpierw pokażmy, w jaki sposób LCM dwóch liczb jest obliczany w kategoriach NWD tych liczb. Następnie rozważ znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczanie LCM liczb ujemnych.

Nawigacja po stronach.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest związek między LCM a GCD. Istniejąca zależność między LCM a NWD pozwala obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych przez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła ma postać LCM(a, b)=a b: NWD(a, b) . Rozważ przykłady znalezienia LCM zgodnie z powyższym wzorem.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70 .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a=126 , b=70 . Wykorzystajmy zależność między LCM a NWD wyrażoną wzorem LCM(a, b)=a b: NWD(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb zgodnie z zapisanym wzorem.

Znajdź gcd(126, 70) używając algorytmu Euclida: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , stąd gcd(126, 70)=14 .

Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630.

Odpowiadać:

LCM(126,70)=630.

Przykład.

Co to jest LCM(68, 34)?

Rozwiązanie.

Dlatego 68 jest podzielne przez 34 , to gcd(68, 34)=34 . Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LKM(68, 34)=68 34: LKM(68, 34)= 68 34:34=68.

Odpowiadać:

LCM(68,34)=68.

Zauważ, że poprzedni przykład pasuje do następującej zasady znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych aib : jeśli liczba a jest podzielna przez b , najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a .

Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli zrobimy iloczyn wszystkich czynników pierwszych tych liczb, po czym wykluczymy z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze, które są obecne w rozwinięciach tych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb.

Ogłoszona zasada znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b: NWD(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb a i b jest równy iloczynowi wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia liczb a i b. Z kolei nwd(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w rozwinięciach liczb a i b (co jest opisane w rozdziale dotyczącym znajdowania gcd przy użyciu rozkładu liczb na czynniki pierwsze ).

Weźmy przykład. Wiedzmy, że 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Skomponuj iloczyn wszystkich czynników tych rozszerzeń: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz wykluczamy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które są obecne zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak iw rozwinięciu liczby 210 (takie czynniki to 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2 3 5 5 7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 75 i 210, czyli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Przykład.

Po rozłożeniu liczb 441 i 700 na czynniki pierwsze, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

Otrzymujemy 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Teraz zróbmy iloczyn wszystkich czynników związanych z rozwinięciami tych liczb: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik - jest to liczba 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . W ten sposób, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odpowiadać:

LCM(441,700)=44100.

Nieco inaczej można sformułować zasadę znajdowania LCM za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Jeżeli do czynników z rozwinięcia liczby b dodamy brakujące czynniki z rozwinięcia liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

Na przykład weźmy te same liczby 75 i 210, ich rozwinięcia na czynniki pierwsze są następujące: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Do czynników 3, 5 i 5 z rozkładu liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozkładu liczby 210, otrzymujemy iloczyn 2 3 5 5 7 , którego wartość to LCM(75 , 210).

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Do czynników 2 , 2 , 3 i 7 z rozkładu liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i 3 z rozkładu liczby 648 , otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7 , co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648 wynosi 4536.

Odpowiadać:

LCM(84,648)=4 536.

Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, kolejno znajdując LCM dwóch liczb. Przypomnij sobie odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

Twierdzenie.

Niech zostaną podane liczby całkowite dodatnie a 1 , a 2 , …, a k, najmniej wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona w obliczeniu sekwencyjnym m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Rozważ zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

Przykład.

Znajdź LCM czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie 1 =140 , 2 =9 , 3 =54 , 4 =250 .

Najpierw znajdujemy m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby to zrobić, używając algorytmu Euklidesa, wyznaczamy gcd(140,9) , mamy 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , zatem gcd( 140, 9)=1 , skąd LKM(140, 9)=140 9: LKM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Czyli m 2 =1 260 .

Teraz znajdujemy m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Obliczmy to za pomocą gcd(1 260, 54) , które jest również określone przez algorytm Euklidesa: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Wtedy gcd(1 260, 54)=18 , skąd LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd (1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Oznacza to, że m 3 \u003d 3 780.

Pozostało do znalezienia m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy GCD(3 780, 250) za pomocą algorytmu Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dlatego gcd(3 780, 250)=10 , skąd gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3780 250:10=94 500 . Oznacza to, że m 4 \u003d 94 500.

Tak więc najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb to 94500.

Odpowiadać:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94500.

W wielu przypadkach najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można wygodnie znaleźć za pomocą faktoryzacji liczb pierwszych. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się w następujący sposób: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodawane są do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia liczby pierwszej trzecia liczba jest dodawana do uzyskanych współczynników i tak dalej.

