Totul despre tuningul mașinii

Cel mai mic multiplu comun 2. Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor. Găsirea LCM a trei sau mai multe numere


Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articol la rubrica LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, relație dintre LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și acordați o atenție deosebită rezolvării exemplelor. Să arătăm mai întâi cum se calculează LCM a două numere în funcție de MCD-ul acestor numere. Apoi, luați în considerare găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceea, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculului LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Relația existentă dintre LCM și GCD vă permite să calculați cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive prin cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare are forma LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Luați în considerare exemple de găsire a LCM conform formulei de mai sus.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al celor două numere 126 și 70.

Soluţie.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim relația dintre LCM și GCD exprimată prin formula LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere conform formulei scrise.

Găsiți mcd(126, 70) folosind algoritmul lui Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , deci mcd(126, 70)=14 .

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: LCM(126; 70)=126 70: MCM(126; 70)= 126 70:14=630.

Răspuns:

LCM(126, 70)=630.

Exemplu.

Ce este LCM(68, 34)?

Soluţie.

pentru că 68 este divizibil egal cu 34 , apoi mcd(68, 34)=34 . Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68.

Răspuns:

LCM(68, 34)=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.

Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă facem un produs al tuturor factorilor primi ai acestor numere, după care excludem din acest produs toți factorii primi comuni care sunt prezenți în expansiunile acestor numere, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Din egalitate rezultă regula anunțată pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în expansiunile numerelor a și b. La rândul său, mcd(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (care este descrisă în secțiunea despre găsirea mcd folosind descompunerea numerelor în factori primi). ).

Să luăm un exemplu. Să știm că 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . Alcătuiți produsul tuturor factorilor acestor expansiuni: 2 3 3 5 5 5 7 . Acum excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2 3 5 5 7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 210, adică LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Exemplu.

După descompunerea numerelor 441 și 700 în factori primi, găsește cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Soluţie.

Să descompunem numerele 441 și 700 în factori primi:

Se obține 441=3 3 7 7 și 700=2 2 5 5 7 .

Acum să facem un produs al tuturor factorilor implicați în expansiunile acestor numere: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . În acest fel, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Răspuns:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind descompunerea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă adunăm factorii lipsă din extinderea numărului b la factorii din extinderea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b..

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, expansiunile lor în factori primi sunt după cum urmează: 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . La factorii 3, 5 și 5 din descompunerea numărului 75, adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din descompunerea numărului 210, obținem produsul 2 3 5 5 7 , a cărui valoare este LCM(75 , 210).

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Soluţie.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2 2 3 7 și 648=2 2 2 3 3 3 3 . La factorii 2 , 2 , 3 și 7 din descompunerea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2 , 3 , 3 și 3 din descompunerea numărului 648 , obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 , care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al numerelor 84 și 648 este 4.536.

Răspuns:

LCM(84, 648)=4 536 .

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea succesivă a LCM a două numere. Amintiți-vă teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Teorema.

Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, a k, cel mai mic multiplu comun m k dintre aceste numere se găsește în calculul succesiv m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Luați în considerare aplicarea acestei teoreme pe exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Exemplu.

Aflați LCM a celor patru numere 140 , 9 , 54 și 250 .

Soluţie.

În acest exemplu a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Mai întâi găsim m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm mcd(140, 9) , avem 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , prin urmare, mcd( 140, 9)=1, de unde LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1260. Adică m2 =1 260 .

Acum găsim m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Să o calculăm prin mcd(1 260, 54) , care este determinată și de algoritmul Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Atunci mcd(1 260, 54)=18 , de unde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Adică m 3 \u003d 3 780.

Rămas de găsit m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3 780, 250) folosind algoritmul Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prin urmare, mcd(3 780, 250)=10, de unde mcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Adică m 4 \u003d 94 500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

Răspuns:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

În multe cazuri, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere este găsit în mod convenabil utilizând descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, trebuie respectată următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din expansiunea primului număr. al treilea număr se adaugă factorilor obținuți și așa mai departe.

Luați în considerare un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind descompunerea numerelor în factori primi.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Soluţie.

Mai întâi, obținem expansiunile acestor numere în factori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 factori primi) și 143=11 13 .

