Déterminer les réactions de la terminaison rigide de la poutre. La détermination des réactions des supports de poutre est une solution au problème. Équations d'équilibre pour les forces

Des réactions surviennent sur les supports de poutre, avec la détermination de laquelle il faut commencer à résoudre tous les problèmes de calcul de flexion.

Les réactions des supports sont déterminées à partir des équations d'équilibre (statique), qui peuvent être représentées en deux versions différentes :

1) sous la forme de la somme des projections de toutes les forces sur l'axe X Et à, ainsi que la somme des moments d'efforts (y compris les réactions) relatifs à tout point le long de l'axe de la poutre :

2) comme la somme de toutes les forces sur l'un des axes de coordonnées X ou à et deux sommes de moments de forces (y compris les réactions) autour de deux points situés sur l'axe de la poutre :

Le choix de l'une ou l'autre option pour compiler les équations d'équilibre, ainsi que le choix des points le long de la direction des axes de coordonnées utilisés pour compiler ces équations, est fait dans chaque cas particulier de telle sorte que, si possible, une solution conjointe des équations n'est pas effectuée. Pour vérifier l'exactitude de la détermination des réactions de support, il est recommandé de substituer leurs valeurs dans toute équation d'équilibre qui n'a pas été utilisée auparavant.

Lors de la détermination des réactions, leurs directions peuvent être choisies arbitrairement. Si les réactions dans le calcul se sont avérées négatives, cela signifie que leur direction a été mal choisie. Dans ce cas, sur le schéma de conception, le sens initial des réactions est barré et leur sens opposé est indiqué. Dans les calculs ultérieurs, les valeurs de réaction sont supposées positives.

Cependant, il est possible de prédire à l'avance la direction correcte des réactions sur la base de la ligne élastique représentée mentalement de la poutre après qu'elle est chargée par des forces externes (Fig. UN) réaction RA a une direction vers le support; lors de la "pression" de la poutre dans le support (support DANS) réaction R B a une direction éloignée du support.

Figure 8.5 - Pour déterminer le sens des réactions

Considérons des cas typiques de détermination de réactions pour les types de charges les plus simples.

Si le faisceau est sollicité par l'intensité q, comme le montre la Fig. 8.6, lors de la détermination des réactions d'appui, la charge est remplacée par sa résultante R, égal au produit de l'intensité de la charge q pour la longueur de sa zone d'action je

Un exemple de charge continue uniformément répartie est le poids propre d'une poutre ou les charges souvent localisées sur sa longueur.

Figure 8.6 - Cas d'une charge uniformément répartie sur la poutre

Point d'application de la charge continue uniformément répartie q se trouve au milieu de la zone sur laquelle il agit ; avec une loi d'action triangulaire d'une charge répartie, la résultante est appliquée le long de son centre de gravité.

Dimension de l'intensité de la charge q généralement exprimé en kN/m ou kN/cm.

Considérez la séquence de détermination des réactions d'appui pour le cas d'une charge de poutre, illustrée à la Fig. 8.7 :

1. La direction acceptée des réactions est indiquée sur le schéma de conception de la poutre RA Et R B survenant sur les supports. Puisque la charge externe agit dans un plan vertical perpendiculaire à l'axe de la poutre, la réaction horizontale sur le support articulé UN absent.

2. Puisque dans ce cas il y a deux réactions inconnues ( RA Et R B), alors deux équations sont prises comme équilibre pour déterminer les réactions

Lors de la compilation de ces conditions d'équilibre, la règle des signes pour les moments de forces, y compris les réactions, doit être adoptée. Habituellement, une telle règle est acceptée pour les signes externes (actifs): si les moments des forces sont dirigés dans le sens des aiguilles d'une montre, ils sont alors considérés comme positifs.

Alors la première condition d'équilibre (8.4) conduit à l'équation de la réaction inconnue R B(voir fig.8.6)

La réaction s'est avérée positive, sa direction a donc été acceptée comme correcte.

De même, nous utilisons la deuxième condition d'équilibre (8.4), qui conduit à l'équation de la deuxième réaction RA:

Encore une fois, la réaction s'est avérée positive, par conséquent, sa direction initiale sur le schéma de calcul a été choisie correctement.

3. Nous vérifions l'exactitude de la détermination des amplitudes des réactions en utilisant une autre condition d'équilibre, précédemment inutilisée

Dans ce cas, les projections de forces coïncidant avec la direction de l'axe à, sont considérés comme positifs et dirigés dans la direction opposée - négative.

Alors, en se basant sur l'utilisation de la condition (8.5), on a :

L'identité résultante (0=0) indique l'exactitude de la détermination des valeurs de réaction dans le calcul de la flexion du faisceau.

Considérons un autre cas typique de chargement sous la forme d'une force concentrée située de manière excentrique R le long de la poutre je(fig.8.7).

