Determine as reações da terminação rígida da viga. Determinar as reações dos apoios da viga é uma solução para o problema. Equações de equilíbrio para forças
As reações surgem nos suportes da viga, com a determinação de qual deve-se começar a resolver todos os problemas de cálculo de flexão.
As reações dos apoios são determinadas a partir das equações de equilíbrio (estática), que podem ser representadas em duas versões diferentes:
1) na forma da soma das projeções de todas as forças no eixo x E no, bem como a soma dos momentos de forças (incluindo reações) em relação a qualquer ponto ao longo do eixo da viga:
2) como a soma de todas as forças em um dos eixos coordenados x ou no e duas somas de momentos de forças (incluindo reações) sobre dois pontos situados no eixo da viga:
A escolha de uma ou outra opção para a compilação das equações de equilíbrio, bem como a escolha dos pontos ao longo da direção dos eixos coordenados utilizados na compilação dessas equações, é feita em cada caso específico de forma que, se possível, uma solução conjunta das equações não é executada. Para verificar a exatidão da determinação das reações de suporte, é recomendável substituir seus valores em qualquer equação de equilíbrio que não tenha sido usada antes.
Ao determinar reações, suas direções podem ser escolhidas arbitrariamente. Se as reações no cálculo forem negativas, isso significa que sua direção foi escolhida incorretamente. Nesse caso, no esquema de projeto, a direção inicial das reações é riscada e sua direção oposta é indicada. Nos cálculos subsequentes, os valores da reação são considerados positivos.
No entanto, é possível prever antecipadamente a direção correta das reações com base na linha elástica da viga representada mentalmente após ela ser carregada por forças externas (Fig. A) reação R A tem uma direção para o suporte; ao "pressionar" a viga no suporte (suporte EM) reação RB tem uma direção para longe do suporte.
Figura 8.5 - Para determinar a direção das reações
Considere casos típicos de determinação de reações para os tipos mais simples de cargas.
Se o feixe é influenciado pela intensidade q, conforme mostrado na Fig. 8.6, ao determinar as reações de apoio, a carga é substituída por sua resultante R, igual ao produto da intensidade de carga q pela extensão de sua área de ação eu
Um exemplo de carga contínua uniformemente distribuída é o peso próprio de uma viga ou as cargas geralmente localizadas ao longo de seu comprimento.
Figura 8.6 - Caso de carga uniformemente distribuída na viga
Ponto de aplicação de carga contínua uniformemente distribuída q fica no meio da área em que atua; com uma lei de ação triangular de uma carga distribuída, a resultante é aplicada ao longo de seu centro de gravidade.
Dimensão da intensidade de carga q geralmente expressa em kN/m ou kN/cm.
Considere a sequência de determinação das reações de apoio para o caso de uma carga de viga, mostrada na Fig. 8.7:
1. A direção aceita das reações é mostrada no diagrama de projeto da viga R A E RB surgindo nos suportes. Como a carga externa atua em um plano vertical perpendicular ao eixo da viga, a reação horizontal no suporte articulado A ausente.
2. Como neste caso existem duas reações desconhecidas ( R A E RB), então duas equações são tomadas como equilíbrio para determinar as reações
Ao compilar essas condições de equilíbrio, deve-se adotar a regra dos sinais para os momentos das forças, incluindo as reações. Normalmente, essa regra é aceita para sinais externos (ativos): se os momentos das forças são direcionados no sentido horário, eles são considerados positivos.
Então a primeira condição de equilíbrio (8.4) leva à equação para a reação desconhecida RB(ver fig.8.6)
A reação acabou sendo positiva, portanto sua direção foi aceita como correta.
Da mesma forma, usamos a segunda condição de equilíbrio (8.4), que leva à equação para a segunda reação R A:
Novamente, a reação acabou sendo positiva, portanto, sua direção inicial no esquema de cálculo foi escolhida corretamente.
3. Verificamos a exatidão da determinação das magnitudes das reações usando outra condição de equilíbrio, não utilizada anteriormente
Neste caso, as projeções de forças coincidentes com a direção do eixo no, são considerados positivos e direcionados na direção oposta - negativo.
Então, com base no uso da condição (8.5), temos:
A identidade resultante (0=0) indica a exatidão da determinação dos valores de reação no cálculo da flexão da viga.
Considere outro caso típico de carregamento na forma de uma força concentrada localizada excentricamente R ao longo do comprimento da viga eu(fig.8.7).
Figura 8.7 - Caso de carregamento de uma viga com força concentrada
1. Mostraremos no esquema de cálculo da reação R A E RB. Eles são direcionados, como mencionado acima, para a carga.
2. Determinamos as reações a partir das condições de equilíbrio:
As reações foram positivas, portanto, sua direção inicial no esquema de cálculo foi escolhida corretamente.
Observe ao mesmo tempo que a reação no suporte EM acabou por ser mais do que a reação no suporte A: R B˃R A. Isso decorre do fato de que o poder R está mais perto da base EM, e, portanto, carrega mais.
3. Verifique:
A identidade resultante indica a correção da definição da reação.
Vamos considerar mais um caso de carga de viga em um vão por momento externo concentrado (Fig. 8.8), que ocorre em cálculos práticos de flexão.
| 𝔐 |
Figura 8.8 - Caso de carregamento da viga com momento concentrado
1. Vamos mostrar no esquema de cálculo a direção esperada das reações (a princípio não sabemos se tais direções são tomadas corretamente).
2. As reações são determinadas a partir das equações de equilíbrio:
A reação acabou sendo positiva, portanto, sua posição inicial foi escolhida corretamente.
A reação acabou sendo negativa, o que significa que sua direção foi escolhida incorretamente. Portanto, no esquema de design, riscamos a direção inicialmente (erroneamente) aceita R A e mostre a direção reversa (verdadeira) (consulte a Figura 8.8). Em cálculos posteriores, consideramos a reação R A com a direção correta do positivo.
3. Verifique:
A equação de equilíbrio usada para a viga é satisfeita, o que significa que as reações e suas direções são determinadas corretamente.
