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Mínimo múltiplo comum 2. Como encontrar o mínimo múltiplo comum de números. Encontrando o LCM de três ou mais números


O material apresentado a seguir é uma continuação lógica da teoria do artigo sob o título LCM - mínimo múltiplo comum, definição, exemplos, relação entre LCM e GCD. Aqui vamos falar sobre encontrar o mínimo múltiplo comum (MCC), e preste atenção especial à resolução de exemplos. Vamos primeiro mostrar como o MMC de dois números é calculado em termos do MDC desses números. Em seguida, considere encontrar o mínimo múltiplo comum fatorando números em fatores primos. Depois disso, vamos nos concentrar em encontrar o MMC de três ou mais números, e também prestar atenção no cálculo do MMC de números negativos.

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Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (LCM) através de mdc

Uma maneira de encontrar o mínimo múltiplo comum é baseada na relação entre LCM e GCD. A relação existente entre LCM e GCD permite calcular o mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos através do máximo divisor comum conhecido. A fórmula correspondente tem a forma LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Considere exemplos de encontrar o LCM de acordo com a fórmula acima.

Exemplo.

Encontre o mínimo múltiplo comum dos dois números 126 e 70.

Solução.

Neste exemplo a=126 , b=70 . Vamos usar a relação entre LCM e GCD expressa pela fórmula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Ou seja, primeiro temos que encontrar o máximo divisor comum dos números 70 e 126, após o que podemos calcular o MMC desses números de acordo com a fórmula escrita.

Encontre mdc(126, 70) usando o algoritmo de Euclides: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , portanto gcd(126, 70)=14 .

Agora encontramos o mínimo múltiplo comum necessário: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Responda:

LCM(126, 70)=630.

Exemplo.

O que é LCM(68, 34)?

Solução.

Porque 68 é divisível por 34 , então gcd(68, 34)=34 . Agora calculamos o mínimo múltiplo comum: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Responda:

LCM(68, 34)=68.

Observe que o exemplo anterior se encaixa na seguinte regra para encontrar o MMC para inteiros positivos a e b: se o número a for divisível por b, então o mínimo múltiplo comum desses números é a.

Encontrando o LCM fatorando números em fatores primos

Outra maneira de encontrar o mínimo múltiplo comum é com base na fatoração de números em fatores primos. Se fizermos um produto de todos os fatores primos desses números, após o que excluirmos desse produto todos os fatores primos comuns que estão presentes nas expansões desses números, o produto resultante será igual ao mínimo múltiplo comum desses números.

A regra anunciada para encontrar o LCM segue da igualdade LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). De fato, o produto dos números a e b é igual ao produto de todos os fatores envolvidos nas expansões dos números a e b. Por sua vez, mdc(a, b) é igual ao produto de todos os fatores primos que estão simultaneamente presentes nas expansões dos números a e b (que é descrito na seção sobre encontrar o mdc usando a decomposição de números em fatores primos ).

Vamos dar um exemplo. Digamos que 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Componha o produto de todos os fatores dessas expansões: 2 3 3 5 5 5 7 . Agora excluímos deste produto todos os fatores presentes tanto na expansão do número 75 quanto na expansão do número 210 (tais fatores são 3 e 5), então o produto terá a forma 2 3 5 5 7 . O valor deste produto é igual ao mínimo múltiplo comum dos números 75 e 210, ou seja, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Exemplo.

Depois de fatorar os números 441 e 700 em fatores primos, encontre o mínimo múltiplo comum desses números.

Solução.

Vamos decompor os números 441 e 700 em fatores primos:

Obtemos 441=3 3 7 7 e 700=2 2 5 5 7 .

Agora vamos fazer um produto de todos os fatores envolvidos nas expansões desses números: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vamos excluir deste produto todos os fatores que estão presentes simultaneamente em ambas as expansões (existe apenas um desses fatores - este é o número 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Nesse caminho, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Responda:

LCM(441, 700)= 44 100 .

A regra para encontrar o MMC usando a decomposição de números em fatores primos pode ser formulada de forma um pouco diferente. Se somarmos os fatores ausentes da expansão do número b aos fatores da expansão do número a, então o valor do produto resultante será igual ao mínimo múltiplo comum dos números a e b.