Figure 8.7 - Cas du chargement d'une poutre avec un effort concentré

1. Nous montrerons sur le schéma de calcul de la réaction RA Et R B. Ils sont dirigés, comme mentionné ci-dessus, vers la charge.

2. On détermine les réactions à partir des conditions d'équilibre :

Les réactions se sont avérées positives, par conséquent, leur direction initiale sur le schéma de calcul a été choisie correctement.

A noter en même temps que la réaction sur le support DANS s'est avéré être plus que la réaction sur le support UN: R B ˃R A. Cela découle du fait que la puissance R est plus proche de la base DANS, et donc le charge davantage.

3. Vérifiez :

L'identité résultante indique l'exactitude de la définition de la réaction.

Considérons un autre cas de charge de poutre dans une travée par un moment concentré externe (Fig. 8.8), qui se produit dans les calculs de flexion pratiques.

𝔐

Figure 8.8 - Cas du chargement de la poutre avec un moment concentré

1. Montrons sur le schéma de calcul la direction attendue des réactions (au début, nous ne savons pas si ces directions sont prises correctement).

2. Les réactions sont déterminées à partir des équations d'équilibre :

La réaction s'est avérée positive, par conséquent, sa position initiale a été choisie correctement.

La réaction s'est avérée négative, ce qui signifie que sa direction a été mal choisie. Par conséquent, sur le schéma de conception, nous biffons la direction initialement (à tort) acceptée RA et montrer la direction inverse (vraie) (voir Figure 8.8). Dans d'autres calculs, nous considérons la réaction RA avec le bon sens du positif.

3. Vérifiez :

L'équation d'équilibre utilisée pour la poutre est satisfaite, ce qui signifie que les réactions et leur direction sont correctement déterminées.

Si une poutre en flexion transversale a des appuis tels que le nombre total de réactions se produisant sur les appuis ne dépasse pas deux, alors les réactions peuvent toujours être déterminées à partir de deux équations d'équilibre du type (8.2). De telles poutres, dont les réactions sont déterminées à partir de ces équations statiques, sont appelées statiquement déterminé poutres. Ces poutres peuvent être des types les plus simples (Fig. 8.9):

Figure 8.9 - Poutres définies statiquement

1) une poutre avec une extrémité fixée rigidement et l'autre extrémité libre, sinon console(fig.8.9, UN); 2) poutres articulées (Fig. 8.9, b et 8.9, V).

Les poutres dans lesquelles le nombre total de réactions d'appui est supérieur au nombre d'équations d'équilibre sont appelées statiquement indéterminé(le calcul de leur courbure sera considéré dans la section 8.10). Pour de telles poutres, les réactions des appuis sont déterminées à partir de la solution conjointe des équations de la statique et des conditions de compatibilité des déformations.

EXEMPLES DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES SUR LA STATIQUE

Exemple 1 Déterminez les réactions des supports de la poutre horizontale à partir d'une charge donnée.

Donné:

Diagramme de faisceau (Fig. 1).

P= 20 kN, g= 10 kN, M= 4 kNm, q= 2kN/m, un=2m, b\u003d 3 mètres, .

___________________________________

UN Et DANS.

Riz. 1

Solution:

Considérez l'équilibre de la poutre UN B(Fig. 2).

Un système équilibré de forces est appliqué à la poutre, composé de forces actives et de forces de réaction.

Actif forces (données):

Paire de forces avec moment M, Où

Force concentrée remplaçant l'action répartie le long du segment CA intensité de charge q.

Valeur

La ligne d'action de la force passe par le milieu du segment CA.

forces de réaction (forces inconnues):

Remplace l'action de la charnière mobile mise au rebut (support UN).

La réaction est perpendiculaire à la surface sur laquelle reposent les galets de la charnière mobile.

Remplacer l'action de la charnière fixe mise au rebut (support DANS).

Composants de la réaction dont la direction n'est pas connue à l'avance.

Schéma de conception

Riz. 2

Pour le système de forces arbitraire plat résultant, trois équations d'équilibre peuvent être établies :

Le problème est déterminable statiquement, puisque le nombre de forces inconnues (,,) - trois - est égal au nombre d'équations d'équilibre.

On place le système de coordonnées XY exactement UN, axe HACHE direct le long du faisceau. Pour le centre des moments de toutes les forces, nous choisissons le point DANS.

On compose les équations d'équilibre :

En résolvant le système d'équations, on trouve ,,.

Après avoir déterminé, nous trouvons l'amplitude de la force de réaction de la charnière fixe

Pour vérifier, on fait une équation

Si, à la suite de la substitution des données du problème et des forces de réaction trouvées dans le côté droit de cette égalité, nous obtenons zéro, alors le problème est résolu - à droite.

Réactions trouvées correctement. L'imprécision est due à l'arrondi dans le calcul.

Répondre:

Exemple 2 Pour un cadre plat donné, déterminer les réactions des supports.

