Podstawowe wzory na znajdowanie odległości na podstawie rzutu wektora na oś. Rzut (geometryczny, algebraiczny) wektora na oś. Własności rzutów Kąt między wektorami rzut wektora na oś

Definicja 1. Na płaszczyźnie rzut równoległy punktu A na oś l jest punktem - punktem przecięcia osi l z linią prostą poprowadzoną przez punkt A równoległy do ​​wektora, który określa kierunek projektowania.

Definicja 2. Rzut równoległy wektora na oś l (na wektor) jest współrzędną wektora względem bazy oś l, gdzie punkty i są rzutami równoległymi odpowiednio punktów A i B na oś l (rys. 1).

Z definicji mamy

Definicja 3. jeśli i podstawa osi l kartezjański, czyli rzut wektora na oś l nazywa się ortogonalnym (ryc. 2).

W przestrzeni obowiązuje definicja 2 rzutu wektora na oś, jedynie kierunek rzutowania jest określony przez dwa niewspółliniowe wektory (rys. 3).

Z definicji rzutowania wektora na oś wynika, że ​​każda współrzędna wektora jest rzutem tego wektora na oś wyznaczoną przez odpowiedni wektor bazowy. W tym przypadku kierunek projektowania wyznaczają dwa inne wektory bazowe, jeżeli projekt jest realizowany (rozważany) w przestrzeni, lub inny wektor bazowy, jeżeli projekt jest rozpatrywany na płaszczyźnie (rys. 4).

Twierdzenie 1. Rzut ortogonalny wektora na oś l jest równy iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta między dodatnim kierunkiem osi l i, tj.

Z drugiej strony

Od znajdujemy

Podstawiając AC do równości (2), otrzymujemy

Ponieważ liczby x i tego samego znaku w obu rozpatrywanych przypadkach ((ryc. 5, a) ; (ryc. 5, b) , to równość (4) implikuje

Komentarz. W przyszłości będziemy brać pod uwagę tylko rzut prostopadły wektora na oś, w związku z czym słowo „orth” (ortogonalne) zostanie w notacji pominięte.

Przedstawiamy szereg formuł, które będą wykorzystywane w przyszłości przy rozwiązywaniu problemów.

a) Rzut wektora na oś.

Jeżeli, to rzut prostopadły na wektor według wzoru (5) ma postać

c) Odległość od punktu do płaszczyzny.

Niech b będzie daną płaszczyzną z wektorem normalnym, M będzie danym punktem,

d - odległość od punktu M do płaszczyzny b (rys. 6).

Jeżeli N jest dowolnym punktem płaszczyzny b i są rzutami punktów M i N na oś, to

• G) Odległość między przecinającymi się liniami.

Niech a i b otrzymają przecinające się proste, będą wektorem prostopadłym do nich, A i B będą dowolnymi punktami odpowiednio prostych a i b (rys. 7) i będą rzutami punktów A i B na, a następnie

e) Odległość od punktu do linii.

Wynajmować ja- dana linia z wektorem kierunkowym, M - dany punkt,

N - jego rzut na linię ja, a następnie - żądaną odległość (ryc. 8).

Jeśli A jest dowolnym punktem na linii ja, następnie w prawym trójkącie MNA można znaleźć przeciwprostokątną MA i nogi. Oznacza,

e) Kąt między linią a płaszczyzną.

Niech będzie wektorem kierunkowym danej linii ja, - wektor normalny danej płaszczyzny b, - rzut prostej ja do płaszczyzny b (rys. 9).

Jak wiesz, kąt q między linią ja a jego rzut na płaszczyznę b nazywamy kątem między linią a płaszczyzną. Mamy

Podajmy przykłady rozwiązywania problemów metrycznych metodą wektorowo-współrzędną.