Se uma viga em flexão transversal tiver tais apoios que o número total de reações que ocorrem nos apoios não exceda dois, então as reações sempre podem ser determinadas a partir de duas equações de equilíbrio do tipo (8.2). Tais vigas, cujas reações são determinadas a partir dessas equações estáticas, são chamadas de determinado estaticamente feixes. Essas vigas podem ser dos tipos mais simples (Fig. 8.9):
Figura 8.9 - Vigas definidas estaticamente
1) uma viga com uma extremidade rigidamente presa e a outra livre, caso contrário console(fig.8.9, A); 2) vigas articuladas (Fig. 8.9, b e 8.9, V).
As vigas em que o número total de reações de apoio é maior que o número de equações de equilíbrio são chamadas de vigas. estaticamente indeterminado(o cálculo de sua flexão será considerado na Seção 8.10). Para tais vigas, as reações dos apoios são determinadas a partir da solução conjunta das equações da estática e das condições de compatibilidade de deformações.
EXEMPLOS DE RESOLVER PROBLEMAS DE ESTÁTICA
Exemplo 1 Determine as reações dos apoios da viga horizontal a uma determinada carga.
Dado:
Diagrama de vigas (Fig. 1).
P= 20 kN, G= 10 kN, M= 4 kNm, q= 2 kN/m, a= 2m, b\u003d 3 m, .
___________________________________
A E EM.
Arroz. 1
Solução:
Considere o equilíbrio da viga AB(Figura 2).
Um sistema equilibrado de forças é aplicado à viga, consistindo em forças ativas e forças de reação.
Ativo (dadas) forças:
Par de forças com momento M, Onde
Força concentrada substituindo a ação distribuída ao longo do segmento AC intensidade de carga q.
Valor
A linha de ação da força passa pelo meio do segmento AC.
forças de reação (forças desconhecidas):
Substitui a ação da dobradiça móvel descartada (suporte A).
A reação é perpendicular à superfície sobre a qual repousam os rolos da dobradiça móvel.
Substitua a ação da dobradiça fixa descartada (suporte EM).
Componentes da reação cuja direção não é conhecida antecipadamente.
Esquema de design
Arroz. 2
Para o sistema arbitrário plano resultante de forças, três equações de equilíbrio podem ser elaboradas:
O problema é estaticamente determinável, pois o número de forças desconhecidas (,,) - três - é igual ao número de equações de equilíbrio.
Colocamos o sistema de coordenadas XY exatamente A, eixo MACHADO direto ao longo da viga. Para o centro dos momentos de todas as forças escolhemos o ponto EM.
Nós compomos as equações de equilíbrio:
Resolvendo o sistema de equações, encontramos ,,.
Tendo determinado, encontramos a magnitude da força de reação da dobradiça fixa
Para verificar, fazemos uma equação
Se, como resultado da substituição dos dados do problema e das forças de reação encontradas no lado direito dessa igualdade, obtivermos zero, então o problema está resolvido - certo.
Reações encontradas corretamente. A imprecisão se deve ao arredondamento no cálculo.
Responder:
Exemplo 2 Para uma dada estrutura plana, determine as reações dos apoios.
Dado:
Diagrama do quadro fig.3
P= 20 kN, G= 10 kN, M= 4 kNm, q= 2 kN/m, a= 2m, b\u003d 3 m, .
______________________________
Determine as reações dos suportes do pórtico.
Arroz. 3
Solução:
Considere o equilíbrio de um pórtico rígido E PESO(Fig. 4).
Esquema de design
Arroz. 4
O sistema de forças aplicado ao pórtico consiste em forças ativas e forças de reação.
Forças ativas:
Par de forças com momento , , .
, substituir a ação de uma carga distribuída sobre segmentos VD E DE.
A linha de ação da força passa a uma distância do ponto EM.
A linha de ação da força passa pelo meio do segmento DE.
Forças de reação:
Substitui a ação de pinça rígida que restringe qualquer movimento da moldura no plano de desenho.
Um sistema plano arbitrário de forças é aplicado ao pórtico. Podemos escrever três equações de equilíbrio para ele:
, , 
A tarefa é estatisticamente determinável, pois o número de incógnitas também é três - , , .
Vamos compor as equações de equilíbrio, escolhendo o ponto A como centro dos momentos, já que é atravessado pelo maior número de forças desconhecidas.
Resolvendo o sistema de equações, encontramos , , .
Para verificar os resultados obtidos, compomos a equação de momentos em torno do ponto C.
Substituindo todos os valores, obtemos
Reações encontradas corretamente.
Responder:
Exemplo 3. Para uma dada estrutura plana, determine as reações dos apoios.
Dado: versão do esquema de design (Fig. 5);
R 1 = 8 kN; R 2 = 10 kN; q= 12 kN/m; M= 16 kNm; eu= 0,1 m.
Determinar reações em suportes A E EM.
Fig.5
Solução. Substituímos a ação de ligações (suportes) por reações. O número, o tipo (força ou par de forças com um momento), bem como a direção das reações dependem do tipo de apoio. Na estática plana, para cada suporte separadamente, pode-se verificar em quais direções de movimento o determinado suporte proíbe o corpo. Verifique dois deslocamentos mutuamente perpendiculares do corpo em relação ao ponto de referência ( A ou EM) e rotação do corpo no plano de ação das forças externas em relação a esses pontos. Se o deslocamento for proibido, haverá uma reação na forma de uma força nessa direção e, se a rotação for proibida, haverá uma reação na forma de um par de forças com um momento ( M A ou M EM).
Inicialmente, as reações podem ser escolhidas em qualquer direção. Depois de determinar o valor da reação, o sinal de mais indicará que a direção nessa direção está correta e o sinal de menos indicará que a direção correta da reação é oposta à escolhida (por exemplo, não para baixo, mas para cima para força ou seta no sentido horário, e não contra ela para o momento de um par de forças).
Com base no anterior, as reacções nas Figs. 5. Suportado A são dois, pois o suporte proíbe o movimento horizontal e vertical e a rotação em torno do ponto A- permite. Momento M Mas não surge, pois esse suporte articulado não proíbe a rotação do corpo em torno do ponto A. No ponto EM uma reação, pois é proibido mover apenas em uma direção (ao longo da alavanca sem peso bb¢ ).