Donné:

Schéma du cadre fig.3

P= 20 kN, g= 10 kN, M= 4 kNm, q= 2kN/m, un=2m, b\u003d 3 mètres, .

______________________________

Déterminer les réactions des supports de châssis.

Riz. 3

Solution:

Considérons l'équilibre d'un cadre rigide ET POIDS(Fig. 4).

Schéma de conception

Riz. 4

Le système de forces appliquées à la charpente est constitué de forces actives et de forces de réaction.

Forces actives :

Paire de forces avec moment , , .

, remplacer l'action d'une charge répartie sur segments VD Et DE.

La ligne d'action de la force passe à une distance du point DANS.

La ligne d'action de la force passe par le milieu du segment DE.

Force de réaction :

Remplace l'action de pincement dur qui limite tout mouvement du cadre dans le plan de dessin.

Un système arbitraire de forces planes est appliqué au cadre. On peut lui écrire trois équations d'équilibre :

, ,

La tâche est déterminable statistiquement, puisque le nombre d'inconnues est également de trois - , , .

Composons les équations d'équilibre en choisissant le point A comme centre des moments, puisqu'il est traversé par le plus grand nombre de forces inconnues.

En résolvant le système d'équations, on trouve , , .

Pour vérifier les résultats obtenus, on compose l'équation des moments autour du point C.

En substituant toutes les valeurs, on obtient

Réactions trouvées correctement.

Répondre:

Exemple 3. Pour un cadre plat donné, déterminer les réactions des supports.

Donné: version du schéma de conception (Fig. 5);

R 1 = 8 kN ; R 2 = 10 kN ; q= 12kN/m; M= 16 kNm ; je= 0,1 m.

Déterminer les réactions dans les supports UN Et DANS.

Fig.5

Solution. On remplace l'action des liens (supports) par des réactions. Le nombre, le type (effort ou couple d'efforts avec un moment), ainsi que le sens des réactions dépendent du type d'appuis. En statique plane, pour chaque support séparément, vous pouvez vérifier quelles directions de mouvement le support donné interdit au corps. Vérifier deux déplacements mutuellement perpendiculaires du corps par rapport au point de référence ( UN ou DANS) et la rotation du corps dans le plan d'action des forces extérieures par rapport à ces points. Si le déplacement est interdit, alors il y aura une réaction sous la forme d'une force dans cette direction, et si la rotation est interdite, alors il y aura une réaction sous la forme d'une paire de forces avec un moment ( M Un ou M DANS).

Initialement, les réactions peuvent être choisies dans n'importe quelle direction. Après avoir déterminé la valeur de la réaction, le signe plus indiquera que la direction dans cette direction est correcte, et le signe moins indiquera que la direction correcte de la réaction est opposée à celle choisie (par exemple, pas vers le bas, mais vers le haut pour la force ou la flèche dans le sens des aiguilles d'une montre, et non contre elle pour le moment d'une paire de forces).

Sur la base de ce qui précède, les réactions des Fig. 5. Pris en charge UN il y en a deux, puisque le support interdit les déplacements horizontaux et verticaux, et la rotation autour du point UN- permet. Moment M Mais il ne se pose pas, puisque ce support articulé n'interdit pas la rotation du corps autour du point UN. À ce point DANS une réaction, car il est interdit de se déplacer dans une seule direction (le long du levier en apesanteur BB¢ ).

est remplacé par la force concentrée équivalente . Sa ligne d'action passe par le centre de gravité du schéma (pour un schéma rectangulaire, le centre de gravité est à l'intersection des diagonales, donc la force Q passe par le milieu du segment affecté par q). L'ampleur de la force Qégale à la surface de la parcelle, c'est-à-dire

Ensuite, vous devez choisir les axes de coordonnées x et y et décomposer toutes les forces et réactions qui ne sont pas parallèles aux axes en composants parallèles à eux, en utilisant la règle du parallélogramme. La figure 5 montre les forces , ,. Dans ce cas, le point d'application du résultat et de ses composants doit être le même. Les composants eux-mêmes peuvent être omis, car leurs modules sont facilement exprimés en termes de module résultant et d'angle avec l'un des axes, qui doivent être spécifiés ou déterminés à partir d'autres angles spécifiés et indiqués dans le diagramme. Par exemple, pour la force R 2 le module de la composante horizontale est , et la verticale - .

Maintenant, il est possible de composer trois équations d'équilibre, et comme il existe également trois réactions inconnues (,,), leurs valeurs sont facilement trouvées à partir de ces équations. Le signe de la valeur de réaction, comme mentionné ci-dessus, détermine l'exactitude des directions de réaction choisies. Pour le schéma de la fig. 5 équations de projection de toutes les forces sur l'axe X Et y et les équations des moments de toutes les forces autour d'un point UN s'écrira ainsi :

De la première équation, nous trouvons la valeur R B , puis nous le substituons par son signe dans les équations de projection et trouvons les valeurs des réactions X Un et À UN.