Wstęp…………………………………………………………………………………3

1. Wartość wektora i skalara……………………………………………….4

2. Definicja rzutu, osi i współrzędnej punktu………………...5

3. Rzut wektora na oś………………………………………………...6

4. Podstawowy wzór algebry wektorowej…………………………………..8

5. Obliczanie modułu wektora z jego rzutów…………………...9

Wniosek…………………………………………………………………………...11

Literatura…………………………………………………………………………...12

Wstęp:

Fizyka jest nierozerwalnie związana z matematyką. Matematyka daje fizyce środki i techniki ogólnego i precyzyjnego wyrażenia związku między wielkościami fizycznymi, które odkrywane są w wyniku eksperymentu lub badań teoretycznych, wszak główną metodą badań w fizyce jest eksperyment. Oznacza to, że naukowiec ujawnia obliczenia za pomocą pomiarów. Oznacza związek między różnymi wielkościami fizycznymi. Następnie wszystko jest tłumaczone na język matematyki. Powstaje model matematyczny. Fizyka to nauka badająca najprostsze i jednocześnie najbardziej ogólne prawa. Zadaniem fizyki jest stworzenie w naszych umysłach takiego obrazu świata fizycznego, który najpełniej odda jego właściwości i zapewni takie relacje między elementami modelu, jakie istnieją między elementami.

Fizyka tworzy więc model otaczającego nas świata i bada jego właściwości. Ale każdy model jest ograniczony. Tworząc modele danego zjawiska, brane są pod uwagę tylko właściwości i powiązania, które są istotne dla danego zakresu zjawisk. To jest sztuka naukowca - z całej różnorodności, aby wybrać najważniejszą rzecz.

Modele fizyczne są matematyczne, ale matematyka nie jest ich podstawą. Zależności ilościowe między wielkościami fizycznymi są wyjaśniane w wyniku pomiarów, obserwacji i badań eksperymentalnych i wyrażane są jedynie w języku matematyki. Nie ma jednak innego języka do konstruowania teorii fizycznych.

1. Wartość wektora i skalara.

W fizyce i matematyce wektor jest wielkością charakteryzującą się wartością liczbową i kierunkiem. W fizyce istnieje wiele ważnych wielkości będących wektorami, takich jak siła, położenie, prędkość, przyspieszenie, moment obrotowy, pęd, pola elektryczne i magnetyczne. Można je skontrastować z innymi wielkościami, takimi jak masa, objętość, ciśnienie, temperatura i gęstość, które można opisać zwykłą liczbą i nazywane są „ skalary".

Są pisane literami zwykłej czcionki lub cyframi (a, b, t, G, 5, -7 ....). Skalary mogą być dodatnie lub ujemne. Jednocześnie niektóre przedmioty badań mogą mieć takie właściwości, dla pełnego opisu, których znajomość tylko miary liczbowej jest niewystarczająca, konieczne jest również scharakteryzowanie tych właściwości za pomocą kierunku w przestrzeni. Takie właściwości charakteryzują wielkości wektorowe (wektory). Wektory, w przeciwieństwie do skalarów, są oznaczone pogrubionymi literami: a, b, g, F, C ....
Często wektor jest oznaczony zwykłą (nie pogrubioną) literą, ale ze strzałką nad nią:

Ponadto wektor jest często oznaczany parą liter (zwykle wielkimi literami), przy czym pierwsza litera wskazuje początek wektora, a druga litera jego koniec.

Moduł wektora, czyli długość skierowanego odcinka linii prostej, jest oznaczony tymi samymi literami, co sam wektor, ale zwykłym (nie pogrubionym) pismem i bez strzałki nad nimi lub tak jak wektor (czyli pogrubiony lub regularny, ale ze strzałką), ale wtedy oznaczenie wektora jest ujęte w pionowe kreski.
Wektor to złożony obiekt, który charakteryzuje się jednocześnie zarówno wielkością, jak i kierunkiem.

Nie ma również wektorów dodatnich i ujemnych. Ale wektory mogą być sobie równe. Dzieje się tak, gdy na przykład aib mają te same moduły i są skierowane w tym samym kierunku. W tym przypadku zapis a= b. Należy również pamiętać, że symbol wektora może być poprzedzony znakiem minus, na przykład -c, jednak ten znak symbolicznie wskazuje, że wektor -c ma taki sam moduł jak wektor c, ale jest skierowany w przeciwny kierunek.

Wektor -c nazywany jest przeciwieństwem (lub odwrotnością) wektora c.
W fizyce jednak każdy wektor jest wypełniony konkretną treścią, a przy porównywaniu wektorów tego samego typu (np. sił) istotne znaczenie mogą mieć również punkty ich zastosowania.