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2 , 2 , 3 și 7 ) trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6 . Extinderea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în extinderea primului număr 84 . Pe lângă factorii 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48 , obținem un set de factori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 . Nu este nevoie să adăugați factori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din expansiunea numărului 143 . Obținem produsul 2 2 2 2 3 7 11 13 , care este egal cu 48 048 .

Un multiplu al unui număr este un număr care este divizibil cu un număr dat fără rest. Cel mai mic multiplu comun (LCM) al unui grup de numere este cel mai mic număr care este divizibil egal cu fiecare număr din grup. Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să găsiți factorii primi ai numerelor date. De asemenea, LCM poate fi calculat folosind o serie de alte metode care sunt aplicabile la grupuri de două sau mai multe numere.

Pași

O serie de multipli

    Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere care sunt ambele mai mici de 10. Dacă sunt date numere mari, utilizați o metodă diferită.

    • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 5 și 8. Acestea sunt numere mici, așa că această metodă poate fi folosită.

  1. Un multiplu al unui număr este un număr care este divizibil cu un număr dat fără rest. Numerele multiple pot fi găsite în tabelul înmulțirii.

    • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 5 sunt: ​​5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. Notează o serie de numere care sunt multipli ai primului număr. Faceți acest lucru sub multiplii primului număr pentru a compara două rânduri de numere.

    • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 8 sunt: ​​8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 și 64.

  3. Găsiți cel mai mic număr care apare în ambele serii de multipli. Poate fi necesar să scrieți serii lungi de multipli pentru a găsi totalul. Cel mai mic număr care apare în ambele serii de multipli este cel mai mic multiplu comun.

    • De exemplu, cel mai mic număr care apare în seria multiplilor lui 5 și 8 este 40. Prin urmare, 40 este cel mai mic multiplu comun al lui 5 și 8.

    factorizare primara

    1. Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere care sunt ambele mai mari decât 10. Dacă sunt date numere mai mici, utilizați o metodă diferită.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 20 și 84. Fiecare dintre numere este mai mare decât 10, așa că această metodă poate fi folosită.

    2. Factorizați primul număr. Adică, trebuie să găsiți astfel de numere prime, atunci când sunt multiplicate, obțineți un număr dat. După ce ați găsit factorii primi, notați-i ca o egalitate.

      Factorizați al doilea număr în factori primi. Faceți acest lucru în același mod în care ați factorizat primul număr, adică găsiți astfel de numere prime care, atunci când sunt înmulțite, vor obține acest număr.

      Notați factorii comuni ambelor numere. Scrieți factori precum o operație de înmulțire. Pe măsură ce notați fiecare factor, tăiați-l în ambele expresii (expresii care descriu descompunerea numerelor în factori primi).

      Adăugați factorii rămași la operația de înmulțire. Aceștia sunt factori care nu sunt tăiați în ambele expresii, adică factori care nu sunt comuni ambelor numere.

      Calculați cel mai mic multiplu comun. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numerele în operația de înmulțire scrisă.

    Găsirea divizorilor comuni

      Desenați o grilă așa cum ați face pentru un joc de tic-tac-toe. O astfel de grilă este formată din două linii paralele care se intersectează (în unghi drept) cu alte două linii paralele. Acest lucru va avea ca rezultat trei rânduri și trei coloane (grila seamănă foarte mult cu semnul #). Scrieți primul număr în primul rând și a doua coloană. Scrieți al doilea număr în primul rând și a treia coloană.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 30. Scrieți 18 în primul rând și a doua coloană și scrieți 30 în primul rând și a treia coloană.

    1. Aflați divizorul comun ambelor numere. Notează-l pe primul rând și pe prima coloană. Este mai bine să cauți divizori primi, dar aceasta nu este o condiție prealabilă.

      • De exemplu, 18 și 30 sunt numere pare, deci divizorul lor comun este 2. Așa că scrieți 2 în primul rând și prima coloană.

    2. Împărțiți fiecare număr la primul divizor. Scrieți fiecare coeficient sub numărul corespunzător. Coeficientul este rezultatul împărțirii a două numere.

