Кой пръв реши уравнението от най-висока степен. Схема на Хорнер. Примери за решаване на уравнения с параметър

Проблемът с решаването на уравнения от трета и четвърта степен в радикали не е причинен от специална практическа необходимост. Появата му косвено свидетелства за постепенния преход на математиката към по-високо ниво на нейното развитие, когато математическата наука се развива не само под влиянието на изискванията на практиката, но и поради вътрешната си логика. След решаването на квадратни уравнения беше естествено да се премине към решаване на кубични уравнения.

Уравнения от трета и четвърта степен са решени в Италия през 16 век.

Италианските математици разглеждат три вида кубични уравнения:

Разглеждането на три типа кубични уравнения вместо едно се дължи на факта, че макар математиците от 16в. бяха запознати с отрицателните числа, но дълго време те не се смятаха за реални числа и учените се стремяха да пишат уравнения само с положителни коефициенти.

Исторически алгебристите първо се занимават с уравнението от първия тип

Първоначално тя е решена от професор в университета в Болоня Сципион дел Феро, но той не публикува полученото решение, а го съобщава на своя ученик Фиоре. С помощта на тайната за решаване на това уравнение Фиоре спечели няколко математически турнира. Тогава подобни турнири бяха често срещани в Италия. Те се състоят в това, че двама опоненти в присъствието на нотариус си разменят предварително определен брой задачи и уговарят срок за решаването им. Победителят получаваше слава и често печеливша позиция. През 1535 г. Фиоре предизвиква на такъв дуел всеки, който иска да се бие с него. Предизвикателството беше прието от Тарталя.

Николо Тарталия (1500-1557) рано остава сирак и израства в бедност без никакво образование. Въпреки това той беше добре запознат с математиката на времето и изкарваше прехраната си с частни уроци по математика. Малко преди дуела с Фиоре той успя да реши сам уравнение (1). Следователно, когато противниците се срещнаха, Тарталя успя да разреши проблемите на Фиоре за няколко часа; всички те се оказаха в уравнение (1). Що се отнася до Фиоре, той не реши нито един от 30-те различни проблема на Тарталия в продължение на много дни. Тарталия е обявен за победител в турнира. Новината за победата му се разпространява в цяла Италия. Той става ръководител на катедрата по математика в университета във Верона.

Методът на Тарталия беше следният. Той приема в уравнение (1), където u и v са нови неизвестни. Получаваме:

Поставяме последното уравнение . Образува се система от уравнения

което се свежда до квадратно уравнение. От него намираме:

,

Малко след турнира Тарталия лесно решава кубични уравнения от втори и трети тип. Например, за уравнение от втори тип, той прилага заместване, което води до формулата

(3)

Новината за успеха на Tartaglia достигна Cardano. Джироламо Кардано (1501-1576) завършва медицинския факултет на университета в Павия и е лекар в Милано. Той беше учен, не по-малко талантлив от Тарталия и много по-универсален: изучаваше медицина, математика, философия и астрология. Кардано планира да напише енциклопедична книга по алгебра и тя ще бъде непълна без решаване на кубични уравнения. Той се обърна към Тарталия с молба да го информира за неговия метод за решаване на тези уравнения. Тарталия не се съгласи и тогава Кардано се закле в Евангелието да не казва на никого тайната за решаване на кубични уравнения. Очевидно Тарталия щеше сам да напише книга по алгебра, включвайки откритието си в нея, но поради заетостта и тъй като публикуването беше скъпа работа, той отложи намерението си. В крайна сметка през 1545 г. Кардано публикува своята монография, озаглавена „Великото изкуство“, която включва откритието на „моя приятел Тарталия“. Тарталия беше разгневен от нарушаването на клетвата и отиде да престира, за да разобличи Кардано. В крайна сметка най-добрият ученик на Кардано предизвика Тарталия на публичен дуел. Двубоят се провежда през 1548 г. в Милано и завършва при неизяснени обстоятелства с поражението на Тарталя. Формулите на корените на кубично уравнение са получили в историята името на формулите на Кардано, въпреки че самият Кардано не е дал формули в книгата си, но е очертал алгоритъм за решаване на кубично уравнение.