2.Wyznaczanie rzutu, osi i współrzędnej punktu.

Oś jest linią prostą, której nadano kierunek.
Oś jest oznaczona dowolną literą: X, Y, Z, s, t ... Zwykle na osi wybiera się (arbitralnie) punkt, który nazywa się początkiem i z reguły jest oznaczony literą O Od tego miejsca mierzone są odległości do innych interesujących nas miejsc.

rzut punktowy na osi nazywana jest podstawą pionu opadającego z tego punktu do danej osi. Oznacza to, że rzut punktu na oś jest punktem.

współrzędna punktu na danej osi nazywana jest liczbą, której wartość bezwzględna jest równa długości odcinka osi (w wybranej skali) zawartej między początkiem osi a rzutem punktu na tę oś. Liczba ta jest przyjmowana ze znakiem plus, jeśli rzut punktu znajduje się w kierunku osi od jej początku i ze znakiem minus, jeśli w kierunku przeciwnym.

3.Rzut wektora na oś.

Rzut wektora na oś to wektor, który otrzymuje się przez pomnożenie rzutu skalarnego wektora na tę oś i wektora jednostkowego tej osi. Na przykład, jeśli x jest rzutem skalarnym wektora a na oś X, to a x i jest rzutem wektora na tę oś.

Oznaczmy rzutowanie wektora w taki sam sposób, jak sam wektor, ale z indeksem osi, na którą rzutowany jest wektor. Tak więc rzut wektora wektora a na oś X jest oznaczony przez x (pogrubiona litera oznaczająca wektor i indeks nazwy osi) lub

(niepogrubiona litera oznaczająca wektor, ale ze strzałką u góry (!) i indeksem nazwy osi).

Projekcja skalarna wektor na oś nazywa się numer, którego wartość bezwzględna jest równa długości odcinka osi (w wybranej skali) zawartego między rzutami punktu początkowego i końcowego wektora. Zwykle zamiast wyrażenia projekcja skalarna po prostu powiedz - występ. Rzut jest oznaczony tą samą literą, co rzutowany wektor (normalnym, nie pogrubionym pismem), z indeksem (zwykle) nazwy osi, na którą rzutowany jest ten wektor. Na przykład, jeśli wektor jest rzutowany na oś x a, wtedy jego rzut jest oznaczony jako x . Podczas rzutowania tego samego wektora na inną oś, jeśli osią jest Y , jej rzut będzie oznaczony jako y .

Aby obliczyć projekcję wektor na osi (np. osi X) należy odjąć współrzędną punktu początkowego od współrzędnej jej punktu końcowego, czyli

i x \u003d x k - x n.

Rzut wektora na oś jest liczbą. Ponadto rzutowanie może być dodatnie, jeśli wartość x k jest większa niż wartość x n,

ujemna, jeśli wartość x k jest mniejsza niż wartość x n

i równe zero, jeśli x k jest równe x n.

Rzut wektora na oś można również znaleźć, znając moduł wektora i kąt, jaki tworzy z tą osią.

Z rysunku widać, że a x = a Cos α

Oznacza to, że rzut wektora na oś jest równy iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta między kierunkiem osi a kierunek wektora. Jeśli kąt jest ostry, to
Cos α > 0 i a x > 0, a jeśli rozwarty, to cosinus kąta rozwartego jest ujemny i rzut wektora na oś również będzie ujemny.

Kąty liczone od osi w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara są uważane za dodatnie, a w kierunku za ujemne. Ponieważ jednak cosinus jest funkcją parzystą, to znaczy Cos α = Cos (− α), podczas obliczania rzutów kąty można liczyć zarówno zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jak i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Aby znaleźć rzut wektora na oś, moduł tego wektora musi być pomnożony przez cosinus kąta między kierunkiem osi a kierunkiem wektora.

4. Podstawowy wzór algebry wektorowej.

Rzutujemy wektor a na osie X i Y prostokątnego układu współrzędnych. Znajdź rzuty wektorowe wektora a na te osie:

i x = a x i, i y = a y j.

Ale zgodnie z zasadą dodawania wektorów

a \u003d x + a y.

a = a x i + a y j.