Por exemplo, vamos pegar todos os mesmos números 75 e 210, suas expansões em fatores primos são as seguintes: 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Aos fatores 3, 5 e 5 da decomposição do número 75, somamos os fatores ausentes 2 e 7 da decomposição do número 210, obtemos o produto 2 3 5 5 7 , cujo valor é LCM(75 , 210).

Exemplo.

Encontre o mínimo múltiplo comum de 84 e 648.

Solução.

Primeiro obtemos a decomposição dos números 84 e 648 em fatores primos. Eles se parecem com 84=2 2 3 7 e 648=2 2 2 3 3 3 3 . Aos fatores 2 , 2 , 3 e 7 da decomposição do número 84 somamos os fatores que faltam 2 , 3 , 3 e 3 da decomposição do número 648 , obtemos o produto 2 2 2 3 3 3 3 7 , que é igual a 4 536 . Assim, o mínimo múltiplo comum desejado dos números 84 e 648 é 4.536.

Responda:

LCM(84, 648)=4 536 .

Encontrando o LCM de três ou mais números

O mínimo múltiplo comum de três ou mais números pode ser encontrado encontrando-se sucessivamente o MMC de dois números. Lembre-se do teorema correspondente, que fornece uma maneira de encontrar o MMC de três ou mais números.

Teorema.

Sejam dados inteiros positivos a 1 , a 2 , …, a k, o mínimo múltiplo comum m k desses números é encontrado no cálculo sequencial m 2 = LCM (a 1 , a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Considere a aplicação deste teorema no exemplo de encontrar o mínimo múltiplo comum de quatro números.

Exemplo.

Encontre o MMC dos quatro números 140 , 9 , 54 e 250 .

Solução.

Neste exemplo a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Primeiro encontramos m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Para fazer isso, usando o algoritmo euclidiano, determinamos gcd(140, 9) , temos 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , portanto, gcd( 140, 9)=1 , de onde LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Ou seja, m 2 = 1 260 .

Agora encontramos m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Vamos calculá-lo através de gcd(1 260, 54) , que também é determinado pelo algoritmo de Euclides: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Então gcd(1 260, 54)=18 , de onde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Ou seja, m 3 \u003d 3 780.

Esquerda para encontrar m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Para fazer isso, encontramos GCD(3 780, 250) usando o algoritmo de Euclides: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Portanto, mdc(3 780, 250)=10 , de onde mdc(3 780, 250)= 3 780 250:mdc(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Ou seja, m 4 \u003d 94 500.

Portanto, o mínimo múltiplo comum dos quatro números originais é 94.500.

Responda:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Em muitos casos, o mínimo múltiplo comum de três ou mais números é convenientemente encontrado usando fatorações primos de números dados. Neste caso, a seguinte regra deve ser seguida. O mínimo múltiplo comum de vários números é igual ao produto, que é composto da seguinte forma: os fatores faltantes da expansão do segundo número são somados a todos os fatores da expansão do primeiro número, os fatores faltantes da expansão do o terceiro número é adicionado aos fatores obtidos, e assim por diante.

Considere um exemplo de encontrar o mínimo múltiplo comum usando a decomposição de números em fatores primos.

Exemplo.

Encontre o mínimo múltiplo comum de cinco números 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Solução.

Primeiro, obtemos as expansões desses números em fatores primos: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 fatores primos) e 143=11 13 .

Para encontrar o MMC desses números, aos fatores do primeiro número 84 (são 2 , 2 , 3 e 7 ), você precisa adicionar os fatores ausentes da expansão do segundo número 6 . A expansão do número 6 não contém fatores ausentes, pois tanto o 2 quanto o 3 já estão presentes na expansão do primeiro número 84 . Além dos fatores 2, 2, 3 e 7, adicionamos os fatores ausentes 2 e 2 da expansão do terceiro número 48, obtemos um conjunto de fatores 2, 2, 2, 2, 3 e 7. Não há necessidade de adicionar fatores a este conjunto na próxima etapa, pois 7 já está contido nele. Finalmente, aos fatores 2 , 2 , 2 , 2 , 3 e 7 adicionamos os fatores ausentes 11 e 13 da expansão do número 143 . Obtemos o produto 2 2 2 2 3 7 11 13 , que é igual a 48 048 .