En conclusion, notons qu'il convient de composer l'équation des moments par rapport au point de telle sorte qu'elle contienne une inconnue, c'est-à-dire de sorte que deux autres réactions inconnues coupent ce point. Il est commode de choisir des axes de sorte qu'un plus grand nombre de forces soient parallèles aux axes, ce qui simplifie la compilation des équations de projection.

Exemple 4 Pour une structure donnée constituée de deux tiges brisées, déterminer les réactions des appuis et la pression dans la charnière intermédiaire AVEC.

Donné:

Schéma de conception (Fig. 6).

P= 20 kN, g= 10 kN, M= 4 kNm, q= 2kN/m, un=2m, b\u003d 3 mètres, .

______________________________________

Déterminer les réactions des supports aux points UN Et DANS et pression dans la charnière intermédiaire AVEC.

Riz. 6

Solution:

Considérez l'équilibre de l'ensemble de la structure (Fig. 7).

Y sont attachés :

forces actives,, couple de forces avec moment M, Où

forces de réaction :

, , , ,

Remplacez l'action de pincement dur;

Remplace l'action du support articulé UN.

Schéma de conception

Riz. 7

Pour le système de forces plat arbitraire résultant, nous pouvons composer trois équations d'équilibre, et le nombre d'inconnues est quatre, , , .

Pour que le problème devienne statiquement déterminé, nous disséquons la construction par une connexion interne - une charnière AVEC et nous obtenons deux autres schémas de calcul (Fig. 8, Fig. 9).

Riz. 8Fig. 9

Remplacer l'action du corps CA sur le corps SW, qui est transmis à travers la charnière AVEC. Corps SW transfère son action au corps CA par la même charnière AVEC, C'est pourquoi ; , .

Pour trois schémas de conception, nous pouvons résumer neuf équations d'équilibre, et le nombre d'inconnues est de six , , , , , , c'est-à-dire que le problème est devenu statiquement déterminé. Pour résoudre le problème, nous utilisons la Fig. 8, 9 et fig. 7 sera laissé pour vérification.

Corps Soleil(Fig. 8)

Corps SA(Fig. 9)

4)

5)

6)

Nous résolvons un système de six équations à six inconnues.

Examen:

Les réactions des appuis externes aux points A et B sont trouvées correctement. La pression dans la charnière C est calculée par la formule

Répondre: , , , ,

Les inconvénients signifient que les directions doivent être inversées.

Exemple 5La conception se compose de deux parties. Déterminez à quelle méthode de connexion les parties de la structure le module de réaction est le plus petit, et pour cette option de connexion, déterminez les réactions des supports, ainsi que les connexions AVEC.

Donné:= 9 kN ; = 12 kN ; = 26 kNm ; = 4 kN/m.

Le schéma de conception est illustré à la Fig.10.

Fig.10

Solution:

1) Détermination de la réaction du support A avec une liaison articulée au point C.

Considérons un système de forces d'équilibrage appliquées à l'ensemble de la structure (Fig. 11). Composons l'équation des moments des forces par rapport au point B.

Fig.11

où kN.

Après substitution des données et calculs, l'équation (26) prend la forme :

(2)

On obtient la deuxième équation à inconnues en considérant le système de forces d'équilibrage appliqué à la partie de la structure située à gauche de la charnière AVEC(Fig. 12):

Riz. 12

De là, nous constatons que

kN.

En remplaçant la valeur trouvée dans l'équation (2), nous trouvons la valeur :

Module de réaction du support A avec liaison articulée en un point AVECéquivaut à:

2) Schéma de calcul lors de la connexion de parties de la structure au point C avec un joint coulissant illustré à la fig. 13.

Riz. 13

Les systèmes de force illustrés à la fig. 12 et 13 ne diffèrent pas l'un de l'autre. Par conséquent, l'équation (2) reste valide. Pour obtenir la deuxième équation, considérons un système d'efforts d'équilibrage appliqués à la partie de la structure située à gauche du joint glissant C (Fig. 14).

Riz. 14

Faisons une équation d'équilibre :

et d'après l'équation (2) on trouve :

Ainsi, le module de réaction d'un joint glissant dans la charnière C est égal à :

Ainsi, lors d'un raccordement au point C avec un joint glissant, le module de réaction du support A est inférieur à celui d'un raccordement articulé ().

Trouvons les composantes de la réaction du support B et de l'encastrement glissant.

Pour le côté gauche de C

,

Les composantes de la réaction de l'appui B et du moment dans l'encastrement glissant seront trouvées à partir des équations d'équilibre compilées pour le côté droit de la structure à partir de C.

kN

Répondre: Les résultats des calculs sont présentés dans le tableau.