W ten sposób wyraziliśmy wektor za pomocą jego rzutów i ort prostokątnego układu współrzędnych (lub za pomocą rzutów wektorowych).

Rzuty wektorowe ax i ay nazywane są składowymi lub składowymi wektora a. Operacja, którą wykonaliśmy, nazywa się dekompozycją wektora wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych.

Jeśli wektor jest podany w przestrzeni, to

a = a x i + a y j + a z k.

Ta formuła nazywa się podstawową formułą algebry wektorowej. Oczywiście można to też tak napisać.

Wektorowy opis ruchu jest przydatny, ponieważ na jednym rysunku zawsze można przedstawić wiele różnych wektorów i uzyskać wyraźny „obraz” ruchu przed oczami. Jednak użycie linijki i kątomierza do wykonywania operacji na wektorach za każdym razem jest bardzo czasochłonne. Dlatego działania te sprowadzają się do działań z liczbami dodatnimi i ujemnymi - rzutów wektorów.

Rzut wektora na oś wywołaj wartość skalarną równą iloczynowi modułu rzutowanego wektora i cosinusa kąta między kierunkami wektora a wybraną osią współrzędnych.

Lewy rysunek przedstawia wektor przemieszczenia, którego moduł wynosi 50 km, a jego kierunek kształtuje się kąt rozwarty 150° z kierunkiem osi X. Korzystając z definicji znajdujemy rzut przemieszczenia na oś X:

sx = s cos(α) = 50 km cos( 150°) = –43 km

Ponieważ kąt między osiami wynosi 90°, łatwo obliczyć, że kierunek ruchu tworzy kąt ostry równy 60° z kierunkiem osi Y. Korzystając z definicji znajdujemy rzut przemieszczenia na oś Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos( 60°) = +25 km

Jak widać, jeśli kierunek wektora tworzy kąt ostry z kierunkiem osi, rzut jest dodatni; jeśli kierunek wektora tworzy kąt rozwarty z kierunkiem osi, rzut jest ujemny.

Prawy rysunek przedstawia wektor prędkości, którego moduł wynosi 5 m/s, a kierunek tworzy kąt 30° z kierunkiem osi X. Znajdźmy rzuty:

υx = υ cos(α) = 5 m/s cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ cos(β) = 5 m/s cos( 120°) = –2,5 m/s

Znacznie łatwiej jest znaleźć rzuty wektorów na osie, jeśli rzutowane wektory są równoległe lub prostopadłe do wybranych osi. Zauważ, że w przypadku równoległości możliwe są dwie opcje: wektor jest współkierowany do osi i wektor jest przeciwny do osi, a w przypadku prostopadłości jest tylko jedna opcja.

Rzut wektora prostopadłego do osi jest zawsze zerowy (patrz sy i ay na lewym rysunku oraz sx i υx na prawym rysunku). Rzeczywiście, dla wektora prostopadłego do osi kąt między nim a osią wynosi 90 °, więc cosinus wynosi zero, co oznacza, że ​​rzut wynosi zero.

Rzut wektora współkierowanego z osią jest dodatni i równy jego modułowi, np. sx = +s (patrz rysunek po lewej). Rzeczywiście, dla wektora współkierunkowego z osią, kąt między nim a osią wynosi zero, a jego cosinus to „+1”, czyli rzut jest równy długości wektora: sx = x – xo = +s .

Rzut wektora przeciwległego do osi jest ujemny i równy jego modułowi, wzięty ze znakiem minus, na przykład sy = –s (patrz rysunek po prawej). Rzeczywiście, dla wektora przeciwnego do osi kąt między nim a osią wynosi 180°, a jego cosinus wynosi „–1”, czyli rzut jest równy długości wektora, przyjętego ze znakiem ujemnym: sy = y – yo = –s .

Po prawej stronie obu rysunków pokazano inne przypadki, w których wektory są równoległe do jednej z osi współrzędnych i prostopadłe do drugiej. Zachęcamy do przekonania się, że w tych przypadkach również przestrzegane są zasady sformułowane w poprzednich akapitach.

Odpowiadać:

Właściwości projekcji:

Właściwości rzutowania wektorowego

Właściwość 1.