é substituída pela força concentrada equivalente. Sua linha de ação passa pelo centro de gravidade do diagrama (para um diagrama retangular, o centro de gravidade está na interseção das diagonais, então a força Q passa pelo ponto médio do segmento afetado por q). A magnitude da força Q igual à área do lote, ou seja
Então você precisa escolher os eixos coordenados x e y e decompor todas as forças e reações que não são paralelas aos eixos em componentes paralelas a eles, usando a regra do paralelogramo. A Figura 5 mostra as forças , ,. Neste caso, o ponto de aplicação do resultante e seus componentes devem ser os mesmos. Os próprios componentes podem ser omitidos, pois seus módulos são facilmente expressos em termos do módulo resultante e do ângulo com um dos eixos, que devem ser especificados ou determinados a partir de outros ângulos especificados e mostrados no diagrama. Por exemplo, para força R 2 o módulo da componente horizontal é , e a vertical - .
Agora é possível compor três equações de equilíbrio, e como também existem três reações desconhecidas (,,), seus valores são facilmente encontrados a partir dessas equações. O sinal do valor da reação, conforme mencionado acima, determina a exatidão das direções de reação escolhidas. Para o esquema da fig. 5 equações de projeção de todas as forças no eixo x E y e as equações dos momentos de todas as forças em relação a um ponto A será escrito assim:
Da primeira equação encontramos o valor R B , então o substituímos por seu sinal nas equações de projeção e encontramos os valores das reações x A e No A.
Em conclusão, notamos que é conveniente compor a equação de momentos em relação ao ponto de forma que contenha uma incógnita, ou seja, de modo que duas outras reações desconhecidas intersectem esse ponto. É conveniente escolher os eixos para que um maior número de forças sejam paralelas aos eixos, o que simplifica a compilação das equações de projeção.
Exemplo 4 Para uma dada estrutura composta por duas hastes quebradas, determine as reações dos apoios e a pressão na dobradiça intermediária. COM.
Dado:
Esquema de design (Fig. 6).
P= 20 kN, G= 10 kN, M= 4 kNm, q= 2 kN/m, a= 2m, b\u003d 3 m, .
______________________________________
Determinar as reações dos apoios nos pontos A E EM e pressão na dobradiça intermediária COM.
Arroz. 6
Solução:
Considere o equilíbrio de toda a estrutura (Fig. 7).
A ele estão anexados:
forças ativas,, par de forças com momento M, Onde
forças de reação:
, , , ,
Substitua a ação de beliscar forte;
Substitui a ação do suporte articulado A.
Esquema de design
Arroz. 7
Para o sistema arbitrário plano resultante de forças, podemos compor três equações de equilíbrio, e o número de incógnitas é quatro, , , .
Para que o problema se torne estaticamente determinado, dissecamos a construção por uma conexão interna - uma dobradiça COM e obtemos mais dois esquemas de cálculo (Fig. 8, Fig. 9).
Arroz. 8Fig. 9
Substitua a ação do corpo AC no corpo SO, que é transmitido através da dobradiça COM. Corpo SO transfere sua ação para o corpo AC pela mesma dobradiça COM, É por isso ; , .
Para três esquemas de projeto, podemos somar nove equações de equilíbrio, e o número de incógnitas é seis , , , , , , ou seja, o problema tornou-se estaticamente determinado. Para resolver o problema, usamos a Fig. 8, 9 e fig. 7 serão deixados para verificação.
Corpo Sol(Fig. 8)
Corpo SA(Fig. 9)
4)
5) 
6) 
Resolvemos um sistema de seis equações com seis incógnitas.
Exame:
As reações dos apoios externos nos pontos A e B são encontradas corretamente. A pressão na dobradiça C é calculada pela fórmula
Responder:
, , 
, ,
Os contras significam que as direções devem ser invertidas.
Exemplo 5O projeto consiste em duas partes. Determine em qual método de conexão as partes da estrutura o módulo de reação é o menor e, para esta opção de conexão, determine as reações dos suportes, bem como as conexões COM.
Dado:= 9 kN; = 12kN; = 26 kNm; = 4 kN/m.
O esquema de projeto é mostrado na Fig.10.
Fig.10
Solução:
1) Determinação da reação do suporte A com uma ligação articulada no ponto C.
Considere um sistema de equilíbrio de forças aplicado a toda a estrutura (Fig. 11). Vamos compor a equação dos momentos de forças em relação ao ponto B.
Fig.11
onde kN.
Após substituição de dados e cálculos, a equação (26) assume a forma:
(2)
Obtemos a segunda equação com incógnitas considerando o sistema de forças de equilíbrio aplicadas na parte da estrutura localizada à esquerda da dobradiça COM(Fig. 12):
Arroz. 12
A partir daqui descobrimos que
kN.
Substituindo o valor encontrado na equação (2) encontramos o valor:
Módulo de reação do suporte A com conexão articulada em um ponto COMé igual a:
2) Esquema de cálculo ao conectar partes da estrutura no ponto C com uma vedação deslizante mostrada na fig. 13.
Arroz. 13
Os sistemas de força mostrados na fig. 12 e 13 não diferem entre si. Portanto, a equação (2) permanece válida. Para obter a segunda equação, considere um sistema de equilíbrio de forças aplicado na parte da estrutura localizada à esquerda da vedação deslizante C (Fig. 14).
Arroz. 14
Vamos fazer uma equação de equilíbrio:
e da equação (2) encontramos:
Portanto, o módulo de reação para uma vedação deslizante na dobradiça C é igual a:
Portanto, ao conectar no ponto C com uma vedação deslizante, o módulo de reação do suporte A é menor do que com uma conexão articulada ().
Vamos encontrar as componentes da reação do apoio B e do embutimento deslizante.
Para o lado esquerdo de C
,
As componentes da reação do apoio B e do momento no engaste deslizante serão encontradas a partir das equações de equilíbrio compiladas para o lado direito da estrutura de C.
kN
Responder: Os resultados do cálculo são mostrados na tabela.
|
Momento, kNm |
|||||||
|
X A |
S A |
R A |
XC |
XB |
Y B |
M C |
|
|
Para o circuito na Fig. 11 |
18,4 |
19,9 |
|||||
|
Para o circuito na Fig. 13 |
14,36 |
11,09 |
17,35 |
28,8 |
28,8 |
12,0 |
17,2 |
Exemplo 6
Dado: uma variante do esquema de design (Fig. 15).
