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Plus petit commun multiple 2. Comment trouver le plus petit commun multiple de nombres. Trouver le LCM de trois nombres ou plus


Le matériel présenté ci-dessous est une suite logique de la théorie de l'article sous le titre LCM - plus petit commun multiple, définition, exemples, relation entre LCM et GCD. Ici, nous parlerons de trouver le plus petit commun multiple (LCM), et accordez une attention particulière à la résolution d'exemples. Montrons d'abord comment le LCM de deux nombres est calculé en fonction du PGCD de ces nombres. Ensuite, envisagez de trouver le plus petit commun multiple en factorisant les nombres en facteurs premiers. Après cela, nous nous concentrerons sur la recherche du LCM de trois nombres ou plus, et ferons également attention au calcul du LCM des nombres négatifs.

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Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via pgcd

Une façon de trouver le plus petit multiple commun est basée sur la relation entre LCM et GCD. La relation existante entre LCM et GCD vous permet de calculer le plus petit commun multiple de deux entiers positifs via le plus grand commun diviseur connu. La formule correspondante a la forme PPCM(a, b)=a b : PGCM(a, b) . Considérons des exemples de recherche du LCM selon la formule ci-dessus.

Exemple.

Trouvez le plus petit commun multiple des deux nombres 126 et 70.

La solution.

Dans cet exemple a=126 , b=70 . Utilisons la relation entre LCM et GCD exprimée par la formule PPCM(a, b)=a b : PGCM(a, b). Autrement dit, nous devons d'abord trouver le plus grand diviseur commun des nombres 70 et 126, après quoi nous pouvons calculer le LCM de ces nombres selon la formule écrite.

Trouvez pgcd(126, 70) en utilisant l'algorithme d'Euclide : 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , donc pgcd(126, 70)=14 .

Maintenant, nous trouvons le plus petit multiple commun requis : PPCM(126, 70)=126 70 : PGCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Réponse:

PPCM(126, 70)=630 .

Exemple.

Qu'est-ce que LCM(68, 34) ?

La solution.

Car 68 est divisible par 34 , alors pgcd(68, 34)=34 . Calculons maintenant le plus petit commun multiple : PPCM(68, 34)=68 34 : PPCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Réponse:

LCM(68, 34)=68 .

Notez que l'exemple précédent correspond à la règle suivante pour trouver le LCM pour les entiers positifs a et b : si le nombre a est divisible par b , alors le plus petit commun multiple de ces nombres est a .

Trouver le LCM en factorisant des nombres en facteurs premiers

Une autre façon de trouver le multiple le plus commun est basée sur la factorisation des nombres en facteurs premiers. Si nous faisons un produit de tous les facteurs premiers de ces nombres, après quoi nous excluons de ce produit tous les facteurs premiers communs qui sont présents dans les développements de ces nombres, alors le produit résultant sera égal au plus petit commun multiple de ces nombres.

La règle annoncée pour trouver le LCM découle de l'égalité PPCM(a, b)=a b : PGCM(a, b). En effet, le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs impliqués dans les développements des nombres a et b. À son tour, pgcd(a, b) est égal au produit de tous les facteurs premiers qui sont simultanément présents dans les développements des nombres a et b (ce qui est décrit dans la section sur la recherche du pgcd en utilisant la décomposition des nombres en facteurs premiers ).

Prenons un exemple. Sachons que 75=3 5 5 et 210=2 3 5 7 . Composez le produit de tous les facteurs de ces expansions : 2 3 3 5 5 5 7 . Maintenant, nous excluons de ce produit tous les facteurs qui sont présents à la fois dans l'expansion du nombre 75 et dans l'expansion du nombre 210 (ces facteurs sont 3 et 5), alors le produit prendra la forme 2 3 5 5 7 . La valeur de ce produit est égale au plus petit commun multiple des nombres 75 et 210, c'est-à-dire LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Exemple.

Après avoir factorisé les nombres 441 et 700 en facteurs premiers, trouvez le plus petit commun multiple de ces nombres.

La solution.