Rzut sumy dwóch wektorów na oś jest równy sumie rzutów wektorów na tę samą oś:

Ta właściwość pozwala zastąpić rzut sumy wektorów sumą ich rzutów i odwrotnie.

Właściwość 2. Jeśli wektor pomnożymy przez liczbę λ, to jego rzut na oś również pomnożymy przez tę liczbę:

Właściwość 3.

Rzut wektora na oś l jest równy iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta między wektorem a osią:

Oś Orth. Rozkład wektora na wektory współrzędnych. Współrzędne wektorowe. Właściwości współrzędnych

Odpowiadać:

Horts siekier.

Prostokątny układ współrzędnych (dowolnego wymiaru) jest również opisany przez zestaw wektorów jednostkowych wyrównanych z osiami współrzędnych. Liczba ort jest równa wymiarowi układu współrzędnych i wszystkie są do siebie prostopadłe.

W przypadku trójwymiarowym zwykle oznacza się orty

AND Symbole ze strzałkami i mogą być również używane.

Ponadto w przypadku prawego układu współrzędnych obowiązują następujące wzory z iloczynami wektorowymi wektorów:

Rozkład wektora na wektory współrzędnych.

Orth osi współrzędnych jest oznaczona przez , osie - przez , osie - przez (rys. 1)

Dla dowolnego wektora leżącego na płaszczyźnie następuje następująca dekompozycja:

Jeśli wektor znajduje się w przestrzeni, to rozwinięcie względem wektorów jednostkowych osi współrzędnych ma postać:

Współrzędne wektora:

Aby obliczyć współrzędne wektora, znając współrzędne (x1; y1) jego początku A i współrzędne (x2; y2) jego końca B, należy odjąć współrzędne początku od współrzędnych końca: (x2 - x1; y2 - y1).

Właściwości współrzędnych.

Rozważ linię współrzędnych z początkiem w punkcie O i wektor jednostkowy i. Wtedy dla dowolnego wektora a na tej linii: a = axi.

Liczba ax nazywana jest współrzędną wektora a na osi współrzędnych.

Właściwość 1. Podczas dodawania wektorów na osi dodawane są ich współrzędne.

Właściwość 2. Kiedy wektor jest mnożony przez liczbę, jego współrzędna jest mnożona przez tę liczbę.

Iloczyn skalarny wektorów. Nieruchomości.

Odpowiadać:

Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest liczbą,

równy iloczynowi tych wektorów przez cosinus kąta między nimi.

Nieruchomości:

1. Iloczyn skalarny ma własność przemienną: ab=ba

Iloczyn skalarny wektorów współrzędnych. Wyznaczanie iloczynu skalarnego wektorów przez ich współrzędne.

Odpowiadać:

Iloczyn skalarny (×) orts

(X)	I	J	K
I
J
K

Wyznaczanie iloczynu skalarnego wektorów przez ich współrzędne.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów i podany przez ich współrzędne można obliczyć ze wzoru

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów. Właściwości produktu wektorowego.

Odpowiadać:

Trzy wektory niewspółpłaszczyznowe tworzą prawą trójkę, jeśli od końca trzeciego wektora obrót od pierwszego do drugiego jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara - to w lewo., jeśli nie, to odwrotnie ( pokaż jak się pokazał z "uchwytami")

Iloczyn krzyżowy wektora a na wektor b zwany wektorem z którym:

1. Prostopadle do wektorów a oraz b

2. Ma długość równą liczbowo powierzchni równoległoboku utworzonego na a oraz b wektory

3. Wektory, a,b, oraz c tworzą prawą trójkę wektorów

Nieruchomości:

1.

3.

4.

Iloczyn wektorowy wektorów współrzędnych. Wyznaczanie iloczynu wektorów wektorów przez ich współrzędne.

Odpowiadać:

Iloczyn wektorowy wektorów współrzędnych.

Wyznaczanie iloczynu wektorów wektorów przez ich współrzędne.

Niech wektory a = (x1; y1; z1) oraz b = (x2; y2; z2) będą podane przez ich współrzędne w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych O, i, j, k, a trójka i, j, k to prawo.