      Găsiți un divizor comun ambilor coeficienti. Dacă nu există un astfel de divizor, săriți peste următorii doi pași. În caz contrar, notați divizorul în al doilea rând și prima coloană.

      • De exemplu, 9 și 15 sunt divizibile cu 3, așa că scrieți 3 în al doilea rând și în prima coloană.

    3. Împărțiți fiecare coeficient la al doilea divizor. Scrieți fiecare rezultat al împărțirii sub câtul corespunzător.

      Dacă este necesar, completați grila cu celule suplimentare. Repetați pașii de mai sus până când coeficientii au un divizor comun.

      Încercuiește numerele din prima coloană și ultimul rând al grilei. Apoi scrieți numerele evidențiate ca operație de înmulțire.

    algoritmul lui Euclid

      Amintiți-vă terminologia asociată cu operația de divizare. Dividendul este numărul care este împărțit. Divizorul este numărul cu care se împarte. Coeficientul este rezultatul împărțirii a două numere. Restul este numărul rămas când două numere sunt împărțite.

      Scrieți o expresie care descrie operația de împărțire cu un rest. Expresie: dividend = divizor × cot + rest (\displaystyle (\text(dividend))=(\text(divisor))\times (\text(quotient))+(\text(remainder))). Această expresie va fi folosită pentru a scrie algoritmul Euclid și pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere.

      Tratează cel mai mare dintre cele două numere drept dividend. Luați în considerare cel mai mic dintre cele două numere ca divizor. Pentru aceste numere, notați o expresie care descrie operația de împărțire cu un rest.

      Transformă primul divizor într-un nou dividend. Utilizați restul ca nou divizor. Pentru aceste numere, notați o expresie care descrie operația de împărțire cu un rest.

Să continuăm discuția despre cel mai mic multiplu comun pe care l-am început în secțiunea LCM - Least Common Multiple, Definiție, Exemple. În acest subiect, vom analiza modalități de a găsi LCM pentru trei numere sau mai multe, vom analiza întrebarea cum să găsim LCM-ul unui număr negativ.

Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd

Am stabilit deja relația dintre cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun. Acum să învățăm cum să definim LCM prin GCD. Mai întâi, să ne dăm seama cum să facem acest lucru pentru numerele pozitive.

Definiția 1

Puteți găsi cel mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun folosind formula LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Exemplul 1

Este necesar să găsiți LCM al numerelor 126 și 70.

Soluţie

Să luăm a = 126 , b = 70 . Înlocuiți valorile din formula pentru calcularea celui mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .

Găsește MCD al numerelor 70 și 126. Pentru aceasta avem nevoie de algoritmul Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , deci mcd (126 , 70) = 14 .

Să calculăm LCM: LCM (126, 70) = 126 70: MCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Răspuns: LCM (126, 70) = 630.

Exemplul 2

Aflați nok-ul numerelor 68 și 34.

Soluţie

GCD în acest caz este ușor de găsit, deoarece 68 este divizibil cu 34. Calculați cel mai mic multiplu comun folosind formula: LCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Răspuns: LCM(68, 34) = 68.

În acest exemplu, am folosit regula pentru găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor întregi pozitive a și b: dacă primul număr este divizibil cu al doilea, atunci LCM-ul acestor numere va fi egal cu primul număr.

Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

Acum să ne uităm la o modalitate de a găsi LCM, care se bazează pe descompunerea numerelor în factori primi.

Definiția 2

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să parcurgem o serie de pași simpli:

  • alcătuim produsul tuturor factorilor primi ai numerelor pentru care trebuie să aflăm LCM;
  • excludem toți factorii primi din produsele obținute;
  • produsul obţinut în urma eliminării factorilor primi comuni va fi egal cu LCM a numerelor date.

Acest mod de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe egalitatea LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Dacă te uiți la formula, va deveni clar: produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor care sunt implicați în expansiunea acestor două numere. În acest caz, MCD a două numere este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în factorizările acestor două numere.

Exemplul 3

Avem două numere 75 și 210. Le putem factoriza astfel: 75 = 3 5 5și 210 = 2 3 5 7. Dacă faceți produsul tuturor factorilor celor două numere originale, obțineți: 2 3 3 5 5 5 7.