Décomposons les nombres 441 et 700 en facteurs premiers :

Nous obtenons 441=3 3 7 7 et 700=2 2 5 5 7 .

Faisons maintenant un produit de tous les facteurs impliqués dans les expansions de ces nombres : 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Excluons de ce produit tous les facteurs qui sont simultanément présents dans les deux expansions (il n'y en a qu'un seul - c'est le nombre 7) : 2 2 3 3 5 5 7 7 . De cette façon, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Réponse:

LCM(441, 700)= 44 100 .

La règle pour trouver le LCM en utilisant la décomposition des nombres en facteurs premiers peut être formulée un peu différemment. Si nous ajoutons les facteurs manquants de l'expansion du nombre b aux facteurs de l'expansion du nombre a, alors la valeur du produit résultant sera égale au plus petit commun multiple des nombres a et b.

Par exemple, prenons tous les mêmes nombres 75 et 210, leurs développements en facteurs premiers sont les suivants : 75=3 5 5 et 210=2 3 5 7 . Aux facteurs 3, 5 et 5 issus de la décomposition du nombre 75, on ajoute les facteurs manquants 2 et 7 issus de la décomposition du nombre 210, on obtient le produit 2 3 5 5 7 , dont la valeur est LCM(75 , 210) .

Exemple.

Trouvez le plus petit commun multiple de 84 et 648.

La solution.

On obtient d'abord la décomposition des nombres 84 et 648 en facteurs premiers. Ils ressemblent à 84=2 2 3 7 et 648=2 2 2 3 3 3 3 . Aux facteurs 2 , 2 , 3 et 7 issus de la décomposition du nombre 84 on ajoute les facteurs manquants 2 , 3 , 3 et 3 issus de la décomposition du nombre 648 , on obtient le produit 2 2 2 3 3 3 3 7 , qui est égal à 4 536 . Ainsi, le plus petit multiple commun souhaité des nombres 84 et 648 est 4 536.

Réponse:

LCM(84, 648)=4 536 .

Trouver le LCM de trois nombres ou plus

Le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus peut être trouvé en trouvant successivement le PPCM de deux nombres. Rappelez-vous le théorème correspondant, qui donne un moyen de trouver le LCM de trois nombres ou plus.

Théorème.

Soient donnés des entiers positifs a 1 , a 2 , …, a k , le plus petit commun multiple m k de ces nombres se trouve dans le calcul séquentiel m 2 = PPCM (a 1 , a 2) , m 3 = PPCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Considérons l'application de ce théorème sur l'exemple de la recherche du plus petit commun multiple de quatre nombres.

Exemple.

Trouvez le LCM des quatre nombres 140 , 9 , 54 et 250 .

La solution.

Dans cet exemple a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

On trouve d'abord m 2 \u003d LCM (un 1, un 2) \u003d LCM (140, 9). Pour ce faire, en utilisant l'algorithme euclidien, on détermine pgcd(140, 9) , on a 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , donc pgcd( 140, 9)=1 , d'où PPCM(140, 9)=140 9 : PPCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Autrement dit, m 2 =1 260 .

Maintenant, nous trouvons m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Calculons-le par pgcd(1 260, 54) , qui est également déterminé par l'algorithme d'Euclide : 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Alors pgcd(1 260, 54)=18 , d'où LCM(1 260, 54)= 1 260 54:pgcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Soit m 3 \u003d 3 780.

Reste à trouver m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Pour ce faire, on trouve PGCD(3 780, 250) en utilisant l'algorithme d'Euclide : 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Donc, pgcd(3 780, 250)=10 , d'où pgcd(3 780, 250)= 3 780 250:pgcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Soit m 4 \u003d 94 500.

Ainsi, le plus petit multiple commun des quatre nombres originaux est 94 500.

Réponse:

LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.

Dans de nombreux cas, le plus petit multiple commun de trois nombres ou plus est facilement trouvé en utilisant des factorisations premières de nombres donnés. Dans ce cas, la règle suivante doit être suivie. Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres est égal au produit qui se compose comme suit : les facteurs manquants du développement du deuxième nombre sont ajoutés à tous les facteurs du développement du premier nombre, les facteurs manquants du développement de le troisième nombre est ajouté aux facteurs obtenus, et ainsi de suite.