Rozszerzamy a i b w zakresie wektorów bazowych:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Wykorzystując właściwości iloczynu wektorowego otrzymujemy

[a; b] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ r 1 x 2 + r 1 r 2 + r 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (jeden)

Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego znajdujemy

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = ja,

= j, = - ja. = 0.

Biorąc pod uwagę te równości, wzór (1) można zapisać w następujący sposób:

[a; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 ja

[a; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Formuła (2) daje wyrażenie na iloczyn krzyżowy dwóch wektorów podanych przez ich współrzędne.

Otrzymana formuła jest uciążliwa, korzystając z notacji wyznaczników można zapisać ją w innej, wygodniejszej do zapamiętania formie:

Zwykle formuła (3) zapisywana jest jeszcze krócej:

W tym artykule zajmiemy się rzutem wektora na oś i nauczymy się, jak znaleźć rzutowanie numeryczne wektora. Najpierw podajemy definicję rzutu wektora na oś, wprowadzamy notację, a także ilustrujemy graficznie. Następnie ogłosimy definicję rzutu numerycznego wektora na oś, rozważymy sposoby jego znalezienia i pokażemy rozwiązania kilku przykładów, w których wymagane jest znalezienie rzutu numerycznego wektora na oś.

Nawigacja po stronach.

Rzut wektora na oś - definicja, oznaczenie, ilustracje, przykład.

Zacznijmy od ogólnych informacji.

Oś to linia prosta, dla której wskazany jest kierunek. Zatem rzut wektora na oś i rzut wektora na prostą skierowaną są tym samym.

Rzut wektora na oś można rozpatrywać w dwóch znaczeniach: geometrycznym i algebraicznym. W sensie geometrycznym rzut wektora na oś jest wektorem, aw sensie algebraicznym jest to liczba. Często to rozróżnienie nie jest dokonywane wprost, ale jest rozumiane z kontekstu. Nie zignorujemy tego rozróżnienia: będziemy używać terminu „”, jeśli chodzi o rzut wektora w sensie geometrycznym, a terminu „”, jeśli chodzi o rzut wektora w sensie algebraicznym (kolejny akapit tego artykułu jest poświęcony numerycznemu rzutowaniu wektora na oś).

Teraz przechodzimy do definicji rzutu wektora na oś. W tym celu nie zaszkodzi powtórzyć.

Niech na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej dana jest oś L i niezerowy wektor . Oznaczmy rzuty punktów A i B na prostą L odpowiednio jako A 1 i B 1 i skonstruujmy wektor . Patrząc w przyszłość, powiedzmy, że wektor jest rzutem wektora na oś L.

Definicja.

Rzut wektora na oś jest wektorem, którego początek i koniec są odpowiednio rzutami początku i końca danego wektora.

Rzut wektora na oś L jest oznaczony jako .

Aby zbudować rzut wektora na oś L, musisz obniżyć prostopadłe z punktów A i B do linii skierowanej L - podstawy tych pionów dadzą początek i koniec pożądanego rzutu.

Podajmy przykład rzutowania wektora na oś.

Niech na płaszczyźnie zostanie wprowadzony prostokątny układ współrzędnych Oxy i dany punkt. Narysujmy wektor promienia punktu M 1 i zbudujmy jego rzuty na osie współrzędnych Ox i Oy . Oczywiście są to wektory o współrzędnych i odpowiednio.

Często słyszy się o rzutowaniu jednego wektora na inny niezerowy lub o rzutowaniu wektora na kierunek wektora. W tym przypadku zakłada się rzut wektora na pewną oś, której kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora (ogólnie istnieje nieskończenie wiele osi, których kierunki pokrywają się z kierunkiem wektora). Rzut wektora na linię prostą, której kierunek wyznacza wektor jest oznaczony jako .

Zauważ, że jeśli kąt między wektorami i jest ostry, to wektory i są współkierunkowe. Jeżeli kąt między wektorami i jest rozwarty, to wektory i są skierowane przeciwnie. Jeżeli wektor jest zerowy lub prostopadły do ​​wektora , to rzut wektora na prostą, której kierunek określa wektor , jest wektorem zerowym.

Rzut numeryczny wektora na oś - definicja, oznaczenie, przykłady znajdowania.

Liczbową charakterystyką rzutowania wektora na oś jest liczbowe rzutowanie tego wektora na daną oś.