Rozważ przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozwinięcia tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 czynników pierwszych) i 143=11 13 .

Aby znaleźć LCM tych liczb, do czynników pierwszej liczby 84 (są to 2 , 2 , 3 i 7 ) należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6 . Rozwinięcie liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozwinięciu pierwszej liczby 84 . Oprócz czynników 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 , otrzymujemy zestaw czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 . Nie ma potrzeby dodawania czynników do tego zestawu w następnym kroku, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143 . Otrzymujemy iloczyn 2 2 2 2 3 7 11 13 , który jest równy 48 048 .

Wielokrotność liczby to liczba podzielna przez daną liczbę bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) grupy liczb to najmniejsza liczba podzielna równomiernie przez każdą liczbę w grupie. Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musisz znaleźć czynniki pierwsze podanych liczb. Ponadto LCM można obliczyć przy użyciu wielu innych metod, które mają zastosowanie do grup składających się z dwóch lub więcej liczb.

Kroki

Wiele wielokrotności

    Spójrz na te liczby. Opisana tutaj metoda najlepiej nadaje się do podania dwóch liczb, które są mniejsze niż 10. Jeśli podano duże liczby, użyj innej metody.

    • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 5 i 8. Są to małe liczby, więc można użyć tej metody.

  1. Wielokrotność liczby to liczba podzielna przez daną liczbę bez reszty. W tabliczce mnożenia można znaleźć wiele liczb.

    • Na przykład liczby będące wielokrotnościami 5 to: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. Zapisz serię liczb, które są wielokrotnościami pierwszej liczby. Zrób to pod wielokrotnościami pierwszej liczby, aby porównać dwa rzędy liczb.

    • Na przykład liczby będące wielokrotnościami 8 to: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

  3. Znajdź najmniejszą liczbę, która pojawia się w obu seriach wielokrotności. Być może będziesz musiał napisać długą serię wielokrotności, aby znaleźć sumę. Najmniejsza liczba występująca w obu seriach wielokrotności jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.

    • Na przykład najmniejsza liczba występująca w szeregu wielokrotności 5 i 8 to 40. Dlatego 40 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością 5 i 8.

    Rozkład na czynniki pierwsze

    1. Spójrz na te liczby. Opisaną tutaj metodę najlepiej zastosować, gdy podano dwie liczby, które są większe od 10. Jeśli podano mniejsze liczby, użyj innej metody.

      • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 20 i 84. Każda z liczb jest większa od 10, więc można użyć tej metody.

    2. Rozkładać na czynniki pierwszy numer. Oznacza to, że musisz znaleźć takie liczby pierwsze, po pomnożeniu otrzymasz daną liczbę. Po znalezieniu czynników pierwszych zapisz je jako równość.

      Podziel drugą liczbę na czynniki pierwsze. Zrób to w taki sam sposób, jak rozłożyłeś pierwszą liczbę na czynniki, to znaczy znajdź takie liczby pierwsze, które po pomnożeniu otrzymają tę liczbę.

      Zapisz czynniki wspólne dla obu liczb. Napisz takie czynniki jak operacja mnożenia. Zapisując każdy czynnik, wykreśl go w obu wyrażeniach (wyrażeniach opisujących rozkład liczb na czynniki pierwsze).

      Dodaj pozostałe czynniki do operacji mnożenia. Są to czynniki, które nie są przekreślone w obu wyrażeniach, czyli czynniki, które nie są wspólne dla obu liczb.

      Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność. Aby to zrobić, pomnóż liczby w operacji mnożenia pisemnego.

    Znalezienie wspólnych dzielników

      Narysuj siatkę tak, jak podczas gry w kółko i krzyżyk. Taka siatka składa się z dwóch równoległych linii, które przecinają się (pod kątem prostym) z dwoma innymi równoległymi liniami. Spowoduje to powstanie trzech wierszy i trzech kolumn (siatka wygląda bardzo podobnie do znaku #). Wpisz pierwszą liczbę w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie. Wpisz drugą liczbę w pierwszym wierszu i trzeciej kolumnie.

      • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczby 18 i 30. Wpisz 18 w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie, a 30 w pierwszym wierszu i trzeciej kolumnie.

    1. Znajdź dzielnik wspólny dla obu liczb. Zapisz to w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie. Lepiej poszukać dzielników pierwszych, ale nie jest to warunek konieczny.

      • Na przykład 18 i 30 to liczby parzyste, więc ich wspólny dzielnik to 2. Wpisz więc 2 w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie.