Considérons un exemple de recherche du plus petit commun multiple en utilisant la décomposition de nombres en facteurs premiers.

Exemple.

Trouvez le plus petit commun multiple de cinq nombres 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

La solution.

Premièrement, on obtient les développements de ces nombres en facteurs premiers : 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 facteurs premiers) et 143=11 13 .

Pour trouver le LCM de ces nombres, aux facteurs du premier nombre 84 (ils sont 2 , 2 , 3 et 7 ) vous devez ajouter les facteurs manquants de l'expansion du deuxième nombre 6 . Le développement du nombre 6 ne contient pas de facteurs manquants, puisque 2 et 3 sont déjà présents dans le développement du premier nombre 84 . En plus des facteurs 2 , 2 , 3 et 7 , nous ajoutons les facteurs manquants 2 et 2 du développement du troisième nombre 48 , nous obtenons un ensemble de facteurs 2 , 2 , 2 , 2 , 3 et 7 . Il n'est pas nécessaire d'ajouter des facteurs à cet ensemble à l'étape suivante, puisque 7 y est déjà contenu. Enfin, aux facteurs 2 , 2 , 2 , 2 , 3 et 7 on ajoute les facteurs manquants 11 et 13 du développement du nombre 143 . On obtient le produit 2 2 2 2 3 7 11 13 , qui est égal à 48 048 .

Un multiple d'un nombre est un nombre qui est divisible par un nombre donné sans reste. Le plus petit commun multiple (LCM) d'un groupe de nombres est le plus petit nombre qui est également divisible par chaque nombre du groupe. Pour trouver le plus petit multiple commun, vous devez trouver les facteurs premiers des nombres donnés. En outre, le LCM peut être calculé à l'aide d'un certain nombre d'autres méthodes applicables à des groupes de deux nombres ou plus.

Pas

Une série de multiples

    Regardez ces chiffres. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsqu'on lui donne deux nombres qui sont tous deux inférieurs à 10. Si de grands nombres sont donnés, utilisez une méthode différente.

    • Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple des nombres 5 et 8. Ce sont de petits nombres, donc cette méthode peut être utilisée.

  1. Un multiple d'un nombre est un nombre qui est divisible par un nombre donné sans reste. Plusieurs nombres peuvent être trouvés dans la table de multiplication.

    • Par exemple, les nombres multiples de 5 sont : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. Écrivez une série de nombres qui sont des multiples du premier nombre. Faites cela sous des multiples du premier nombre pour comparer deux rangées de nombres.

    • Par exemple, les nombres multiples de 8 sont : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 et 64.

  3. Trouvez le plus petit nombre qui apparaît dans les deux séries de multiples. Vous devrez peut-être écrire de longues séries de multiples pour trouver le total. Le plus petit nombre qui apparaît dans les deux séries de multiples est le plus petit multiple commun.

    • Par exemple, le plus petit nombre qui apparaît dans la série des multiples de 5 et 8 est 40. Par conséquent, 40 est le plus petit commun multiple de 5 et 8.

    Factorisation première

    1. Regardez ces chiffres. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsqu'on donne deux nombres qui sont tous deux supérieurs à 10. Si des nombres plus petits sont donnés, utilisez une méthode différente.

      • Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple des nombres 20 et 84. Chacun des nombres est supérieur à 10, cette méthode peut donc être utilisée.

    2. Factoriser premier numéro. Autrement dit, vous devez trouver de tels nombres premiers, une fois multipliés, vous obtenez un nombre donné. Après avoir trouvé les facteurs premiers, écrivez-les sous forme d'égalité.

      Décomposez le deuxième nombre en facteurs premiers. Faites cela de la même manière que vous avez factorisé le premier nombre, c'est-à-dire trouvez des nombres premiers qui, une fois multipliés, obtiendront ce nombre.