Um múltiplo de um número é um número que é divisível por um determinado número sem deixar resto. O mínimo múltiplo comum (MLC) de um grupo de números é o menor número que é divisível por cada número no grupo. Para encontrar o mínimo múltiplo comum, você precisa encontrar os fatores primos dos números fornecidos. Além disso, o LCM pode ser calculado usando vários outros métodos aplicáveis ​​a grupos de dois ou mais números.

Passos

Uma série de múltiplos

    Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando são fornecidos dois números menores que 10. Se forem fornecidos números grandes, use um método diferente.

    • Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 5 e 8. Esses são números pequenos, portanto, esse método pode ser usado.

  1. Um múltiplo de um número é um número que é divisível por um determinado número sem deixar resto. Vários números podem ser encontrados na tabela de multiplicação.

    • Por exemplo, os números que são múltiplos de 5 são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. Escreva uma série de números que são múltiplos do primeiro número. Faça isso em múltiplos do primeiro número para comparar duas linhas de números.

    • Por exemplo, os números que são múltiplos de 8 são: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.

  3. Encontre o menor número que aparece em ambas as séries de múltiplos. Você pode ter que escrever longas séries de múltiplos para encontrar o total. O menor número que aparece em ambas as séries de múltiplos é o mínimo múltiplo comum.

    • Por exemplo, o menor número que aparece na série de múltiplos de 5 e 8 é 40. Portanto, 40 é o mínimo múltiplo comum de 5 e 8.

    Fatoração primária

    1. Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando dois números são maiores que 10. Se números menores são fornecidos, use um método diferente.

      • Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 20 e 84. Cada um dos números é maior que 10, portanto, esse método pode ser usado.

    2. Fatorar primeiro número. Ou seja, você precisa encontrar esses números primos, quando multiplicados, obtém um determinado número. Tendo encontrado os fatores primos, escreva-os como uma igualdade.

      Fatore o segundo número em fatores primos. Faça isso da mesma forma que fatorou o primeiro número, ou seja, encontre esses números primos que, quando multiplicados, obterão esse número.

      Escreva os fatores comuns a ambos os números. Escreva esses fatores como uma operação de multiplicação. Ao escrever cada fator, risque-o em ambas as expressões (expressões que descrevem a decomposição de números em fatores primos).

      Adicione os fatores restantes à operação de multiplicação. São fatores que não estão riscados nas duas expressões, ou seja, fatores que não são comuns aos dois números.

      Calcule o mínimo múltiplo comum. Para fazer isso, multiplique os números na operação de multiplicação escrita.

    Encontrando divisores comuns

      Desenhe uma grade como você faria para um jogo da velha. Tal grade consiste em duas linhas paralelas que se cruzam (em ângulos retos) com duas outras linhas paralelas. Isso resultará em três linhas e três colunas (a grade se parece muito com o sinal #). Escreva o primeiro número na primeira linha e na segunda coluna. Escreva o segundo número na primeira linha e na terceira coluna.

      • Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum de 18 e 30. Escreva 18 na primeira linha e na segunda coluna e 30 na primeira linha e na terceira coluna.

    1. Encontre o divisor comum a ambos os números. Anote-o na primeira linha e na primeira coluna. É melhor procurar divisores primos, mas isso não é um pré-requisito.

      • Por exemplo, 18 e 30 são números pares, então seu divisor comum é 2. Então escreva 2 na primeira linha e na primeira coluna.

    2. Divida cada número pelo primeiro divisor. Escreva cada quociente sob o número correspondente. O quociente é o resultado da divisão de dois números.

      Encontre um divisor comum a ambos os quocientes. Se não houver tal divisor, pule as próximas duas etapas. Caso contrário, anote o divisor na segunda linha e na primeira coluna.

      • Por exemplo, 9 e 15 são divisíveis por 3, então escreva 3 na segunda linha e na primeira coluna.