R 1 = 14 kN; R 2 = 8 kN; q= 10 kN/m; M= 6 kNm; AB= 0,5 m; Sol= 0,4 m; CD= 0,8 m; DE= 0,3 m; EF= 0,6 m.
Determinar reações em suportes A E F.
Solução. Usando as recomendações do exemplo 3, organizamos as reações nos suportes. Há quatro deles (, , , ). Como na estática plana para um corpo apenas três equações de equilíbrio podem ser compiladas, para determinar as reações é necessário dividir a construção em corpos sólidos separados para que o número de equações e incógnitas coincida. Neste caso, pode ser dividido em dois corpos abcD E DEF. Ao mesmo tempo, no local da divisão, ou seja, no ponto D para cada um dos dois corpos, aparecem reações adicionais, determinadas pelo tipo, número e direção da mesma forma que para os pontos A E F. Além disso, de acordo com a terceira lei de Newton, eles são iguais em valor e direcionados de forma oposta para cada um dos corpos. Portanto, eles podem ser designados pelas mesmas letras (ver Fig. 16).
Arroz. 15
Além disso, como no exemplo 3, substituímos a carga distribuída q força concentrada e encontre seu módulo. Em seguida, selecionamos os eixos coordenados e distribuímos todas as forças na Fig. 15 e 16 em componentes paralelas aos eixos. Depois disso, compomos as equações de equilíbrio para cada um dos corpos. São seis no total e também seis reações desconhecidas (, , , , , ), então o sistema de equações tem solução, e você pode encontrar os módulos, e levando em consideração o sinal do módulo e o correto direção dessas reações (ver exemplo 3).
Arroz. 16. Dividindo uma estrutura em dois corpos em um ponto D, ou seja, no ponto de conexão com uma vedação deslizante (o atrito não é levado em consideração)
É aconselhável escolher a sequência de compilação das equações de forma que a partir de cada subseqüente seja possível determinar uma das reações desejadas. No nosso caso, é conveniente começar pelo corpo DEF, já que temos menos incógnitas para ele. Primeiro, fazemos a equação das projeções no eixo x, de onde encontramos R F. A seguir, compomos as equações das projeções nos eixos no e encontra Y D , e então a equação de momentos em relação a um ponto F e definir M D. Então passamos para o corpo. ABCD. Para ele, você pode primeiro escrever as equações de momentos sobre o ponto A e encontra M A, e então sucessivamente das equações de projeções no eixo para encontrar x A , Y A. Para o segundo corpo, é necessário levar em consideração suas reações Y D, M D , retirando-os da Fig.16, mas os valores dessas reações já serão conhecidos pelas equações do primeiro corpo.
Nesse caso, os valores de todas as reações previamente determinadas são substituídos nas equações subseqüentes com seu sinal. Assim, as equações serão escritas da seguinte forma:
para o corpo DEF
para o corpo ABCD
Em algumas modalidades, o coeficiente de atrito é dado em algum ponto, por exemplo . Isso significa que neste ponto é necessário levar em consideração a força de atrito, onde N A é a reação do plano nesse ponto. Quando uma estrutura é dividida em um ponto onde a força de atrito é levada em consideração, cada um dos dois corpos é afetado por sua própria força de atrito e pela reação do plano (superfície). Eles são direcionados em pares opostos e iguais em valor (assim como as reações na Fig. 16).
Reação N sempre perpendicular ao plano de deslizamento possível dos corpos ou tangente às superfícies no ponto de deslizamento, se não houver plano ali. A força de atrito é direcionada ao longo desta tangente ou ao longo do plano contra a velocidade de deslizamento possível. A fórmula acima para a força de atrito é válida para o caso de equilíbrio limite, quando o deslizamento está prestes a começar (no caso de equilíbrio não limite, a força de atrito é menor que esse valor e seu valor é determinado a partir das equações de equilíbrio) . Assim, nas opções de configuração do equilíbrio limite, levando em consideração a força de atrito, deve-se acrescentar mais uma equação às equações de equilíbrio para um dos corpos. Quando a resistência ao rolamento é levada em consideração e o coeficiente de resistência ao rolamento é fornecido, as equações de balanceamento das rodas são adicionadas (Fig. 17).
No equilíbrio final
Fig.17
Das últimas equações, sabendo G , ,R, pode ser encontrado N,F tr, T para começar a rolar sem escorregar.
Em conclusão, notamos que a divisão da estrutura em corpos separados é realizada no local (ponto) onde ocorre o menor número de reações. Freqüentemente, é um cabo sem peso ou uma alavanca sem peso com dobradiças nas extremidades que conectam dois corpos (Fig. 18).
Arroz. 18
Exemplo 7. moldura rígida ABCD(Fig. 19) tem no ponto A suporte de dobradiça fixa A no ponto b- suporte articulado móvel nos rolos. Todas as cargas atuantes e dimensões são mostradas na figura.
Dado: F=25 kN, =60º , R=18 kN, =75º , M= 50 kNm, = 30° a= 0,5 m
Defina: reações em pontos A E EM , causados por cargas operacionais.
Arroz. 19
Instruções.A tarefa é equilibrar o corpo sob a ação de um sistema arbitrário de forças planas. Ao resolvê-lo, leve em consideração que as tensões de ambos os ramos do fio lançado sobre o bloco, quando o atrito é desprezado, serão iguais. A equação do momento será mais simples (contém menos incógnitas) se a equação for escrita em relação ao ponto onde as linhas de ação de duas reações de ligação se cruzam. Ao calcular o momento da força F muitas vezes é conveniente decompô-lo em componentes F' E F”, para os quais os ombros são facilmente determinados e usam o teorema de Varignon; Então
Solução. 1. Considere o equilíbrio da placa. Desenhar eixos de coordenadas ei e represente as forças que atuam na placa: a força , um par de forças com um momento M, tensão do cabo (módulo T = R) e reações de ligação (a reação de um suporte articulado fixo A representam seus dois componentes, a reação do suporte da dobradiça nos rolos é direcionada perpendicularmente ao plano de referência).