      Notez les facteurs communs aux deux nombres.Écrivez ces facteurs sous la forme d'une opération de multiplication. Au fur et à mesure que vous écrivez chaque facteur, rayez-le dans les deux expressions (expressions qui décrivent la décomposition de nombres en facteurs premiers).

      Ajoutez les facteurs restants à l'opération de multiplication. Ce sont des facteurs qui ne sont pas barrés dans les deux expressions, c'est-à-dire des facteurs qui ne sont pas communs aux deux nombres.

      Calculer le plus petit commun multiple. Pour ce faire, multipliez les nombres dans l'opération de multiplication écrite.

    Trouver des diviseurs communs

      Dessinez une grille comme vous le feriez pour un jeu de tic-tac-toe. Une telle grille se compose de deux lignes parallèles qui se coupent (à angle droit) avec deux autres lignes parallèles. Cela se traduira par trois lignes et trois colonnes (la grille ressemble beaucoup au signe #). Écrivez le premier nombre dans la première ligne et la deuxième colonne. Écrivez le deuxième nombre dans la première ligne et la troisième colonne.

      • Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple de 18 et 30. Écrivez 18 dans la première ligne et la deuxième colonne, et écrivez 30 dans la première ligne et la troisième colonne.

    1. Trouver le diviseur commun aux deux nombres. Notez-le dans la première ligne et la première colonne. Il est préférable de chercher des diviseurs premiers, mais ce n'est pas une condition préalable.

      • Par exemple, 18 et 30 sont des nombres pairs, donc leur diviseur commun est 2. Écrivez donc 2 dans la première ligne et la première colonne.

    2. Divisez chaque nombre par le premier diviseur.Écris chaque quotient sous le nombre correspondant. Le quotient est le résultat de la division de deux nombres.

      Trouver un diviseur commun aux deux quotients. S'il n'y a pas de tel diviseur, sautez les deux étapes suivantes. Sinon, notez le diviseur dans la deuxième ligne et la première colonne.

      • Par exemple, 9 et 15 sont divisibles par 3, alors écrivez 3 dans la deuxième ligne et la première colonne.

    3. Divisez chaque quotient par le second diviseur.Écrivez chaque résultat de division sous le quotient correspondant.

      Si nécessaire, complétez la grille avec des cellules supplémentaires. Répétez les étapes ci-dessus jusqu'à ce que les quotients aient un diviseur commun.

      Encerclez les chiffres de la première colonne et de la dernière rangée de la grille. Ensuite, écrivez les nombres en surbrillance comme une opération de multiplication.

    Algorithme d'Euclide

      Rappelez-vous la terminologie associée à l'opération de division. Le dividende est le nombre qui est divisé. Le diviseur est le nombre par lequel diviser. Le quotient est le résultat de la division de deux nombres. Le reste est le nombre restant lorsque deux nombres sont divisés.

      Écrivez une expression qui décrit l'opération de division avec un reste. Expression: dividende = diviseur × quotient + reste (\displaystyle (\text(dividende))=(\text(diviseur))\times (\text(quotient))+(\text(reste))). Cette expression sera utilisée pour écrire l'algorithme d'Euclide et trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres.

      Considérez le plus grand des deux nombres comme le dividende. Considérez le plus petit des deux nombres comme diviseur. Pour ces nombres, écrivez une expression qui décrit l'opération de division avec un reste.

      Transformez le premier diviseur en un nouveau dividende. Utilisez le reste comme nouveau diviseur. Pour ces nombres, écrivez une expression qui décrit l'opération de division avec un reste.

Continuons la discussion sur le plus petit commun multiple que nous avons commencée dans la section LCM - Least Common Multiple, Definition, Examples. Dans cette rubrique, nous examinerons les moyens de trouver le LCM pour trois nombres ou plus, nous analyserons la question de savoir comment trouver le LCM d'un nombre négatif.

Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via pgcd

Nous avons déjà établi la relation entre le plus petit commun multiple et le plus grand diviseur commun. Apprenons maintenant à définir le LCM via le GCD. Voyons d'abord comment procéder pour les nombres positifs.