    3. Divida cada quociente pelo segundo divisor. Escreva cada resultado da divisão sob o quociente correspondente.

      Se necessário, complemente a grade com células adicionais. Repita as etapas acima até que os quocientes tenham um divisor comum.

      Circule os números na primeira coluna e na última linha da grade. Em seguida, escreva os números destacados como uma operação de multiplicação.

    Algoritmo de Euclides

      Lembre-se da terminologia associada à operação de divisão. O dividendo é o número que está sendo dividido. O divisor é o número pelo qual dividir. O quociente é o resultado da divisão de dois números. O resto é o número que resta quando dois números são divididos.

      Escreva uma expressão que descreva a operação de divisão com resto. Expressão: dividendo = divisor × quociente + resto (\displaystyle (\text(dividend))=(\text(divisor))\times (\text(quociente))+(\text(restante))). Esta expressão será usada para escrever o algoritmo de Euclides e encontrar o máximo divisor comum de dois números.

      Trate o maior dos dois números como o dividendo. Considere o menor dos dois números como o divisor. Para esses números, escreva uma expressão que descreva a operação de divisão com resto.

      Transforme o primeiro divisor em um novo dividendo. Use o resto como o novo divisor. Para esses números, escreva uma expressão que descreva a operação de divisão com resto.

Vamos continuar a discussão sobre o mínimo múltiplo comum que começamos na seção LCM - Mínimo Múltiplo Comum, Definição, Exemplos. Neste tópico, veremos maneiras de encontrar o MMC para três números ou mais, analisaremos a questão de como encontrar o MMC de um número negativo.

Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (LCM) através de mdc

Já estabelecemos a relação entre o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum. Agora vamos aprender como definir o LCM através do GCD. Primeiro, vamos descobrir como fazer isso para números positivos.

Definição 1

Você pode encontrar o mínimo múltiplo comum através do máximo divisor comum usando a fórmula LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Exemplo 1

É necessário encontrar o LCM dos números 126 e 70.

Solução

Vamos tomar a = 126 , b = 70 . Substitua os valores na fórmula para calcular o mínimo múltiplo comum através do máximo divisor comum LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Encontra o MDC dos números 70 e 126. Para isso precisamos do algoritmo de Euclides: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , daí gcd (126 , 70) = 14 .

Vamos calcular o LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Responda: LCM (126, 70) = 630.

Exemplo 2

Encontre o nok dos números 68 e 34.

Solução

GCD neste caso é fácil de encontrar, pois 68 é divisível por 34. Calcule o mínimo múltiplo comum usando a fórmula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Responda: LCM(68, 34) = 68.

Neste exemplo, usamos a regra para encontrar o mínimo múltiplo comum de inteiros positivos a e b: se o primeiro número for divisível pelo segundo, o MMC desses números será igual ao primeiro número.

Encontrando o LCM fatorando números em fatores primos

Agora vamos ver uma maneira de encontrar o LCM, que é baseado na decomposição de números em fatores primos.

Definição 2

Para encontrar o mínimo múltiplo comum, precisamos realizar uma série de etapas simples:

  • fazemos o produto de todos os fatores primos de números para os quais precisamos encontrar o MMC;
  • excluímos todos os fatores primos de seus produtos obtidos;
  • o produto obtido após a eliminação dos fatores primos comuns será igual ao MMC dos números dados.

Esta forma de encontrar o mínimo múltiplo comum é baseada na igualdade LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Se você observar a fórmula, ficará claro: o produto dos números a e b é igual ao produto de todos os fatores envolvidos na expansão desses dois números. Nesse caso, o MDC de dois números é igual ao produto de todos os fatores primos que estão presentes simultaneamente nas fatorações desses dois números.

Exemplo 3

Temos dois números 75 e 210 . Podemos fatorá-los assim: 75 = 3 5 5 e 210 = 2 3 5 7. Se você fizer o produto de todos os fatores dos dois números originais, você obtém: 2 3 3 5 5 5 7.

Se excluirmos os fatores comuns aos números 3 e 5, obtemos um produto da seguinte forma: 2 3 5 5 7 = 1050. Este produto será o nosso LCM para os números 75 e 210.