Книгата на Кардано „Великото изкуство“ изигра значителна роля в историята на алгебрата. По-специално в него той доказа, че пълното уравнение от трета степен може да бъде намалено чрез заместване до уравнение без член с квадрат на неизвестното, т.е. към един от трите вида кубични уравнения, разгледани в началото на раздела. Модернизирайки презентацията, вземаме общо кубично уравнение

с коефициенти с произволен знак вместо онези няколко вида кубични уравнения, с които Кардано се занимаваше, и постави в него

.

Лесно е да се провери, че последното уравнение не съдържа член с квадрат на неизвестното, тъй като сумата от членовете, съдържащи е равна на нула:

.

По подобен начин Кардано доказа, че в пълното уравнение на четвърта степен е възможно да се отървем от члена с куба на неизвестното. За да направите това, в уравнението на четвъртата степен на общата форма

достатъчно за поставяне.

По-късно Ф. Виет решава познатото кубично уравнение с помощта на гениална стойка.Ще имаме:

.

Нека поставим последното уравнение. От полученото квадратно уравнение намираме T; след това изчислете, накрая,

Уравнението от четвърта степен е решено от Ферари. Той го реши с пример

(без член с куба на неизвестното), но по доста общ начин.

Нека добавим към двете части на уравнение (4), за да завършим лявата страна на квадрата на сумата:

Сега добавете сумата към двете страни на последното уравнение

където t е ново неизвестен:

Тъй като лявата страна на уравнение (5) е квадрат на сбора, тогава дясната страна също е квадрат и тогава дискриминантът на квадратния трином е равен на нула: Въпреки това, през 16 век. това уравнение беше написано във формата

Уравнение (6) е кубично. Нека разберем от това Tпо познат начин заменете тази стойност Tв уравнение (5) и извлечете квадратния корен от двете части на полученото уравнение. Образува се квадратно уравнение (по-точно две квадратни уравнения).

Даденият тук метод за решаване на уравнението от четвърта степен е включен в книгата на Кардано.

Според тогавашните възгледи правилото за решаване на кубично уравнение от втори тип по формула (3) не може да се приложи, когато

; От съвременна гледна точка в този случай е необходимо да се извършват операции с имагинерни числа. Например уравнението

има истински корен; освен това има още два реални (ирационални) корена. Но според формула (3) получаваме:

Как може да се получи реално число от имагинерни ("въображаеми", както се казваше тогава) числа? Този случай на кубично уравнение се нарича нередуцируемо.

Нередуцируемият случай е анализиран подробно от италианския математик Рафаел Бомбели в книгата "Алгебра", публикувана през 1572 г. Във формула (3) той обяснява тази ситуация с факта, че първият кубичен корен е равен на, а вторият -a -bi (където a и b са реални числа, t е имагинерната единица), така че тяхната сума дава

тези. реално число.

Бомбели дава правила за операции с комплексни числа.

След публикуването на книгата на Бомбели постепенно на математиците става ясно, че комплексните числа са незаменими в алгебрата.

Решение на уравнения II, III, IV-та степен по формулата. Уравнения от първа степен, т.е. линейни, от първи клас ни учат да решаваме, а те не проявяват голям интерес към тях. Интересни са нелинейните уравнения, т.е. страхотни степени. Сред нелинейните (общи уравнения, които не могат да бъдат решени чрез факторизиране или друго относително по прост начин) уравнения от по-ниски степени (2,3,4-та) могат да бъдат решени с помощта на формули. Уравнения от степен 5 и по-горе са неразрешими в радикали (няма формула). Затова ще разгледаме само три метода.

I. Квадратни уравнения. Формула Виета. Дискриминантът на квадратен тричлен. I. Квадратни уравнения. Формула Виета. Дискриминантът на квадратен тричлен. За всеки даден кв. уравнение формулата е валидна: За всеки даден квадрат. уравнение, формулата е валидна: Означаваме: D=p-4q, тогава формулата ще приеме формата: Означаваме: D=p-4q, тогава формулата ще приеме формата: Изразът D се нарича дискриминант. При проучването на кв. тричлените гледат на знака на D. Ако D>0, тогава корените са 2; D=0, тогава коренът е 1; ако D 0, тогава има 2 корена; D=0, тогава коренът е 1; ако Д 0, тогава има 2 корена; D=0, тогава коренът е 1; ако D 0, тогава има 2 корена; D=0, тогава коренът е 1; ако D">

II. Теорема на Vieta За всеки даден sq. уравнения За всеки даден квадрат. Теоремата на Vieta е валидна: За всяко уравнение от n-та степен, теоремата на Vieta също е валидна: коефициентът, взет с противоположния знак, е равно на суматанеговите n корени; свободният член е равен на произведението от своите n корени и числото (-1) на n-та степен. За всяко уравнение от n-та степен е валидна и теоремата на Vieta: коефициентът, взет с противоположния знак, е равен на сумата от неговите n корени; свободният член е равен на произведението от своите n корени и числото (-1) на n-та степен.