    2. Podziel każdą liczbę przez pierwszy dzielnik. Napisz każdy iloraz pod odpowiednią liczbą. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb.

      Znajdź dzielnik wspólny dla obu ilorazów. Jeśli nie ma takiego dzielnika, pomiń kolejne dwa kroki. W przeciwnym razie zapisz dzielnik w drugim wierszu i pierwszej kolumnie.

      • Na przykład 9 i 15 są podzielne przez 3, więc wpisz 3 w drugim wierszu i pierwszej kolumnie.

    3. Podziel każdy iloraz przez drugi dzielnik. Zapisz każdy wynik dzielenia pod odpowiednim ilorazem.

      W razie potrzeby uzupełnij siatkę o dodatkowe komórki. Powtarzaj powyższe kroki, aż iloraz będzie miał wspólny dzielnik.

      Zakreśl cyfry w pierwszej kolumnie i ostatnim wierszu siatki. Następnie zapisz podświetlone liczby jako operację mnożenia.

    Algorytm Euklidesa

      Zapamiętaj terminologię związaną z operacją dzielenia. Dywidenda to liczba, która jest dzielona. Dzielnik to liczba, przez którą należy podzielić. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb. Reszta to liczba pozostała po podzieleniu dwóch liczb.

      Napisz wyrażenie opisujące operację dzielenia z resztą. Wyrażenie: dzielna = dzielnik × iloraz + reszta (\displaystyle (\text(dzielna))=(\tekst(dzielnik))\times (\tekst(iloraz))+(\tekst(reszta))). Wyrażenie to posłuży do zapisania algorytmu Euklidesa i znalezienia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb.

      Potraktuj większą z dwóch liczb jako dywidendę. Rozważ mniejszą z dwóch liczb jako dzielnik. Dla tych liczb zapisz wyrażenie opisujące operację dzielenia z resztą.

      Zamień pierwszego dzielnika w nową dywidendę. Użyj reszty jako nowego dzielnika. Dla tych liczb zapisz wyrażenie opisujące operację dzielenia z resztą.

Kontynuujmy dyskusję na temat najmniejszej wspólnej wielokrotności, którą rozpoczęliśmy w sekcji LCM - Najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady. W tym temacie przyjrzymy się sposobom znalezienia LCM dla trzech liczb lub więcej, przeanalizujemy pytanie, jak znaleźć LCM liczby ujemnej.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

Ustaliliśmy już relację między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem. Teraz nauczmy się definiować LCM poprzez GCD. Najpierw zastanówmy się, jak to zrobić dla liczb dodatnich.

Definicja 1

Najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć przez największy wspólny dzielnik za pomocą wzoru LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Przykład 1

Konieczne jest znalezienie LCM o numerach 126 i 70.

Rozwiązanie

Weźmy a = 126 , b = 70 . Zastąp wartości we wzorze obliczania najmniejszej wspólnej wielokrotności przez największy wspólny dzielnik LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Znajduje NWD liczb 70 i 126. W tym celu potrzebujemy algorytmu Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , stąd gcd (126 , 70) = 14 .

Obliczmy LCM: LCM (126, 70) = 126 70: NWD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Odpowiadać: LCM (126, 70) = 630.

Przykład 2

Znajdź nok liczb 68 i 34.

Rozwiązanie

GCD w tym przypadku jest łatwe do znalezienia, ponieważ 68 jest podzielne przez 34. Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność, korzystając ze wzoru: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Odpowiadać: LCM(68, 34) = 68.

W tym przykładzie zastosowaliśmy zasadę znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności dodatnich liczb całkowitych aib: jeśli pierwsza liczba jest podzielna przez drugą, to LCM tych liczb będzie równy pierwszej liczbie.

Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Przyjrzyjmy się teraz, jak znaleźć LCM, który opiera się na rozkładzie liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 2

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musimy wykonać kilka prostych kroków:

  • tworzymy iloczyn wszystkich czynników pierwszych liczb, dla których musimy znaleźć LCM;
  • wykluczamy wszystkie czynniki pierwsze z otrzymanych produktów;
  • iloczyn otrzymany po wyeliminowaniu wspólnych czynników pierwszych będzie równy LCM danych liczb.

Ten sposób znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności opiera się na równości LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jeśli spojrzysz na wzór, stanie się jasne: iloczyn liczb a i b jest równy iloczynowi wszystkich czynników, które biorą udział w ekspansji tych dwóch liczb. W tym przypadku NWD dwóch liczb jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w faktoryzacji tych dwóch liczb.