Exemplo 4

Encontre o LCM dos números 441 e 700 , decompondo ambos os números em fatores primos.

Solução

Vamos encontrar todos os fatores primos dos números dados na condição:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Obtemos duas cadeias de números: 441 = 3 3 7 7 e 700 = 2 2 5 5 7 .

O produto de todos os fatores que participaram da expansão desses números ficará assim: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Vamos encontrar os fatores comuns. Este número é 7. Nós o excluímos do produto geral: 2 2 3 3 5 5 7 7. Acontece que NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Responda: LCM (441, 700) = 44 100.

Vamos dar mais uma formulação do método para encontrar o MMC pela decomposição de números em fatores primos.

Definição 3

Anteriormente, excluímos do número total de fatores comuns a ambos os números. Agora vamos fazer diferente:

  • Vamos decompor os dois números em fatores primos:
  • adicione ao produto dos fatores primos do primeiro número os fatores ausentes do segundo número;
  • obtemos o produto, que será o LCM desejado de dois números.

Exemplo 5

Voltemos aos números 75 e 210 , para os quais já procuramos o LCM em um dos exemplos anteriores. Vamos dividi-los em fatores simples: 75 = 3 5 5 e 210 = 2 3 5 7. Ao produto dos fatores 3, 5 e 5 número 75 adicione os fatores que faltam 2 e 7 números 210. Nós temos: 2 3 5 5 7 . Este é o LCM dos números 75 e 210.

Exemplo 6

É necessário calcular o LCM dos números 84 e 648.

Solução

Vamos decompor os números da condição em fatores primos: 84 = 2 2 3 7 e 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Adicione ao produto dos fatores 2 , 2 , 3 e 7 números 84 fatores ausentes 2 , 3 , 3 e
3 números 648. Recebemos o produto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Este é o mínimo múltiplo comum de 84 e 648.

Responda: LCM (84, 648) = 4536.

Encontrando o LCM de três ou mais números

Independentemente de quantos números estamos lidando, o algoritmo de nossas ações será sempre o mesmo: encontraremos consistentemente o LCM de dois números. Existe um teorema para este caso.

Teorema 1

Suponha que temos inteiros a 1 , a 2 , ... , a k. CON m k desses números é encontrado no cálculo seqüencial m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k).

Agora vamos ver como o teorema pode ser aplicado a problemas específicos.

Exemplo 7

Você precisa calcular o mínimo múltiplo comum dos quatro números 140 , 9 , 54 e 250 .

Solução

Vamos introduzir a notação: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Vamos começar calculando m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Vamos usar o algoritmo euclidiano para calcular o MDC dos números 140 e 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Obtemos: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Portanto, m 2 = 1 260 .

Agora vamos calcular de acordo com o mesmo algoritmo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . No decorrer dos cálculos, obtemos m 3 = 3 780.

Resta-nos calcular m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Agimos de acordo com o mesmo algoritmo. Obtemos m 4 \u003d 94 500.

O LCM dos quatro números da condição de exemplo é 94500 .

Responda: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Como você pode ver, os cálculos são simples, mas bastante trabalhosos. Para economizar tempo, você pode ir para o outro lado.

Definição 4

Oferecemos-lhe o seguinte algoritmo de ações:

  • decompor todos os números em fatores primos;
  • ao produto dos fatores do primeiro número, some os fatores que faltam do produto do segundo número;
  • adicionar os fatores que faltam do terceiro número ao produto obtido na etapa anterior, etc.;
  • o produto resultante será o mínimo múltiplo comum de todos os números da condição.

Exemplo 8

É necessário encontrar o LCM de cinco números 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Solução

Vamos decompor todos os cinco números em fatores primos: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Números primos, que é o número 7, não podem ser fatorados em fatores primos. Tais números coincidem com sua decomposição em fatores primos.

Agora vamos pegar o produto dos fatores primos 2, 2, 3 e 7 do número 84 e adicionar a eles os fatores que faltam no segundo número. Decompomos o número 6 em 2 e 3. Esses fatores já estão no produto do primeiro número. Portanto, os omitimos.