							Moment, kNm
	X A	Y A	RA	X C	X B	Y B	M C
Pour le circuit de la Fig. 11		18,4	19,9
Pour le circuit de la Fig. 13	14,36	11,09	17,35	28,8	28,8	12,0	17,2

Exemple 6

Donné: une variante du schéma de conception (Fig. 15).

R 1 = 14 kN ; R 2 = 8 kN ; q= 10kN/m; M= 6kNm; UN B= 0,5 m; Soleil= 0,4 m; CD= 0,8 m ; DE= 0,3 m; EF= 0,6 m.

Déterminer les réactions dans les supports UN Et F.

Solution. En utilisant les recommandations de l'exemple 3, nous arrangeons les réactions dans les supports. Il y en a quatre (, , , ). Étant donné qu'en statique plane pour un corps, seules trois équations d'équilibre peuvent être compilées, pour déterminer les réactions, il est nécessaire de diviser la construction en corps solides séparés de sorte que le nombre d'équations et d'inconnues coïncide. Dans ce cas, il peut être divisé en deux corps abcD Et DÉF. En même temps, à l'endroit de la scission, c'est-à-dire au point D pour chacun des deux corps, des réactions supplémentaires apparaissent, déterminées par le type, le nombre et la direction de la même manière que pour les points UN Et F. De plus, selon la troisième loi de Newton, ils sont de valeur égale et de direction opposée pour chacun des corps. Par conséquent, ils peuvent être désignés par les mêmes lettres (voir Fig. 16).

Riz. 15

De plus, comme dans l'exemple 3, nous remplaçons la charge répartie q force concentrée et trouver son module. Ensuite, nous sélectionnons les axes de coordonnées et posons toutes les forces sur la Fig. 15 et 16 en composants parallèles aux axes. Après cela, nous composons les équations d'équilibre pour chacun des corps. Il y en a six au total et il y a aussi six réactions inconnues (, , , , , ), donc le système d'équations a une solution, et vous pouvez trouver les modules, et en tenant compte du signe du module et du bon sens de ces réactions (voir exemple 3).

Riz. 16. Fractionner une structure en deux corps en un point D, c'est-à-dire au point de leur raccordement avec un joint glissant (le frottement n'y est pas pris en compte)

Il est conseillé de choisir la séquence de compilation des équations de manière à ce qu'à partir de chacune d'entre elles, il soit possible de déterminer l'une des réactions souhaitées. Dans notre cas, il convient de commencer par le corps DÉF, puisque nous avons moins d'inconnues pour cela. On fait d'abord l'équation des projections sur l'axe X, d'où l'on trouve R F. Ensuite, nous composons les équations des projections sur les axes à et trouve Oui D , puis l'équation des moments autour d'un point F et définir M D. Ensuite, nous passons au corps. A B C D. Pour lui, vous pouvez d'abord écrire les équations des moments autour du point UN et trouve M A, puis successivement à partir des équations des projections sur l'axe pour trouver X UN , Oui UN. Pour le deuxième corps, il faut tenir compte de ses réactions Oui D, M D , en les prenant de la Fig.16, mais les valeurs de ces réactions seront déjà connues à partir des équations du premier corps.

Dans ce cas, les valeurs de toutes les réactions précédemment déterminées sont substituées dans les équations suivantes avec leur signe. Ainsi, les équations s'écriront comme suit :

pour le corps DÉF

pour le corps A B C D

Dans certains modes de réalisation, le coefficient de frottement est donné à un certain point, par exemple . Cela signifie qu'à ce stade, il est nécessaire de prendre en compte la force de frottement , où N A est la réaction de l'avion en ce point. Lorsqu'une structure est scindée en un point où la force de frottement est prise en compte, chacun des deux corps est affecté par sa propre force de frottement et la réaction du plan (surface). Ils sont dirigés deux à deux de manière opposée et de valeur égale (ainsi que les réactions de la Fig. 16).

Réaction N toujours perpendiculaire au plan de glissement éventuel des corps ou tangent aux surfaces au point de glissement, s'il n'y a pas de plan à cet endroit. La force de frottement est dirigée selon cette tangente ou selon le plan contre la vitesse de glissement éventuel. La formule ci-dessus pour la force de frottement est valable pour le cas d'équilibre limite, lorsque le glissement est sur le point de commencer (en cas d'équilibre non limite, la force de frottement est inférieure à cette valeur et sa valeur est déterminée à partir des équations d'équilibre) . Ainsi, dans les options de réglage de l'équilibre limite, en tenant compte de la force de frottement, une équation supplémentaire doit être ajoutée aux équations d'équilibre pour l'un des corps. Lorsque la résistance au roulement est prise en compte et que le coefficient de résistance au roulement est donné, des équations d'équilibrage des roues sont ajoutées (Fig. 17).

A l'équilibre ultime

Fig.17

D'après les dernières équations, sachant G , ,R, peut être trouvé N,F tr, J pour commencer à rouler sans glisser.