Извеждане на формулата на Виета. Нека напишем формулата за квадрата на сумата. Нека напишем формулата за квадрата на сумата. И заменим a в нея с x, b с. И заменим a с x, b с. Получаваме: Сега изваждаме първоначалното равенство от тук: Сега изваждаме първоначалното равенство от тук: Сега не е трудно да се получи желаната формула. Сега не е трудно да се получи желаната формула.

Италиански математици от 16 век направи голямо математическо откритие. Намериха формули за решаване на уравнения на трета и четвърта степен. Нека разгледаме произволно кубично уравнение: И ще покажем, че то може да се трансформира във формата Let чрез заместване. Нека получим: Тогава това уравнение ще приеме формата

През 16 век конкуренцията между учени, проведена под формата на диспут, беше широко разпространена. Математиците си предложиха един на друг определен брой задачи, които трябваше да бъдат решени до началото на дуела. Победителят е този, който решава Повече ▼задачи. Антонио Фиоре постоянно участваше в турнири и винаги печелеше, защото знаеше формулата за решаване на кубични уравнения. Победителят получи парична награда, бяха му предложени почетни, високоплатени позиции.

IV. Тарталия преподава математика във Верона, Венеция, Бреша. Преди турнира с Фиоре той получи 30 задачи от опонента си, като видя, че всички те се свеждат до кубично уравнение, и той даде всичко от себе си, за да го реши. След като намери формулата, Тарталя реши всички проблеми, предложени му от Фиоре, и спечели турнира. Ден след дуела той намери формула за решаване на уравнението.Това беше най-голямото откритие. След като формулата за решаване на квадратни уравнения беше открита в Древен Вавилон, изключителни математици се опитваха безуспешно в продължение на две хилядолетия да намерят формула за решаване на кубични уравнения. Тарталя пази в тайна метода на решението. Помислете за уравнението на Тарталия, използващо заместването

Сега се нарича формула на Кардано, тъй като е публикувана за първи път през 1545 г. в книгата на Кардано „Великото изкуство или върху алгебричните правила“. Джироламо Кардано () завършва университета в Падуа. Основното му занимание беше медицината. Освен това той изучава философия, математика, астрология, съставя хороскопите на Петрарка, Лутер, Христос, английския крал Едуард 6. Папата използва услугите на Кардано, астролог, и го покровителства. Кардано умира в Рим. Има легенда, че той се е самоубил в деня, който е предсказал, съставяйки собствения си хороскоп, като ден на смъртта си.

Кардано многократно се обърна към Тарталия с молба да му каже формула за решаване на кубични уравнения и обеща да запази нейната тайна. Той не удържа на думата си и публикува формулата, показвайки, че Тарталия има честта да открие „толкова красива и удивителна, надминаваща всички таланти на човешкия дух“. В книгата на Кардано "Великото изкуство ..." е публикувана и формула за решаване на уравнения от четвърта степен, открита от Луиджи Ферари () - ученик на Кардано, негов секретар и адвокат.

V. Нека представим метода на Ферари. Записваме общото уравнение на четвърта степен: Използвайки заместването, то може да бъде доведено до формата Използвайки метода на допълнение към пълния квадрат, записваме: Ferrari въведе параметъра и получи: От тук Дадено, получаваме Отляво страна на уравнението има пълен квадрат, а отдясно - квадратен тричлен по отношение на x. За да бъде дясната страна точен квадрат, е необходимо и достатъчно дискриминантът на квадратния трином да е равен на нула, т.е. числото t трябва да удовлетворява уравнението

Ферари решава кубичните уравнения, използвайки формулата на Кардано. Нека е коренът на уравнението. Тогава уравнението ще бъде записано под формата на кубични уравнения на Ферари, решени по формулата на Кардано. Нека е коренът на уравнението. Тогава уравнението ще бъде записано във формата От тук получаваме две квадратни уравнения: От тук получаваме две квадратни уравнения: Те дават четири корена на първоначалното уравнение. Те дават четирите корена на първоначалното уравнение.