2. Para o sistema de forças plana resultante, vamos compor três equações de equilíbrio. Ao calcular o momento da força em relação a um ponto A usamos o teorema de Varignon, ou seja, expandir os componentes silon F΄ ,F ˝ (, ) e leve em conta que de acordo com o teorema de Varignon: Obtemos:
Substituindo os valores numéricos das quantidades dadas nas equações compiladas e resolvendo essas equações, determinamos as reações desejadas.
Responder: X=-8,5kN; S=-23,3 kN; R= 7,3 kN. Os sinais indicam que as forças X A E S A direção oposta às forças mostradas na Fig. 19.
Exemplo 8 A estrutura rígida A BCD (Fig. 20) tem um suporte articulado fixo no ponto A, e o ponto D está preso a uma haste sem peso. No ponto C, um cabo é amarrado à estrutura, lançado sobre um bloco e carregando uma carga na extremidade com peso P = 20 kN. Um par de forças com momento M = 75 kNm e duas forças F 1 = 10 kN e F 2 = 20 kN atuam sobre a estrutura, formando ângulos com as hastes da estrutura = 30 0 e = 60 0, respectivamente. Ao determinar as dimensões do quadro, tome a=0,2 m . Determine as reações de ligação nos pontos A e D causadas pela ação da carga.
Dado: P \u003d 20 kN, M \u003d 75 kNm, F 1 \u003d 10 kN, F 2 \u003d 20 kN, \u003d 30 0, \u003d 60 0, \u003d 60 0, um = 0,2 m.
Definir: X A, Y A, R D .
Arroz. 20
Instruções. A tarefa é equilibrar o corpo sob a ação de um sistema arbitrário de forças planas. Ao resolvê-lo, deve-se levar em consideração que as tensões de ambos os ramos do fio lançado sobre o bloco, quando o atrito é desprezado, serão iguais. A equação do momento será mais simples (contém menos incógnitas) se tomarmos os momentos sobre o ponto onde as linhas de ação das duas reações de ligação se cruzam. Ao calcular o momento da força muitas vezes é conveniente decompô-lo em componentes E , para o qual os ombros são facilmente determinados e usam o teorema de Varignon; Então
Solução.
1. Considere o equilíbrio do quadro. Desenhar eixos de coordenadas x, y e represente as forças que atuam na estrutura: forças e , um par de forças com um momento M, tensão do cabo (módulo T \u003d P) e a reação das ligações (a reação do suporte da dobradiça fixa A presentes na forma de componentes; o suporte da haste impede o movimento de t. D do quadro na direção ao longo da haste, portanto a reação do suporte atuará na mesma direção).
2. Componha as equações de equilíbrio para o pórtico. Para o equilíbrio de um sistema arbitrário de forças planar, é suficiente que a soma das projeções de todas as forças em cada um dos dois eixos coordenados e a soma algébrica dos momentos de todas as forças relativas a qualquer ponto do plano sejam iguais a zero.
Ao calcular os momentos de forças e em relação ao ponto A usamos o teorema de Varignon, ou seja, decompomos as forças em componentes , ; , 
e leve isso em consideração.
Nós temos:
Substituindo os valores numéricos das quantidades dadas nas equações compiladas e resolvendo essas equações, determinamos as reações desejadas.
Da equação (3) determinamos R D =172,68 kN.
Da equação (1) determinamos X A = -195,52 kN.
Da equação (2) determinamos U A \u003d -81,34 kN.
Os sinais "-" nos valores X A e Y A significam que a verdadeira direção dessas reações é oposta à indicada na figura.
Vamos checar.
desde , então as reações dos apoios são encontradas corretamente.
Responder: X A \u003d -195,52 kN, Y A \u003d -81,34 kN, R D \u003d 172,68 kN.
Exemplo 9 O projeto (Fig. 21) consiste em um quadrado rígido e uma haste, que no ponto C repousam livremente um sobre o outro. As ligações externas impostas à estrutura são: no ponto A - uma fixação rígida, no ponto B - uma dobradiça. A estrutura é afetada por: um par de forças com um momento M = 80 kN m, uma carga de intensidade uniformemente distribuída q=10 kN/m e forças: =15 kN e =25kN. Ao determinar as dimensões da estrutura, tome A\u003d 0,35 m. Determine as reações das ligações nos pontos A, B e C.
Dado: M = 80 kN m, q\u003d 10 kN / m, F 1 \u003d 15 kN, F 2 \u003d 25 kN, A= 0,35 m.
Definir: R A , M A , R B , R C .
Instruções. A tarefa é equilibrar o sistema de corpos sob a ação de um sistema plano de forças. Ao resolvê-lo, você pode considerar primeiro o equilíbrio de todo o sistema e, em seguida, o equilíbrio de um dos corpos do sistema, representando-o separadamente, ou pode dissecar imediatamente o sistema e considerar o equilíbrio de cada um dos corpos separadamente , levando em consideração a lei da igualdade de ação e reação. Nos problemas em que existe uma terminação rígida, deve-se levar em consideração que sua reação é representada por uma força, cujo módulo e direção são desconhecidos, e um par de forças, cujo momento também é desconhecido.
Solução.
V Nós o executamos de acordo com o método acima.
1. Neste problema, estudamos o equilíbrio de um sistema constituído por um quadrado rígido e uma barra.
2. Selecione o sistema de coordenadas HAU (consulte a Fig. 21).
3. As cargas ativas neste sistema são: intensidade de carga distribuída q, , e momento M.
Fig.21
Vamos representar as reações esperadas das ligações no desenho. Como um embutimento rígido (na seção A) impede o movimento desta seção da haste ao longo das direções x E No, bem como a rotação da haste em torno do ponto A, então nesta seção, como resultado da ação do engastamento na haste, as reações , , . Ponto de pivô EM impede que o ponto dado da haste se mova ao longo das direções x E No. Portanto, no ponto EM existem reações , e . No ponto C do apoio da haste sobre o quadrado ocorre a reação da ação do quadrado sobre a haste e a reação da ação da haste sobre o quadrado. Essas reações são direcionadas perpendicularmente ao plano do quadrado, e R C = R ¢ C (de acordo com a lei da igualdade de ação e reação).