En conclusion, nous notons que la division de la structure en corps séparés est effectuée à l'endroit (point) où se produit le plus petit nombre de réactions. Il s'agit souvent d'un câble en apesanteur ou d'un levier déchargé en apesanteur avec des charnières aux extrémités qui relient deux corps (Fig. 18).

Riz. 18

Exemple 7. cadre rigide A B C D(Fig. 19) a au point UN support charnière fixe UNà ce point b- support articulé mobile sur les rouleaux. Toutes les charges agissantes et les dimensions sont indiquées sur la figure.

Donné: F=25 kN, =60º , R=18 kN, =75º , M= 50 kNm, = 30° un= 0,5 m

Définir : réactions aux points UN Et DANS , causés par les charges de fonctionnement.

Riz. 19

Directions.La tâche consiste à équilibrer le corps sous l'action d'un système de forces plat arbitraire. Lors de la résolution, tenez compte du fait que les tensions des deux branches du fil jeté sur le bloc, lorsque le frottement est négligé, seront les mêmes. L'équation du moment sera plus simple (contiendra moins d'inconnues) si l'équation est écrite par rapport au point où les lignes d'action de deux réactions de liaison se croisent. Lors du calcul du moment de force F il est souvent commode de le décomposer en composants F' Et F», pour lequel les épaules sont facilement déterminées, et utilisent le théorème de Varignon ; Alors

Solution. 1. Considérez l'équilibre de la plaque. Dessiner des axes de coordonnées heu et représenter les forces agissant sur la plaque : la force , un couple de forces avec un moment M, tension du câble (modulo J = R) et les réactions de liaison (la réaction d'un support articulé fixe UN représentent ses deux composantes, la réaction du support charnière sur les galets est dirigée perpendiculairement au plan de référence).

2. Pour le système de forces plat résultant, nous allons composer trois équations d'équilibre. Lors du calcul du moment de force autour d'un point UN on utilise le théorème de Varignon, c'est-à-dire développer les composants silun F ,F (, ) et retenons que d'après le théorème de Varignon : On obtient :

En substituant les valeurs numériques des quantités données dans les équations compilées et en résolvant ces équations, nous déterminons les réactions souhaitées.

Répondre: X=-8,5 kN ; Y=-23,3 kN ; R= 7.3kN. Les signes indiquent que les forces X A Et Y A dirigées à l'opposé des forces représentées sur la Fig. 19.

Exemple 8 Le cadre rigide A BCD (Fig. 20) a un support articulé fixe au point A, et le point D est attaché à une tige en apesanteur. Au point C, un câble est attaché au châssis, jeté sur un bloc et portant une charge à l'extrémité avec un poids P = 20 kN. Une paire de forces avec un moment M = 75 kNm et deux forces F 1 = 10 kN et F 2 = 20 kN agissent sur le cadre, faisant des angles avec les tiges du cadre = 30 0 et = 60 0, respectivement. Lors de la détermination des dimensions du cadre, prendre un=0,2 m . Déterminer les réactions de liaison aux points A et D provoquées par l'action de la charge.

Donné: P \u003d 20 kN, M \u003d 75 kNm, F 1 \u003d 10 kN, F 2 \u003d 20 kN, \u003d 30 0, \u003d 60 0, \u003d 60 0, un = 0,2 M.

Définir: X A, Y A, R D .

Riz. 20

Directions. La tâche consiste à équilibrer le corps sous l'action d'un système de forces plat arbitraire. Lors de sa résolution, il convient de tenir compte du fait que les tensions des deux branches du fil jetées sur le bloc, lorsque le frottement est négligé, seront les mêmes. L'équation des moments sera plus simple (contiendra moins d'inconnues) si nous prenons les moments autour du point où les lignes d'action des deux réactions de liaison se croisent. Lors du calcul du moment de force il est souvent commode de le décomposer en composants Et , pour laquelle les épaules sont facilement déterminées, et utiliser le théorème de Varignon ; Alors

Solution.

1. Considérez l'équilibre du cadre. Dessiner des axes de coordonnées x, y et représentent les forces agissant sur le cadre: forces et , une paire de forces avec un moment M, la tension du câble (modulo T \u003d P) et la réaction des liaisons (la réaction du support de charnière fixe UN présent sous forme de composants ; le support de tige empêche le mouvement de t. D du cadre dans le sens le long de la tige, donc la réaction du support agira dans le même sens).

2. Composez les équations d'équilibre pour le cadre. Pour l'équilibre d'un système de forces planaire arbitraire, il suffit que la somme des projections de toutes les forces sur chacun des deux axes de coordonnées et la somme algébrique des moments de toutes les forces par rapport à n'importe quel point du plan soient égales à zéro.

Lors du calcul des moments de forces et par rapport au point UN on utilise le théorème de Varignon, c'est-à-dire on décompose les forces en composantes , ; , et en tenir compte.