Continuamos a adicionar os multiplicadores que faltam. Voltamo-nos para o número 48, do produto de fatores primos dos quais tomamos 2 e 2. Em seguida, adicionamos um fator simples de 7 do quarto número e fatores de 11 e 13 do quinto. Obtemos: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Este é o mínimo múltiplo comum dos cinco números originais.

Responda: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Encontrando o Mínimo Múltiplo Comum de Números Negativos

Para encontrar o mínimo múltiplo comum de números negativos, esses números devem primeiro ser substituídos por números com o sinal oposto e, em seguida, os cálculos devem ser realizados de acordo com os algoritmos acima.

Exemplo 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) e LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Tais ações são permitidas devido ao fato de que se for aceito que uma e - um- números opostos
então o conjunto dos múltiplos uma coincide com o conjunto dos múltiplos de um número - um.

Exemplo 10

É necessário calcular o MMC de números negativos − 145 e − 45 .

Solução

Vamos mudar os números − 145 e − 45 para seus números opostos 145 e 45 . Agora, usando o algoritmo, calculamos o LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , tendo determinado previamente o GCD usando o algoritmo de Euclides.

Obtemos que o MMC dos números - 145 e − 45 é igual a 1 305 .

Responda: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

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Para entender como calcular o LCM, você deve primeiro determinar o significado do termo "múltiplo".


Um múltiplo de A é um número natural que é divisível por A sem deixar resto. Assim, 15, 20, 25 e assim por diante podem ser considerados múltiplos de 5.


Pode haver um número limitado de divisores de um determinado número, mas há um número infinito de múltiplos.


Um múltiplo comum de números naturais é um número que é divisível por eles sem deixar resto.

Como encontrar o mínimo múltiplo comum de números

O mínimo múltiplo comum (MLC) de números (dois, três ou mais) é o menor número natural que é divisível por todos esses números.


Para encontrar o NOC, você pode usar vários métodos.


Para números pequenos, é conveniente escrever em uma linha todos os múltiplos desses números até encontrar um comum entre eles. Múltiplos são indicados no registro com uma letra maiúscula K.


Por exemplo, múltiplos de 4 podem ser escritos assim:


K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)


K(6) = (12, 18, 24, ...)


Assim, você pode ver que o mínimo múltiplo comum dos números 4 e 6 é o número 24. Essa entrada é realizada da seguinte forma:


LCM(4, 6) = 24


Se os números forem grandes, encontre o múltiplo comum de três ou mais números, então é melhor usar outra maneira de calcular o MMC.


Para completar a tarefa, é necessário decompor os números propostos em fatores primos.


Primeiro você precisa escrever a expansão do maior dos números em uma linha e abaixo dela - o resto.


Na expansão de cada número, pode haver um número diferente de fatores.


Por exemplo, vamos fatorar os números 50 e 20 em fatores primos.




Na expansão do número menor, deve-se sublinhar os fatores que faltam na expansão do primeiro número maior e, em seguida, adicioná-los a ele. No exemplo apresentado, um deuce está faltando.


Agora podemos calcular o mínimo múltiplo comum de 20 e 50.


LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


Assim, o produto dos fatores primos do número maior pelos fatores do segundo número, que não estão incluídos na decomposição do número maior, será o mínimo múltiplo comum.


Para encontrar o MMC de três ou mais números, todos eles devem ser decompostos em fatores primos, como no caso anterior.


Como exemplo, você pode encontrar o mínimo múltiplo comum dos números 16, 24, 36.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


Assim, apenas dois duques da decomposição de dezesseis não foram incluídos na fatoração de um número maior (um está na decomposição de vinte e quatro).


Assim, eles precisam ser adicionados à decomposição de um número maior.


LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


Existem casos especiais de determinação do mínimo múltiplo comum. Portanto, se um dos números puder ser dividido sem deixar resto por outro, o maior desses números será o mínimo múltiplo comum.


Por exemplo, NOCs de doze e vinte e quatro seriam vinte e quatro.


Se for necessário encontrar o mínimo múltiplo comum de números primos que não possuem os mesmos divisores, seu MMC será igual ao seu produto.


Por exemplo, LCM(10, 11) = 110.