Dacă excludem factorii comuni ambelor numere 3 și 5, obținem un produs de următoarea formă: 2 3 5 5 7 = 1050. Acest produs va fi LCM-ul nostru pentru numerele 75 și 210.

Exemplul 4

Găsiți LCM al numerelor 441 și 700 , descompunând ambele numere în factori primi.

Soluţie

Să găsim toți factorii primi ai numerelor date în condiția:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Obținem două lanțuri de numere: 441 = 3 3 7 7 și 700 = 2 2 5 5 7 .

Produsul tuturor factorilor care au participat la extinderea acestor numere va arăta astfel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Să găsim factorii comuni. Acest număr este 7. Îl excludem din produsul general: 2 2 3 3 5 5 7 7. Se pare că NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Răspuns: LCM (441, 700) = 44100.

Să dăm încă o formulare a metodei de găsire a LCM prin descompunerea numerelor în factori primi.

Definiția 3

Anterior, am exclus din numărul total de factori comuni ambelor numere. Acum o vom face altfel:

  • Să descompunem ambele numere în factori primi:
  • adăugați la produsul factorilor primi ai primului număr factorii lipsă ai celui de-al doilea număr;
  • obținem produsul, care va fi LCM dorit a două numere.

Exemplul 5

Să revenim la numerele 75 și 210 , pentru care am căutat deja LCM într-unul dintre exemplele anterioare. Să le împărțim în factori simpli: 75 = 3 5 5și 210 = 2 3 5 7. La produsul factorilor 3 , 5 și 5 numărul 75 adună factorii lipsă 2 și 7 numerele 210 . Primim: 2 3 5 5 7 . Acesta este LCM al numerelor 75 și 210.

Exemplul 6

Este necesar să se calculeze LCM al numerelor 84 și 648.

Soluţie

Să descompunem numerele din condiție în factori primi: 84 = 2 2 3 7și 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Se adaugă la produsul factorilor 2 , 2 , 3 și 7 numerele 84 lipsesc factorii 2 , 3 , 3 și
3 numerele 648 . Primim produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Acesta este cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Răspuns: LCM (84, 648) = 4536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Indiferent de câte numere avem de-a face, algoritmul acțiunilor noastre va fi întotdeauna același: vom găsi în mod constant LCM a două numere. Există o teoremă pentru acest caz.

Teorema 1

Să presupunem că avem numere întregi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k dintre aceste numere se găsește în calculul secvenţial m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Acum să vedem cum poate fi aplicată teorema unor probleme specifice.

Exemplul 7

Trebuie să calculați cel mai mic multiplu comun al celor patru numere 140 , 9 , 54 și 250 .

Soluţie

Să introducem notația: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Să începem prin a calcula m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Să folosim algoritmul euclidian pentru a calcula GCD-ul numerelor 140 și 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Se obține: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Prin urmare, m 2 = 1 260 .

Acum să calculăm după același algoritm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . În cursul calculelor, obținem m 3 = 3 780.

Rămâne să calculăm m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Acționăm după același algoritm. Obținem m 4 \u003d 94 500.

LCM a celor patru numere din condiția exemplu este 94500.

Răspuns: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

După cum puteți vedea, calculele sunt simple, dar destul de laborioase. Pentru a economisi timp, puteți merge în altă direcție.

Definiția 4

Vă oferim următorul algoritm de acțiuni:

  • descompune toate numerele în factori primi;
  • la produsul factorilor primului număr, se adaugă factorii lipsă din produsul celui de-al doilea număr;
  • adăugați factorii lipsă ai celui de-al treilea număr la produsul obținut în etapa anterioară etc.;
  • produsul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor din condiție.

Exemplul 8

Este necesar să găsiți LCM a cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Soluţie

Să descompunăm toate cele cinci numere în factori primi: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Numerele prime, care este numărul 7, nu pot fi descompuse în factori primi. Astfel de numere coincid cu descompunerea lor în factori primi.

Acum să luăm produsul factorilor primi 2, 2, 3 și 7 ai numărului 84 ​​și să adăugăm la ei factorii lipsă ai celui de-al doilea număr. Am descompus numărul 6 în 2 și 3. Acești factori sunt deja în produsul primului număr. Prin urmare, le omitem.