On a:

En substituant les valeurs numériques des quantités données dans les équations compilées et en résolvant ces équations, nous déterminons les réactions souhaitées.

A partir de l'équation (3), nous déterminons R D =172,68 kN.

À partir de l'équation (1), nous déterminons X A = -195,52 kN.

À partir de l'équation (2), nous déterminons U A \u003d -81,34 kN.

Les signes "-" aux valeurs X A et Y A signifient que le vrai sens de ces réactions est opposé à celui indiqué sur la figure.

Allons vérifier.

puisque , alors les réactions des appuis sont trouvées correctement.

Répondre: X A \u003d -195,52 kN, Y A \u003d -81,34 kN, R D \u003d 172,68 kN.

Exemple 9 La conception (Fig. 21) se compose d'un carré rigide et d'une tige qui, au point C, reposent librement l'une sur l'autre. Les liens externes imposés à la structure sont: au point A - une fixation rigide, au point B - une charnière. La structure est affectée par : un couple d'efforts de moment M = 80 kN m, une charge d'intensité uniformément répartie q=10 kN/m et forces : =15 kN et =25kN. Lors de la détermination des dimensions de la structure, prendre UN\u003d 0,35 m.Déterminer les réactions des liaisons aux points A, B et C.

Donné: M = 80 kN·m, q\u003d 10 kN / m, F 1 \u003d 15 kN, F 2 \u003d 25 kN, UN=0,35 m.

Définir: R A , M A , R B , R C .

Directions. La tâche est d'équilibrer le système de corps sous l'action d'un système plat de forces. Lors de la résolution, vous pouvez soit considérer d'abord l'équilibre de l'ensemble du système, puis l'équilibre de l'un des corps du système, en le décrivant séparément, soit vous pouvez immédiatement disséquer le système et considérer l'équilibre de chacun des corps séparément. , en tenant compte de la loi d'égalité d'action et de réaction. Dans les problèmes où il y a une terminaison rigide, il faut tenir compte du fait que sa réaction est représentée par une force dont le module et la direction sont inconnus, et une paire de forces dont le moment est également inconnu.

Solution.

V Nous l'exécutons conformément à la méthode ci-dessus.

1. Dans ce problème, nous étudions l'équilibre d'un système constitué d'un carré rigide et d'une tige.

2. Sélectionnez le système de coordonnées HAU (voir Fig. 21).

3. Les charges actives sur ce système sont : l'intensité de la charge répartie q, , et l'instant M.

Fig.21

Décrivons les réactions attendues des liens dans le dessin. Puisqu'un encastrement rigide (dans la section UN) empêche le mouvement de cette section de la tige le long des directions X Et À, ainsi que la rotation de la tige autour du point UN, puis dans cette section, par suite de l'action de l'encastrement sur la tige, les réactions , , . Point de pivot DANS empêche le point donné de la tige de se déplacer le long des directions X Et À. Par conséquent, au point DANS il y a des réactions , et . Au point C de l'appui de la tige sur le carré, la réaction de l'action du carré sur la tige et la réaction de l'action de la tige sur le carré se produisent. Ces réactions sont dirigées perpendiculairement au plan du carré, et R C = R ¢ C (selon la loi d'égalité d'action et de réaction).

1. Nous résolvons le problème par la méthode du démembrement. Considérons d'abord l'équilibre de la tige Soleil(Fig. 21, b). Les réactions des liaisons , , , force et moment agissent sur la tige. Pour le système plat de forces résultant, trois équations d'équilibre peuvent être compilées, tandis que la somme des moments des forces externes et des réactions de liaison est plus pratique à considérer par rapport au point B :

;;(1)

;; (2)

De l'équation (3) nous obtenons : R c =132,38 kN.

De l'équation (1), nous obtenons : Х В = -12,99 kN.

De l'équation (2) nous obtenons : Y B = -139,88 kN.

Réaction charnière au point B :

Considérons maintenant l'équilibre du carré CA (Fig. 21, V). Le carré est affecté par : les réactions de liaison, la force q. Notez que R / C = R C = 132,38 kN. Pour un système plat de forces donné, trois équations d'équilibre peuvent être établies, tandis que la somme des moments de forces sera considérée par rapport au point C :

;;(4)

De l'équation (4) nous obtenons : X A = 17,75 kN.

De l'équation (5), nous obtenons: Y A \u003d -143,13 kN.

De l'équation (6), nous obtenons : M A = -91,53 kNm.

Problème résolu.

Et maintenant, pour une preuve claire de l'importance du choix correct du point par rapport auquel l'équation des moments est compilée, nous trouvons la somme des moments de toutes les forces par rapport au point A (Fig. 21, V):

A partir de cette équation, il est facile de déterminer M A :

MA = -91,53 kNm.

Bien sûr, l'équation (6) a donné la même valeur de M A que l'équation (7), mais l'équation (7) est plus courte et n'inclut pas les réactions inconnues X A et Y A, par conséquent, il est plus pratique de l'utiliser.