Définition 1

Vous pouvez trouver le plus petit commun multiple par le plus grand diviseur commun en utilisant la formule LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Exemple 1

Il faut trouver le LCM des nombres 126 et 70.

La solution

Prenons a = 126 , b = 70 . Remplacez les valeurs dans la formule de calcul du plus petit commun multiple par le plus grand diviseur commun LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Trouve le PGCD des nombres 70 et 126. Pour cela nous avons besoin de l'algorithme d'Euclide : 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , donc pgcd (126 , 70) = 14 .

Calculons le LCM : LCM (126, 70) = 126 70 : PGCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.

Réponse: LCM (126, 70) = 630.

Exemple 2

Trouvez le nok des nombres 68 et 34.

La solution

GCD dans ce cas est facile à trouver, puisque 68 est divisible par 34. Calculez le plus petit commun multiple en utilisant la formule : LCM (68, 34) = 68 34 : GCD (68, 34) = 68 34 : 34 = 68.

Réponse: PPCM(68, 34) = 68.

Dans cet exemple, nous avons utilisé la règle pour trouver le plus petit commun multiple des entiers positifs a et b : si le premier nombre est divisible par le second, alors le PPCM de ces nombres sera égal au premier nombre.

Trouver le LCM en factorisant des nombres en facteurs premiers

Voyons maintenant un moyen de trouver le LCM, qui est basé sur la décomposition des nombres en facteurs premiers.

Définition 2

Pour trouver le plus petit multiple commun, nous devons effectuer un certain nombre d'étapes simples :

  • nous formons le produit de tous les facteurs premiers des nombres pour lesquels nous devons trouver le PPCM ;
  • nous excluons tous les facteurs premiers de leurs produits obtenus ;
  • le produit obtenu après élimination des facteurs premiers communs sera égal au PPCM des nombres donnés.

Cette façon de trouver le plus petit commun multiple est basée sur l'égalité PPCM (a , b) = a b : PGCD (a , b) . Si vous regardez la formule, cela deviendra clair: le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs impliqués dans l'expansion de ces deux nombres. Dans ce cas, le PGCD de deux nombres est égal au produit de tous les facteurs premiers présents simultanément dans les factorisations de ces deux nombres.

Exemple 3

Nous avons deux nombres 75 et 210 . Nous pouvons les factoriser comme ceci : 75 = 3 5 5 et 210 = 2 3 5 7. Si vous faites le produit de tous les facteurs des deux nombres originaux, vous obtenez : 2 3 3 5 5 5 7.

Si l'on exclut les facteurs communs aux deux nombres 3 et 5, on obtient un produit de la forme suivante : 2 3 5 5 7 = 1050. Ce produit sera notre LCM pour les numéros 75 et 210.

Exemple 4

Trouver le LCM des nombres 441 et 700 , en décomposant les deux nombres en facteurs premiers.

La solution

Trouvons tous les facteurs premiers des nombres donnés dans la condition :

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Nous obtenons deux chaînes de nombres : 441 = 3 3 7 7 et 700 = 2 2 5 5 7 .

Le produit de tous les facteurs qui ont participé à l'expansion de ces chiffres ressemblera à : 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Trouvons les facteurs communs. Ce nombre est 7. Nous l'excluons du produit général : 2 2 3 3 5 5 7 7. Il s'avère que NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Réponse: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Donnons une autre formulation de la méthode pour trouver le LCM en décomposant les nombres en facteurs premiers.

Définition 3

Auparavant, nous avons exclu du nombre total de facteurs communs aux deux nombres. Maintenant, nous allons procéder différemment :

  • Décomposons les deux nombres en facteurs premiers :
  • ajouter au produit des facteurs premiers du premier nombre les facteurs manquants du second nombre ;
  • nous obtenons le produit, qui sera le LCM souhaité de deux nombres.