Przykład 3

Mamy dwie liczby 75 i 210 . Możemy je rozłożyć w ten sposób: 75 = 3 5 5 oraz 210 = 2 3 5 7. Jeśli zrobisz iloczyn wszystkich czynników dwóch pierwotnych liczb, otrzymasz: 2 3 3 5 5 5 7.

Jeśli wykluczymy czynniki wspólne dla liczb 3 i 5, otrzymamy iloczyn postaci: 2 3 5 5 7 = 1050. Ten produkt będzie naszym LCM dla numerów 75 i 210.

Przykład 4

Znajdź LCM liczb 441 oraz 700 , rozkładając obie liczby na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

Znajdźmy wszystkie czynniki pierwsze liczb podanych w warunku:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Otrzymujemy dwa łańcuchy liczb: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7 .

Iloczyn wszystkich czynników, które brały udział w ekspansji tych liczb będzie wyglądał następująco: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Znajdźmy wspólne czynniki. Ta liczba to 7 . Wykluczamy go z produktu ogólnego: 2 2 3 3 5 5 7 7. Okazuje się, że NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Odpowiadać: LCM (441, 700) = 44 100 .

Podajmy jeszcze jedno sformułowanie metody znajdowania LCM przez rozkład liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 3

Wcześniej wykluczyliśmy z całkowitej liczby czynników wspólnych dla obu liczb. Teraz zrobimy to inaczej:

  • Rozłóżmy obie liczby na czynniki pierwsze:
  • dodaj do iloczynu czynników pierwszych pierwszej liczby brakujące czynniki drugiej liczby;
  • otrzymujemy produkt, który będzie pożądanym LCM dwóch liczb.

Przykład 5

Wróćmy do liczb 75 i 210 , dla których szukaliśmy już LCM w jednym z poprzednich przykładów. Podzielmy je na proste czynniki: 75 = 3 5 5 oraz 210 = 2 3 5 7. Do iloczynu czynników 3 , 5 i 5 numer 75 dodaj brakujące czynniki 2 oraz 7 numery 210 . Otrzymujemy: 2 3 5 5 7 . To jest LCM liczb 75 i 210.

Przykład 6

Konieczne jest obliczenie LCM liczb 84 i 648.

Rozwiązanie

Rozłóżmy liczby z warunku na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7 oraz 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodaj do iloczynu czynników 2 , 2 , 3 i 7 liczby 84 brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i
3 numery 648 . Otrzymujemy produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648.

Odpowiadać: LCM (84, 648) = 4536.

Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

Bez względu na to, z iloma liczbami mamy do czynienia, algorytm naszych działań zawsze będzie taki sam: konsekwentnie znajdziemy LCM dwóch liczb. W tym przypadku istnieje twierdzenie.

Twierdzenie 1

Załóżmy, że mamy liczby całkowite a 1 , a 2 , … , a k. NOC mk z tych liczb znajduje się w obliczeniach sekwencyjnych m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Przyjrzyjmy się teraz, w jaki sposób twierdzenie można zastosować do konkretnych problemów.

Przykład 7

Należy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

Rozwiązanie

Wprowadźmy notację: 1 \u003d 140, 2 \u003d 9, 3 \u003d 54, 4 \u003d 250.

Zacznijmy od obliczenia m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9 ). Użyjmy algorytmu Euklidesa, aby obliczyć NWD liczb 140 i 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Otrzymujemy: NWD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: NWD(140, 9) = 140 9:1 = 1260. Dlatego m 2 = 1 260 .

Teraz obliczmy według tego samego algorytmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . W trakcie obliczeń otrzymujemy m 3 = 3 780.

Pozostaje nam obliczyć m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Działamy według tego samego algorytmu. Otrzymujemy m 4 \u003d 94 500.

LCM czterech liczb z przykładowego warunku to 94500 .

Odpowiadać: LCM (140, 9, 54, 250) = 94500.

Jak widać obliczenia są proste, ale dość pracochłonne. Aby zaoszczędzić czas, możesz iść w drugą stronę.

Definicja 4

Oferujemy następujący algorytm działania:

  • rozłożyć wszystkie liczby na czynniki pierwsze;
  • do iloczynu czynników pierwszej liczby dodaj brakujące czynniki z iloczynu drugiej liczby;
  • dodaj brakujące czynniki trzeciej liczby do iloczynu otrzymanego na poprzednim etapie itp.;
  • wynikowy iloczyn będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich liczb z warunku.

Przykład 8

Konieczne jest znalezienie LCM pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Rozwiązanie

Rozłóżmy wszystkie pięć liczb na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Liczby pierwsze, czyli liczba 7, nie mogą być rozłożone na czynniki pierwsze. Takie liczby pokrywają się z ich rozkładem na czynniki pierwsze.