1. Resolvemos o problema pelo método de desmembramento. Considere primeiro o equilíbrio da barra Sol(Fig. 21, b). As reações das ligações , , , força e momento atuam na barra. Para o sistema plano de forças resultante, três equações de equilíbrio podem ser compiladas, enquanto a soma dos momentos das forças externas e das reações de ligação é mais conveniente de considerar em relação ao ponto B:
;
;(1)
;
; (2)
Da equação (3) obtemos: R c =132,38 kN.
Da equação (1) obtemos: Х В = -12,99 kN.
Da equação (2) obtemos: Y B = -139,88 kN.
Reação articulada no ponto B:
Agora considere o equilíbrio do quadrado CA (Fig. 21, V). O quadrado é afetado por: reações de ligação, força q. Observe que R / C = R C = 132,38 kN. Para um dado sistema plano de forças, três equações de equilíbrio podem ser elaboradas, enquanto a soma dos momentos das forças será considerada em relação ao ponto C:
;
;(4)
Da equação (4) obtemos: X A = 17,75 kN.
Da equação (5) obtemos: Y A \u003d -143,13 kN.
Da equação (6) obtemos: M A = -91,53 kNm.
Problema resolvido.
E agora, para uma prova clara da importância da escolha correta do ponto em relação ao qual a equação de momentos é compilada, encontramos a soma dos momentos de todas as forças relativas ao ponto A (Fig. 21, V):
A partir desta equação é fácil determinar M A:
MA = -91,53 kNm.
Obviamente, a equação (6) deu o mesmo valor de M A que a equação (7), mas a equação (7) é mais curta e não inclui as reações desconhecidas X A e Y A, portanto, é mais conveniente usá-la.
Responder: R A \u003d 144,22 kN, M A \u003d -91,53 kNm, R B \u003d 140,48 kN, R C \u003d R ¢ C = 132,38 kN.
Exemplo 10. Na Praça abc(), fim A que está rigidamente embutido, no ponto COM haste inclinada DE(Fig. 22, A). A vara tem uma pontaDsuporte articulado fixo, e uma força é aplicada a ele, e ao quadrado - distribuído uniformemente no siteqe um casal com um momento M.
Arroz. 22
D a n o:F=10 kN, M=5 kNm, q = 20 kN/m, A= 0,2 m.
Definir: reações em pontos A , COM, D causados por cargas dadas.
Instruções. A tarefa é equilibrar o sistema de corpos sob a ação de um sistema plano de forças. Ao resolvê-lo, você pode considerar primeiro o equilíbrio de todo o sistema como um todo e, em seguida, o equilíbrio de um dos corpos do sistema, representando-o separadamente, ou dissecar imediatamente o sistema e considerar o equilíbrio de cada um dos corpos separadamente, levando em consideração a lei da igualdade de ação e reação. Nas tarefas em que existe uma terminação rígida, tenha em conta que a sua reação é representada por uma força, cujo módulo e direção são desconhecidos, e um par de forças, cujo momento também é desconhecido.
Solução. 1. Para determinar as reações, dissecamos o sistema e primeiro consideramos o equilíbrio da haste DE(Fig. 22, b). Desenhar eixos de coordenadas XY e represente as forças que atuam na haste: força , reação direcionada perpendicularmente à haste e os componentes e reações da dobradiça D. Para o sistema plano de forças resultante, compomos três equações de equilíbrio:
,;( 1)
Solução
2 . Na terminação, pode ocorrer uma reação, representada por dois: componentes (R sim,R Machado) e momento reativo М A . Traçamos as direções possíveis das reações no diagrama de vigas.
Comente. Se as direções forem escolhidas incorretamente, nos cálculos obtemos valores negativos das reações. Nesse caso, as reações do diagrama devem ser direcionadas na direção oposta, sem repetir o cálculo.
Devido à baixa estatura, que todos os pontos do feixe estão na mesma linha reta; todas as três reações desconhecidas estão ligadas em um ponto. Para resolvê-lo, é conveniente usar o sistema de equações de equilíbrio na primeira forma. Cada equação conterá uma incógnita.
3. Usamos o sistema de equações:
Os sinais das reações obtidas são (+), portanto, as direções das reações são escolhidas corretamente.
3 . Para verificar a exatidão da solução, compomos a equação de momentos em relação ao ponto B.
Substituímos os valores das reações obtidas:
A decisão foi tomada corretamente.
Exemplo 2 Viga dupla com suportes articulados A E EM carregado com poder concentrado F, carga distribuída com intensidade q e um par de forças com um momento T(Fig. 6.8a). Determine as reações dos apoios.
Exercício
Uma viga horizontal de dois apoios é dada. A viga é carregada com forças ativas: concentradas F, distribuído pela intensidade da força q e um par de forças com um momento M(Tabela 2.1 e Figura 2.6).
Objetivo do trabalho – construa um esquema de cálculo da viga, elabore as equações de equilíbrio da viga, determine as reações dos seus apoios e identifique o apoio mais carregado.
Justificativa teórica
Em muitas máquinas e estruturas, existem elementos estruturais projetados principalmente para absorver cargas direcionadas perpendicularmente ao seu eixo. Os esquemas de design de tais elementos (eixos, partes de uma estrutura metálica, etc.) podem ser representados por uma viga. As vigas possuem dispositivos de suporte para transferência de forças e interface com outros elementos.
Os principais tipos de suportes de vigas são articulados-móveis, articulados-fixos e embutidos rígidos.
Articulado - o suporte móvel (Fig. 2.1, a) permite que a viga gire em torno do eixo da dobradiça e o movimento linear por uma pequena distância paralela ao plano de referência. O ponto de aplicação da reação de apoio é o centro da dobradiça. A direção da reação R é perpendicular à superfície de apoio.
Articulada - suporte fixo (Fig. 2.1.6) permite apenas a rotação da viga em torno do eixo da dobradiça. O ponto de aplicação também é o centro da dobradiça. A direção da reação é desconhecida aqui, depende da carga aplicada à viga. Portanto, para tal suporte, duas incógnitas são determinadas - componentes mutuamente perpendiculares R x e Ry da reação do suporte.
A vedação rígida (pinçamento) (Fig. 2.1, c) não permite movimento linear nem rotação. Nesse caso, as incógnitas não são apenas o valor, mas também seu ponto de aplicação. Assim, para determinar a reação de apoio, é necessário encontrar três incógnitas: as componentes R x e Ry ao longo dos eixos coordenados e o momento reativo MR em relação ao centro de gravidade da seção de apoio da viga.