Да вземем пример. Разгледайте уравнението. Лесно е да проверите, че е коренът на това уравнение. Естествено е да предположим, че използвайки формулата на Кардано, ще намерим този корен. Нека направим изчисления, като вземем предвид, че Според формулата, която намираме: Как да разберем израза Този въпрос е отговорен за първи път от инженера Рафаел Бомбели (ок), който е работил в Болоня.През 1572 г. той публикува книгата Алгебра, в което той въвежда числото i в математиката, така че Бомбели формулира правилата за операции с число. Според теорията на Бомбели изразът може да бъде записан по следния начин: А коренът на уравнението, който има формата, може да бъде записан като:

Уравнения с различни степени

Съвременник на Леонардо да Винчи, професор Сципион дел Феро от Болоня († 1526 г.) посвещава целия си живот на решаването на различни алгебрични уравнения. Трудностите, свързани с неудобното записване на неизвестни величини, бяха огромни.

Както показахме по-горе, най-важните постижения на математиците средновековна Европапринадлежеше към областта на алгебрата, към усъвършенстването на нейния апарат и символика. Региомонтан обогати понятието число, като въведе радикали и операции върху тях. Това направи възможно поставянето на проблема за решаването на възможно по-широк клас уравнения в радикали. И в тази конкретна област бяха постигнати първите успехи - уравненията от 3-та и 4-та степен бяха решени в радикали.

Развитието на събитията, свързани с това откритие, е отразено в литературата противоречиво. По принцип той е. Професор от университета в Болоня, Сципион дел Феро, разработи формула за намиране на положителния корен на конкретни уравнения под формата x 3 + px = q (p>0, q›0). Той го пази в тайна, запазвайки го като оръжие срещу опонентите си в научни спорове, но преди смъртта си той разказва тази тайна на своя роднина и приемник на поста Анибал дела Нава и неговия ученик Фиоре.

В началото на 1535 г. трябва да се състои научен дуел между Фиоре и Николо Тарталия (1500–1557). Последният беше талантлив учен, който произхождаше от бедно семейство и изкарваше прехраната си, като преподаваше математика и механика в градовете на Северна Италия. След като научава, че Фиоре притежава формулата на Феро и подготвя задачи за опонента си за решаване на кубични уравнения, Тарталя успява да преоткрие тази формула.

По време на дебата Фиоре предложи няколко въпроса на Тарталия, изискващи способност за решаване на уравнения от трета степен. Но Тарталия вече беше намерил пред себе си решението на такива уравнения и освен това не само на този конкретен случай, който беше решен от Феро, но и на два други частни случая. Тарталия прие предизвикателството и предложи на Фиора собствените си задачи. Резултатът от състезанието беше пълното поражение на последния. Тарталия решава предложените му задачи в рамките на два часа, докато Фиоре не може да реши нито една предложена му задача (и от двете страни имаше 30 задачи).

Скоро Tartaglia успя да реши уравнения от формата х 3 = px + q (p>0, q›0). Накрая той съобщи, че уравненията на формата x 3 + q = pxса сведени до предишната форма, но не са дали метод за редукция. Дълго време Тарталя не публикува резултата си. Имаше две причини за това: първо, същата причина, която спря Феро. Второ, невъзможността да се справим с несводимия случай. Последното е, че има уравнения х 3 = px + ркоито имат реален положителен корен. Формулата на Тарталия обаче не дава решение в случая, когато е необходимо да се извлече корен от отрицателни числа, тъй като не е възможно да се интерпретират правилно въображаемите числа, произтичащи от това. Нередуцируемият случай също се появява в Тарталия в уравнения на формата x 3 + q = px.

Трудът му обаче не беше напразен. От 1539 г. Кардано (1501–1576) започва да изучава кубични уравнения. Научавайки за откритието на Тарталия, той полага големи усилия да измъкне тайната от предпазливия и недоверчив учен за публикуване в книгата му „Великото изкуство, или за правилата на алгебрата“. Едва когато Кардано се закле над Евангелието и даде честната дума на благородника, че няма да открие метода на Тарталия за решаване на уравнения и дори да го запише под формата на неразбираема анаграма, Тарталия се съгласи да разкрие тайната си. Той показа правилата за решаване на кубични уравнения, като ги изложи в стихове и то доста неясно.