Teraz weźmy iloczyn czynników pierwszych 2, 2, 3 i 7 liczby 84 i dodajmy do nich brakujące czynniki drugiej liczby. Rozłożyliśmy liczbę 6 na 2 i 3. Te czynniki są już w iloczynie pierwszej liczby. Dlatego je pomijamy.

Nadal dodajemy brakujące mnożniki. Zwracamy się do liczby 48, z iloczynu czynników pierwszych, z których bierzemy 2 i 2. Następnie dodajemy prosty czynnik 7 z czwartej liczby oraz dzielniki 11 i 13 piątej. Otrzymujemy: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność z pięciu pierwotnych liczb.

Odpowiadać: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ujemnych, liczby te należy najpierw zastąpić liczbami o przeciwnym znaku, a następnie wykonać obliczenia według powyższych algorytmów.

Przykład 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) i LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888).

Takie działania są dopuszczalne ze względu na to, że jeśli przyjmie się, że a oraz − a- liczby przeciwne
następnie zbiór wielokrotności a pokrywa się ze zbiorem wielokrotności liczby − a.

Przykład 10

Konieczne jest obliczenie LCM liczb ujemnych − 145 oraz − 45 .

Rozwiązanie

Zmieńmy liczby − 145 oraz − 45 do ich przeciwnych numerów 145 oraz 45 . Teraz, korzystając z algorytmu, obliczamy LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 po wcześniejszym określeniu GCD za pomocą algorytmu Euclid.

Otrzymujemy, że LCM liczb − 145 i − 45 równa się 1 305 .

Odpowiadać: LCM (-145, -45) = 1 305.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Aby zrozumieć, jak obliczyć LCM, należy najpierw określić znaczenie terminu „wielokrotność”.


Mnożnik A jest liczbą naturalną podzielną bez reszty przez A. Tak więc 15, 20, 25 itd. można uznać za wielokrotności 5.


Może istnieć ograniczona liczba dzielników określonej liczby, ale istnieje nieskończona liczba wielokrotności.


Wspólna wielokrotność liczb naturalnych to liczba podzielna przez nie bez reszty.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb (dwa, trzy lub więcej) to najmniejsza liczba naturalna podzielna przez wszystkie te liczby.


Aby znaleźć NOC, możesz użyć kilku metod.


W przypadku małych liczb wygodnie jest wypisać w wierszu wszystkie wielokrotności tych liczb, aż do znalezienia wśród nich wspólnej. Wielokrotności są oznaczone w rekordzie wielką literą K.


Na przykład wielokrotności 4 można zapisać w następujący sposób:


K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)


K(6) = (12, 18, 24, ...)


Widać więc, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest liczba 24. Ten wpis jest wykonywany w następujący sposób:


LCM(4, 6) = 24


Jeśli liczby są duże, znajdź wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, lepiej użyć innego sposobu obliczenia LCM.


Aby wykonać zadanie, konieczne jest rozłożenie proponowanych liczb na czynniki pierwsze.


Najpierw musisz wypisać rozwinięcie największej z liczb w linii, a pod nią - resztę.


W ekspansji każdej liczby może występować inna liczba czynników.


Na przykład podzielmy liczby 50 i 20 na czynniki pierwsze.




Przy rozwinięciu mniejszej liczby należy podkreślić czynniki, których brakuje w rozwinięciu pierwszej największej liczby, a następnie dodać je do niej. W prezentowanym przykładzie brakuje dwójki.


Teraz możemy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność 20 i 50.


LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


Zatem iloczyn czynników pierwszych większej liczby i czynników drugiej liczby, które nie są uwzględnione w dekompozycji większej liczby, będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.


Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, wszystkie z nich należy rozłożyć na czynniki pierwsze, tak jak w poprzednim przypadku.


Jako przykład możesz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 16, 24, 36.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


Tak więc tylko dwie dwójki z rozkładu szesnastu nie zostały uwzględnione w faktoryzacji większej liczby (jedna jest w dekompozycji dwudziestu czterech).


Dlatego należy je dodać do rozkładu większej liczby.


LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


Istnieją szczególne przypadki wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności. Jeśli więc jedną z liczb można podzielić bez reszty przez drugą, to większa z tych liczb będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.


Na przykład, dwanaście i dwadzieścia cztery NOCs będą miały dwadzieścia cztery.


Jeśli konieczne jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb względnie pierwszych, które nie mają takich samych dzielników, to ich LCM będzie równy ich iloczynowi.


Na przykład LCM(10, 11) = 110.