A B C
Fig.2.1
O equilíbrio de uma viga sob a ação de qualquer sistema de forças dadas localizadas no mesmo plano pode ser assegurado por uma fixação rígida ou dois suportes - móveis e fixos. As vigas são chamadas respectivamente de cantilever (Fig. 2.2, a) ou de dois apoios (Fig. 2.2, b)
Fig.2.2
As forças e pares de forças dados agem sobre a viga. As forças de acordo com o método de aplicação são divididas em distribuídas e concentradas. Cargas distribuídas são definidas intensivamente q, N/me comprimento 1, m. Cargas distribuídas uniformemente são convencionalmente representadas como um retângulo no qual setas paralelas indicam em qual direção a carga atua (Fig. 2.3). Em problemas de estática, uma carga uniformemente distribuída pode ser substituída por uma força concentrada resultante Q, numericamente igual ao produto q * 1, aplicada no meio do comprimento e direcionada para a ação q.
Fig.2.3 2.4
Cargas concentradas são aplicadas em um comprimento relativamente curto, portanto, são consideradas aplicadas em um ponto. Se a força concentrada for aplicada em ângulo à viga, para determinar a reação dos suportes, é conveniente decompô-la em dois componentes - F x = Fcos α e F y = F sen α (Fig. 2.4).
As reações dos apoios da viga são determinadas a partir das condições de equilíbrio de um sistema plano de forças localizadas arbitrariamente. Para um sistema plano, três condições de equilíbrio independentes podem ser formuladas:
∑ F x = 0; ∑F iy = 0; ∑Mio = 0 ou
∑M ia = 0; ∑MiB = 0; ∑M iC = 0 ou ) (2.1)
∑M iA = 0; ∑MiB = 0; ∑Fixo = 0.
Onde O, A, B, C são os centros dos momentos.
É racional escolher tais equações de equilíbrio, cada uma das quais incluiria uma reação desconhecida.
ordem de serviço
1. De acordo com a tarefa, descreva a viga e as forças atuantes.
Selecione a localização dos eixos de coordenadas: alinhar o eixo x com uma viga, e o eixo no perpendicular direta ao eixo X.
1. Faça as transformações necessárias: substitua a força inclinada ao eixo da viga em um ângulo a por duas componentes mutuamente perpendiculares e substitua a carga uniformemente distribuída por sua resultante.
2. Solte a viga dos apoios, substituindo sua ação pelas reações dos apoios direcionadas ao longo dos eixos coordenados.
3. Componha as equações de equilíbrio para a viga de modo que a solução para cada uma das três equações seja determinar uma das reações desconhecidas dos apoios.
4. Verifique a exatidão da determinação das reações dos apoios de acordo com a equação que não foi utilizada para resolver os problemas.
5. Faça uma conclusão sobre o suporte mais carregado.
6. Responda às perguntas de segurança.
Perguntas de controle
1. Quantas equações de equilíbrio independentes podem ser elaboradas para um sistema plano de forças paralelas?
2. Quais componentes da reação dos suportes de vigas ocorrem em suportes articulados - móveis, articulados - fixos e fixações rígidas?
3. Que ponto deve ser escolhido como centro do momento para determinar as reações dos apoios?
4. Qual sistema é estaticamente indeterminado?
Exemplo de execução
1.Tarefa:
q = 5 H/m, F = 25 H, M = 2 H*m, α = 60°
2. Conversão de forças dadas:
F x = F cos α = 25cos 60° = 12,500H, F y = F senα = 25 sen60° = 21,625H
Q \u003d q * 1 \u003d 5 * 6 \u003d 30 H.
Fig.2.5
3. Vamos fazer um esquema de cálculo (Fig. 2.5)
4.Equações de equilíbrio e definição de reações de suportes:
a) ∑Mia = 0; -Q *3 – F y * 7,5+ R B * 8,5 – M = 0;
b) ∑M iB =0: - R Ay *8,5 + Q *5,5 + F y *1 - M = 0:
c) ∑F ix =0: R Ax + F x =0: R Ax = - F x = - 12.500H.
5. Verifique:
∑F iy = 0; R Ay \u003d Q - F y + R B \u003d 0; 21,724 - 30 - 21,651 + 29,927 = 0; 0 = 0
O mais carregado é o suporte B - R B \u003d 29,927 N. Carregar no suporte A - R A \u003d
Literatura:
Tabela 2.1
| número da opção | Esquema nº na fig. 2.6 | q , N/m | F, N | M, N m | , graus |
| 4,5 | |||||
| 2,5 | |||||
| 4,5 | |||||
| 3,5 | |||||
| 6,5 | |||||
| 1,5 | |||||
| 0,5 | |||||
A solução de muitos problemas de estática é reduzida à determinação das reações dos suportes, com a ajuda das quais são fixadas vigas e treliças de pontes.
Na engenharia, normalmente existem três tipos de fixações de apoio (exceto as consideradas no § 2º):
1. Suporte articulado móvel (fig. 28, suporte A). A reação de tal suporte é direcionada ao longo da normal à superfície na qual os rolos do suporte móvel repousam.
2. Suporte articulado fixo (Fig. 28, suporte B). Reação 
tal suporte passa pelo eixo da dobradiça e pode ter qualquer direção no plano do desenho. Ao resolver problemas, vamos reagir 
representá-lo como parte 
E 
ao longo das direções dos eixos coordenados. Módulo 
definir pela fórmula 
.
3. Terminação rígida (Fig. 29, a). Considerando a extremidade selada da viga e a parede como um todo, uma vedação rígida é representada como mostrado na Fig. 29, b. Nesse caso, um sistema de forças distribuídas (reações) atua sobre a viga em sua seção transversal do lado da extremidade embutida. Considerando essas forças reduzidas ao centro A da seção, elas podem ser substituídas por uma força 
e um par com um momento desconhecido m A (Fig. 29, a). Força 
pode ser representado por seus componentes 
,
(Fig. 29, b).
Assim, para encontrar a reação de terminação rígida, é necessário determinar três quantidades desconhecidas X A , Y A , m A .