Continuăm să adăugăm multiplicatorii lipsă. Ne întoarcem la numărul 48, din produsul factorilor primi din care luăm 2 și 2. Apoi adăugăm un factor simplu de 7 din al patrulea număr și factorii de 11 și 13 din al cincilea. Se obține: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Acesta este cel mai mic multiplu comun dintre cele cinci numere originale.

Răspuns: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor negative, aceste numere trebuie mai întâi înlocuite cu numere cu semnul opus, iar apoi calculele trebuie efectuate conform algoritmilor de mai sus.

Exemplul 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) și LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Astfel de acțiuni sunt permise datorită faptului că dacă se acceptă că Ași − a- numere opuse
apoi setul de multipli A coincide cu mulţimea multiplilor unui număr − a.

Exemplul 10

Este necesar să se calculeze LCM al numerelor negative − 145 și − 45 .

Soluţie

Să schimbăm numerele − 145 și − 45 la numerele lor opuse 145 și 45 . Acum, folosind algoritmul, calculăm LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , după ce am determinat anterior GCD folosind algoritmul Euclid.

Obținem că LCM a numerelor − 145 și − 45 egală 1 305 .

Răspuns: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Pentru a înțelege cum să calculați LCM, ar trebui mai întâi să determinați sensul termenului „multiplu”.


Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A fără rest. Astfel, 15, 20, 25 și așa mai departe pot fi considerați multipli ai lui 5.


Poate exista un număr limitat de divizori ai unui anumit număr, dar există un număr infinit de multipli.


Un multiplu comun al numerelor naturale este un număr care este divizibil cu ele fără rest.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor

Cel mai mic multiplu comun (MCM) de numere (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil egal cu toate aceste numere.


Pentru a găsi NOC, puteți utiliza mai multe metode.


Pentru numerele mici, este convenabil să scrieți într-o linie toți multiplii acestor numere până când se găsește unul comun printre ei. Multiplii sunt notați în înregistrare cu litera K majusculă.


De exemplu, multiplii lui 4 se pot scrie astfel:


K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)


K(6) = (12, 18, 24, ...)


Deci, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este numărul 24. Această intrare se efectuează după cum urmează:


LCM(4, 6) = 24


Dacă numerele sunt mari, găsiți multiplu comun a trei sau mai multe numere, atunci este mai bine să utilizați o altă modalitate de a calcula LCM.


Pentru a finaliza sarcina, este necesar să descompuneți numerele propuse în factori primi.


Mai întâi trebuie să scrieți extinderea celui mai mare dintre numerele dintr-o linie, iar sub ea - restul.


În extinderea fiecărui număr, poate exista un număr diferit de factori.


De exemplu, să factorăm numerele 50 și 20 în factori primi.




În extinderea numărului mai mic, trebuie subliniați factorii care lipsesc în extinderea primului număr cel mai mare și apoi adăugați-i la acesta. În exemplul prezentat, un deuce lipsește.


Acum putem calcula cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 50.


LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


Astfel, produsul dintre factorii primi ai numărului mai mare și factorii numărului al doilea, care nu sunt incluși în descompunerea numărului mai mare, va fi cel mai mic multiplu comun.


Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, toate acestea ar trebui descompuse în factori primi, ca în cazul precedent.


De exemplu, puteți găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 16, 24, 36.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


Astfel, doar doi doi din descompunerea lui șaisprezece nu au fost incluse în factorizarea unui număr mai mare (unul este în descompunerea lui douăzeci și patru).


Astfel, ele trebuie adăugate la descompunerea unui număr mai mare.


LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


Există cazuri speciale de determinare a celui mai mic multiplu comun. Deci, dacă unul dintre numere poate fi împărțit fără rest la altul, atunci cel mai mare dintre aceste numere va fi cel mai mic multiplu comun.


De exemplu, NOC de doisprezece și douăzeci și patru ar fi douăzeci și patru.


Dacă este necesar să se găsească cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime care nu au aceiași divizori, atunci LCM-ul lor va fi egal cu produsul lor.


De exemplu, LCM(10, 11) = 110.