Exemple 5

Revenons aux nombres 75 et 210 , pour lesquels nous avons déjà cherché le LCM dans un des exemples précédents. Décomposons-les en facteurs simples : 75 = 3 5 5 et 210 = 2 3 5 7. Au produit des facteurs 3 , 5 et 5 numéro 75 ajouter les facteurs manquants 2 et 7 numéros 210 . On a: 2 3 5 5 7 . C'est le LCM des nombres 75 et 210.

Exemple 6

Il faut calculer le LCM des nombres 84 et 648.

La solution

Décomposons les nombres de la condition en facteurs premiers : 84 = 2 2 3 7 et 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Ajouter au produit des facteurs 2 , 2 , 3 et 7 nombres 84 facteurs manquants 2 , 3 , 3 et
3 numéros 648 . Nous obtenons le produit 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . C'est le plus petit commun multiple de 84 et 648.

Réponse: LCM (84, 648) = 4536.

Trouver le LCM de trois nombres ou plus

Quel que soit le nombre de nombres auxquels nous avons affaire, l'algorithme de nos actions sera toujours le même : nous trouverons systématiquement le LCM de deux nombres. Il existe un théorème pour ce cas.

Théorème 1

Supposons que nous ayons des nombres entiers une 1 , une 2 , … , une k. CNO mk de ces nombres se trouve dans le calcul séquentiel m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Voyons maintenant comment le théorème peut être appliqué à des problèmes spécifiques.

Exemple 7

Vous devez calculer le plus petit commun multiple des quatre nombres 140 , 9 , 54 et 250 .

La solution

Introduisons la notation: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Commençons par calculer m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Utilisons l'algorithme euclidien pour calculer le PGCD des nombres 140 et 9 : 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . On obtient : PGCD(140, 9) = 1, PPCM(140, 9) = 140 9 : PGCD(140, 9) = 140 9 : 1 = 1260. Par conséquent, m 2 = 1 260 .

Calculons maintenant selon le même algorithme m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Au fil des calculs, on obtient m 3 = 3 780.

Il nous reste à calculer m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Nous agissons selon le même algorithme. Nous obtenons m 4 \u003d 94 500.

Le LCM des quatre nombres de l'exemple de condition est 94500 .

Réponse: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Comme vous pouvez le voir, les calculs sont simples, mais assez laborieux. Pour gagner du temps, vous pouvez aller dans l'autre sens.

Définition 4

Nous vous proposons l'algorithme d'actions suivant :

  • décomposer tous les nombres en facteurs premiers ;
  • au produit des facteurs du premier nombre, ajouter les facteurs manquants du produit du deuxième nombre;
  • ajouter les facteurs manquants du troisième nombre au produit obtenu à l'étape précédente, etc. ;
  • le produit résultant sera le plus petit commun multiple de tous les nombres de la condition.

Exemple 8

Il faut trouver le LCM des cinq nombres 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

La solution

Décomposons les cinq nombres en facteurs premiers : 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Les nombres premiers, qui est le nombre 7, ne peuvent pas être factorisés en facteurs premiers. Ces nombres coïncident avec leur décomposition en facteurs premiers.

Prenons maintenant le produit des facteurs premiers 2, 2, 3 et 7 du nombre 84 et ajoutons-y les facteurs manquants du second nombre. Nous avons décomposé le nombre 6 en 2 et 3. Ces facteurs sont déjà dans le produit du premier nombre. Par conséquent, nous les omettons.

Nous continuons à ajouter les multiplicateurs manquants. On passe au nombre 48, à partir du produit de facteurs premiers dont on prend 2 et 2. Ensuite, nous ajoutons un simple facteur de 7 du quatrième nombre et des facteurs de 11 et 13 du cinquième. Nous obtenons : 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. C'est le plus petit multiple commun des cinq nombres originaux.

Réponse: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Trouver le plus petit commun multiple de nombres négatifs

Afin de trouver le plus petit multiple commun des nombres négatifs, ces nombres doivent d'abord être remplacés par des nombres de signe opposé, puis les calculs doivent être effectués selon les algorithmes ci-dessus.

Exemple 9

PPCM(54, −34) = PPCM(54, 34) et PPCM(−622,−46, −54,−888) = PPCM(622, 46, 54, 888) .