Definicja.

Rzut numeryczny wektora na oś jest liczbą równą iloczynowi długości danego wektora i cosinusa kąta między tym wektorem a wektorem określającym kierunek osi.

Rzut numeryczny wektora na oś L jest oznaczony jako (bez strzałki na górze), a rzut numeryczny wektora na oś zdefiniowaną przez wektor jest oznaczony jako .

W tych zapisach definicja rzutu numerycznego wektora na prostą skierowaną jako wektor będzie miała postać , gdzie jest długością wektora , jest kątem między wektorami i .

Więc mamy pierwszy wzór na obliczenie liczbowego rzutu wektora: . Ta formuła jest używana, gdy znana jest długość wektora i kąt między wektorami i. Niewątpliwie wzór ten można również zastosować, gdy współrzędne wektorów i są znane względem danego prostokątnego układu współrzędnych, ale w tym przypadku wygodniej jest zastosować inny wzór, który uzyskamy poniżej.

Przykład.

Oblicz numeryczny rzut wektora na prostą skierowaną jako wektor, jeśli długość wektora wynosi 8, a kąt między wektorami i jest równy .

Rozwiązanie.

Od stanu problemu, który mamy . Pozostaje tylko zastosować formułę, która pozwala określić wymaganą projekcję numeryczną wektora:

Odpowiadać:

Wiemy to , gdzie jest iloczynem skalarnym wektorów i . Następnie formuła , co pozwala znaleźć rzut liczbowy wektora na prostą skierowaną jako wektor , przyjmie postać . Oznacza to, że możemy sformułować inną definicję rzutowania numerycznego wektora na oś, która jest równoważna definicji podanej na początku tego rozdziału.

Definicja.

Rzut numeryczny wektora na oś, którego kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora , jest stosunkiem iloczynu skalarnego wektorów do długości wektora .

Wygodnie jest użyć otrzymanego wzoru formularza, aby znaleźć rzut liczbowy wektora na linię prostą, której kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora, gdy współrzędne wektorów i są znane. Pokażemy to rozwiązując przykłady.

Przykład.

Wiadomo, że wektor wyznacza kierunek osi L . Znajdź numeryczny rzut wektora na oś L.

Rozwiązanie.

Formuła w postaci współrzędnych to , gdzie i . Używamy go do znalezienia wymaganego rzutu numerycznego wektora na oś L:

Odpowiadać:

Przykład.

W stosunku do prostokątnego układu współrzędnych Oxyz w przestrzeni trójwymiarowej dane są dwa wektory oraz . Znajdź numeryczny rzut wektora na oś L, której kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora.

Rozwiązanie.

Według współrzędnych wektora oraz możesz obliczyć iloczyn skalarny tych wektorów: . Długość wektora w jego współrzędnych oblicza się według następującego wzoru: . Wtedy wzór na wyznaczenie rzutu numerycznego wektora na oś L we współrzędnych ma postać .

Zastosujmy to:

Odpowiadać:

Teraz weźmy zależność między numerycznym rzutem wektora na oś L, którego kierunek wyznacza wektor, a długością rzutu wektora na oś L. Aby to zrobić, narysuj oś L, odłóż na bok wektory i od punktu leżącego na L upuść prostopadłą od końca wektora do prostej L i skonstruuj rzut wektora na oś L. W zależności od miary kąta między wektorami dostępnych jest pięć opcji:

W pierwszym przypadku jest więc oczywiste, że , więc , to .

W drugim przypadku, w zaznaczonym trójkącie prostokątnym, z definicji cosinusa kąta mamy , W konsekwencji, .

W trzecim przypadku oczywiste jest, że , i , dlatego i .

W czwartym przypadku wynika to z definicji cosinusa kąta, który , gdzie .

A zatem w tym drugim przypadku
.

Otrzymane wyniki łączy poniższa definicja numerycznego rzutowania wektora na oś.

Definicja.

Rzut numeryczny wektora na oś L, skierowany jako wektor , jest

Przykład.

Długość rzutu wektora na oś L , której kierunek wyznacza wektor , jest równa . Jaki jest rzut liczbowy wektora na oś L, jeśli kąt między wektorami i jest równy radianom.