Arroz. 28 Fig. 29
Também notamos que em cálculos de engenharia frequentemente encontramos cargas distribuídas ao longo da superfície de acordo com uma lei ou outra. Considere alguns exemplos de forças distribuídas.
Um sistema plano de forças distribuídas é caracterizado por sua intensidade q, ou seja, o valor da força por unidade de comprimento do segmento carregado. A intensidade é medida em newtons divididos por metros (N/m).
a) Forças uniformemente distribuídas ao longo de um segmento de reta (Fig. 30, a). Para tal sistema, a intensidade q tem um valor constante. Nos cálculos, este sistema de forças pode ser substituído pela resultante 
. Módulo
Q= a q . (33)
Uma força Q é aplicada no meio do segmento AB.
b) Forças distribuídas ao longo de um segmento de reta segundo uma lei linear (Fig. 30, b). Para essas forças, a intensidade q é uma variável que cresce de zero até um valor máximo q m . módulo resultante 
neste caso é determinado pela fórmula
Q=0,5 a q m . (34)
Força aplicada 
na distância A/3 do lado BC do triângulo ABC.
Tarefa 3. Determine as reações do suporte articulado fixo A e do suporte móvel B da viga (Fig. 31), sobre as quais atuam as forças ativas: uma força concentrada conhecida F \u003d 5 kN, aplicada no ponto C em um ângulo de 60 0, e um par de forças com um momento m = 8 kNm.
, um par de forças com um momento m e as reações das ligações 
,
,
(a reação do suporte articulado fixo A é representada por seus dois componentes). Como resultado, temos um sistema arbitrário de forças planas. 3) Vamos desenhar os eixos de coordenadas x, y e compor as condições de equilíbrio (28). Para calcular o momento da força 
, às vezes é conveniente decompô-lo em componentes 
E 
, cujos módulos são F 1 = F cos60 0 = 2,5 kN, F 2 = F cos30 0 = 4,33 kN. Então obtemos:
,
,
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
X A \u003d F 1 \u003d 2,5 kN, Y B \u003d (m + F 2 ∙ 5) / 3 \u003d 9,88 kN, Y A \u003d F 2 - Y B \u003d - 5,55 kN.
O sinal negativo da reação Y A mostra que esta reação é direcionada verticalmente para baixo.
Para verificar, vamos fazer uma equação de momentos relativos ao novo centro, por exemplo, relativos ao ponto B:
5,55∙3 – 8 – 4,33∙2 = – 0,01 ≈ 0.
Tarefa 4. Determine a reação da incorporação da viga em balanço (Fig. 32), sobre a qual atuam as forças ativas: força concentrada F = 6 kN, aplicada no ponto C em um ângulo de 45 0, uma carga uniformemente distribuída com intensidade q = 2 kN / me um par de forças com torque m = 3 kNm.
Solução. 1) Escolhemos o objeto de estudo, ou seja, considere o equilíbrio da viga ABC. 2) Vamos representar as forças externas que atuam na viga: força 
, uma carga uniformemente distribuída com intensidade q, um par de forças com um momento m e reações de terminação, ou seja, três quantidades desconhecidas X A , Y A , m A (a reação de terminação rígida é representada por seus dois componentes X A , Y A , e o par é representado pelo momento desconhecido m A , como na Fig. 29). Força 
dividi-lo em dois componentes 
E 
, cujos módulos são iguais a F 1 \u003d F 2 \u003d F cos45 0 \u003d 4,24 kN, e substituímos a carga distribuída com intensidade q pela força concentrada 
com módulo igual a
Q = 3∙q = 6 kN.
Força 
aplicada no meio do segmento AB. Como resultado, temos um sistema arbitrário de forças planas. 3) Desenhe os eixos coordenados x, y e componha as equações de equilíbrio (2):
,
,
Resolvendo essas equações, encontramos:
X A \u003d F 1 \u003d 4,24 kN, Y A \u003d Q - F 2 \u003d 1,76 kN, m A \u003d Q ∙ 1,5 + m - F 2 ∙ 5 \u003d - 9,2 kNm.
Para verificar, compomos a equação de momentos sobre o ponto C:
, – 9,2 + 21 – 3 – 8,8 = 0.
Tarefa 5. Determine as reações dos suportes A, B, C e a força na dobradiça intermediária D da estrutura composta (Fig. 33), sobre a qual atuam as forças ativas: força concentrada F \u003d 4 kN, aplicada no ponto E em um ângulo de 45 0, intensidade de carga uniformemente distribuída q = 2 kN/m e um par de forças com momento m = 10 kNm.
Solução. Uma das maneiras de resolver os problemas de determinação da reação dos apoios de uma estrutura composta é que a estrutura é dividida em corpos separados e as condições de equilíbrio para cada um dos corpos são feitas separadamente. Vamos usar este método e dividir a construção em duas partes: o AD esquerdo e o DC direito. Como resultado, chegamos ao problema do equilíbrio de dois corpos. Os circuitos de potência do problema são mostrados na fig. 7.8. Para simplificar os cálculos, expandimos a força 
em componentes 
E 
, cujos módulos são iguais a F 1 = F 2 = F cos45 0 = 2,83 kN, e substituiremos a carga distribuída com intensidade q pela força concentrada 
com módulo igual a Q = 10 kN. Força 
aplicado no meio do segmento BD.
Arroz. 34 Fig. 35
A análise dos circuitos de potência acima mostra que eles incluem seis quantidades desconhecidas: X A , Y A , Y B , X D , Y D , Y C .
Uma vez que na fig. 34,35 existem sistemas planos de forças equilibradas, então as condições de equilíbrio (28) podem ser escritas para eles na forma de seis equações algébricas lineares:
Lado esquerdo Lado direito
,
,
,
,
Como o sistema composto de seis equações depende de seis incógnitas X A , Y A , Y B , X D , Y D , Y C , então ele é fechado.
Resolvendo o sistema, encontramos:
X A = – 2,83 kN, Y A = – 0,93 kN, Y B = 11,76 kN, Y C = 2 kN, X D = 0, Y D = 2 kN.
Para verificar, compomos a equação de momentos sobre o ponto D:
2,83∙7 – (– 0,93)∙15 – 11,76∙5 + 10∙2,5 – 10 + 2∙5 = – 0,04 ≈ 0.