De telles actions sont permises en raison du fait que s'il est admis que un et − un- nombres opposés
alors l'ensemble des multiples un coïncide avec l'ensemble des multiples d'un nombre − un.

Exemple 10

Il faut calculer le LCM des nombres négatifs − 145 et − 45 .

La solution

Changeons les chiffres − 145 et − 45 à leurs opposés 145 et 45 . Maintenant, en utilisant l'algorithme, nous calculons le LCM (145 , 45) = 145 45 : GCD (145 , 45) = 145 45 : 5 = 1 305 , après avoir préalablement déterminé le GCD à l'aide de l'algorithme d'Euclide.

On obtient que le PPCM des nombres − 145 et − 45 équivaut à 1 305 .

Réponse: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

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Pour comprendre comment calculer le LCM, vous devez d'abord déterminer la signification du terme "multiple".


Un multiple de A est un nombre naturel divisible sans reste par A. Ainsi, 15, 20, 25, etc. peuvent être considérés comme des multiples de 5.


Il peut y avoir un nombre limité de diviseurs d'un nombre particulier, mais il existe un nombre infini de multiples.


Un multiple commun de nombres naturels est un nombre qui est divisible par eux sans reste.

Comment trouver le plus petit commun multiple de nombres

Le plus petit commun multiple (LCM) de nombres (deux, trois ou plus) est le plus petit nombre naturel qui est également divisible par tous ces nombres.


Pour trouver le NOC, vous pouvez utiliser plusieurs méthodes.


Pour les petits nombres, il convient d'écrire sur une ligne tous les multiples de ces nombres jusqu'à en trouver un commun entre eux. Les multiples sont indiqués dans la notice par un K majuscule.


Par exemple, les multiples de 4 peuvent s'écrire ainsi :


K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)


K(6) = (12, 18, 24, ...)


Ainsi, vous pouvez voir que le plus petit commun multiple des nombres 4 et 6 est le nombre 24. Cette saisie s'effectue comme suit :


PPCM(4, 6) = 24


Si les nombres sont grands, trouvez le multiple commun de trois nombres ou plus, alors il est préférable d'utiliser une autre façon de calculer le LCM.


Pour terminer la tâche, il est nécessaire de décomposer les nombres proposés en facteurs premiers.


Vous devez d'abord écrire l'expansion du plus grand des nombres sur une ligne, et en dessous - le reste.


Dans l'expansion de chaque nombre, il peut y avoir un nombre différent de facteurs.


Par exemple, factorisons les nombres 50 et 20 en facteurs premiers.




Dans le développement du plus petit nombre, il faut souligner les facteurs qui manquent dans le développement du premier plus grand nombre, puis les y ajouter. Dans l'exemple présenté, il manque un deux.


Nous pouvons maintenant calculer le plus petit commun multiple de 20 et 50.


PPCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


Ainsi, le produit des facteurs premiers du plus grand nombre et des facteurs du deuxième nombre, qui ne sont pas inclus dans la décomposition du plus grand nombre, sera le plus petit commun multiple.


Pour trouver le LCM de trois nombres ou plus, tous doivent être décomposés en facteurs premiers, comme dans le cas précédent.


Par exemple, vous pouvez trouver le plus petit commun multiple des nombres 16, 24, 36.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


Ainsi, seuls deux deux de la décomposition de seize n'ont pas été inclus dans la factorisation d'un plus grand nombre (un est dans la décomposition de vingt-quatre).


Ainsi, ils doivent être ajoutés à la décomposition d'un plus grand nombre.


LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


Il existe des cas particuliers de détermination du plus petit commun multiple. Ainsi, si l'un des nombres peut être divisé sans reste par un autre, alors le plus grand de ces nombres sera le plus petit multiple commun.


Par exemple, les CNO de douze et vingt-quatre seraient vingt-quatre.


S'il est nécessaire de trouver le plus petit commun multiple de nombres premiers qui n'ont pas les mêmes diviseurs, alors leur PPCM sera égal à leur produit.


Par exemple, PPCM(10, 11) = 110.