Кардано обаче не само разбра тези правила, но и намери доказателства за тях. Въпреки обещанието си той публикува метода на Тарталия и този метод все още е известен под името правило на Кардан. И книгата се появява през 1545 г.

Скоро беше открито и решението на уравнения от 4-та степен. Италианският математик Д. Кола предлага задача, за която известните дотогава правила не са достатъчни и се изисква умение за решаване на биквадратни уравнения. Повечето математици смятаха този проблем за неразрешим. Но Кардано го предлага на своя ученик Луиджи Ферари, който решава проблема и дори намира начин да решава уравнения от 4-та степен като цяло, свеждайки ги до уравнения от 3-та степен.

Такъв бърз и невероятен напредък в намирането на формула за решаване на уравнения от 3-та и 4-та степен постави пред математиците проблема за намиране на решения на уравнения от всякаква степен. Огромен брой опити, усилията на най-известните учени не доведоха до успех. В търсене са минали около 300 години. Едва през 19 век Абел (1802–1829) доказва, че степенните уравнения n>4,Най-общо казано, те не се решават в радикали.

Още две пречки застанаха на пътя към създаването на обща теория на алгебричните уравнения и методите за тяхното решаване: сложността, неудобството на получените формули и липсата на обяснение на нередуцируемия случай. Първото беше чисто практическо неудобство. Cardano го елиминира, като предлага да се намерят корените на уравненията приблизително, като се използва правилото за две фалшиви позиции, което по същество се използва днес под формата на проста или линейна интерполация. Второто препятствие има по-дълбоки корени и опитите за преодоляването му водят до много важни последствия.

Плодотворен и смел опит да се справи с нередуцируемия случай е на италианския математик и инженер Р. Бомбели от Болоня. В Алгебра (1572) той официално въвежда правилата за операции с имагинерни и комплексни числа.

Щраквайки върху бутона "Изтегляне на архив", вие ще изтеглите безплатно необходимия ви файл.
Преди да изтеглите този файл, запомнете онези добри есета, контролни, курсови работи, тезиси, статии и други документи, които лежат непотърсени на вашия компютър. Това е ваша работа, тя трябва да участва в развитието на обществото и да носи полза на хората. Намерете тези произведения и ги изпратете в базата знания.
Ние и всички студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдем много благодарни.

За да изтеглите архив с документ, въведете петцифрен номер в полето по-долу и щракнете върху бутона "Изтегляне на архив"

Подобни документи

Описание на живота на Италия и света от времето, когато е живял и творил Джироламо Кардано. Научната дейност на математика, преглед на неговите математически трудове и търсенето на решения на кубични уравнения в радикали. Методи за решаване на уравнения от трета и четвърта степен.

курсова работа, добавена на 26.08.2011 г


Историята на развитието на математическата наука в Европа през 6-14 век, нейните представители и постижения. Развитието на математиката през Възраждането. Създаване на буквално смятане, дейност на Франсоа Виета. Подобрения в изчислителната техника в края на 16-ти - началото на 16-ти век

презентация, добавена на 20.09.2015 г


Европейска математика от Ренесанса. Създаване на буквално смятане от Франсоа Виет и метод за решаване на уравнения. Усъвършенстване на изчисленията в края на 16 - началото на 17 век: десетични дроби, логаритми. Установяване на връзка между тригонометрия и алгебра.

презентация, добавена на 20.09.2015 г


Из историята на десетичните и обикновените дроби. Операции с десетични дроби. Събиране (изваждане) на десетични дроби. Умножение на десетични знаци. Деление на десетични дроби.

резюме, добавено на 29.05.2006 г


Гръцката математика и нейната философия. Връзка и съвместен път на философията и математиката от началото на Ренесанса до края на 17 век. Философия и математика в епохата на Просвещението. Анализ на природата на математическото познание на немската класическа философия.

дисертация, добавена на 07.09.2009 г


Уравнение в дроби от броя на десетичните знаци, извършвайте събиране и изваждане, като игнорирате запетаята. Практическо значение на теорията на десетичните дроби. Самостоятелна работа с последваща проверка на резултатите, извършване на изчисления.

презентация, добавена на 02.07.2010 г


Изследването на появата на математиката и използването на математически методи в древен Китай. Особености на китайските задачи при численото решаване на уравнения и геометрични задачи, водещи до уравнения от трета степен. Изключителни математици на древен Китай.