Répondre: R A \u003d 144,22 kN, M A \u003d -91,53 kNm, R B \u003d 140,48 kN, R C \u003d R ¢ C = 132,38 kN.

Exemple 10. Sur la place abc(), fin UN qui est rigidement encastré, au point AVEC penche la tige DE(fig. 22, UN). La tige a une pointeDsupport articulé fixe, et une force lui est appliquée, et au carré - uniformément répartis sur le siteqet un couple avec un moment M.

Riz. 22

D un non :F=10 kN, M=5kNm, q = 20kN/m, UN=0,2 m.

Définir: réactions aux points UN , AVEC, D causés par des charges données.

Directions. La tâche est d'équilibrer le système de corps sous l'action d'un système plat de forces. Lors de la résolution, vous pouvez soit considérer d'abord l'équilibre de l'ensemble du système dans son ensemble, puis l'équilibre de l'un des corps du système, en le décrivant séparément, soit disséquer immédiatement le système et considérer l'équilibre de chacun des corps séparément, en tenant compte de la loi d'égalité d'action et de réaction. Dans les tâches où il y a une terminaison rigide, tenez compte du fait que sa réaction est représentée par une force dont le module et la direction sont inconnus, et un couple de forces dont le moment est également inconnu.

Solution. 1. Pour déterminer les réactions, nous disséquons le système et considérons d'abord l'équilibre de la tige DE(fig. 22, b). Dessiner des axes de coordonnées XY et représentent les forces agissant sur la tringle : force , réaction dirigée perpendiculairement à la tringle et les composantes et réactions de la charnière D. Pour le système de forces plat résultant, nous composons trois équations d'équilibre :

,;( 1)

Solution

2 . Dans la terminaison, une réaction peut se produire, représentée par deux : composants (R Oui,R Hache) et le moment réactif М A . Nous traçons les directions possibles des réactions sur le diagramme du faisceau.

Commentaire. Si les directions sont choisies de manière incorrecte, dans les calculs, nous obtenons des valeurs négatives des réactions. Dans ce cas, les réactions du diagramme doivent être dirigées dans le sens opposé, sans répéter le calcul.

En raison de la faible hauteur, que tous les points du faisceau sont sur la même droite ; les trois réactions inconnues sont attachées à un point. Pour le résoudre, il convient d'utiliser le système d'équations d'équilibre sous la première forme. Chaque équation contiendra une inconnue.

3. On utilise le système d'équations :

Les signes des réactions obtenues sont (+), donc les sens des réactions sont choisis correctement.

3 . Pour vérifier l'exactitude de la solution, nous composons l'équation des moments autour du point B.

Nous substituons les valeurs des réactions obtenues:

La décision a été prise correctement.

Exemple 2 Double poutre avec supports articulés UN Et DANS chargé de puissance concentrée F, charge répartie avec intensité q et quelques forces avec un moment J(Fig. 6.8a). Déterminer les réactions des supports.

Exercer

Une poutre horizontale à deux supports est donnée. La poutre est chargée de forces actives : concentrées F, distribué par l'intensité de la force q et quelques forces avec un moment M(Tableau 2.1 et Figure 2.6).

But du travail – construire un schéma de calcul de la poutre, établir les équations d'équilibre de la poutre, déterminer les réactions de ses appuis et identifier l'appui le plus chargé.

Justification théorique

Dans de nombreuses machines et structures, il existe des éléments structurels conçus principalement pour absorber des charges dirigées perpendiculairement à leur axe. Les schémas de conception de tels éléments (arbres, parties d'une structure métallique, etc.) peuvent être représentés par une poutre. Les poutres ont des dispositifs de support pour transférer les forces et s'interfacer avec d'autres éléments.

Les principaux types de supports de poutres sont les supports articulés-mobiles, articulés-fixes et les encastrements rigides.

Charnière - support mobile (Fig. 2.1, a) permet au faisceau de tourner autour de l'axe de la charnière et d'un mouvement linéaire sur une petite distance parallèle au plan de référence. Le point d'application de la réaction d'appui est le centre charnière. La direction de réaction R est perpendiculaire à la surface d'appui.

Charnière - support fixe (Fig. 2.1.6) permet uniquement la rotation de la poutre autour de l'axe de charnière. Le point d'application est également le centre de la charnière. Le sens de la réaction est ici inconnu, il dépend de la charge appliquée à la poutre. Par conséquent, pour un tel support, deux inconnues sont déterminées - les composantes mutuellement perpendiculaires R x et R y de la réaction de support.

L'étanchéité rigide (pincement) (Fig. 2.1, c) ne permet ni mouvement linéaire ni rotation. Dans ce cas, les inconnues ne sont pas seulement la valeur, mais aussi son point d'application. Ainsi, pour déterminer la réaction d'appui, il faut trouver trois inconnues : les composantes R x et R y selon les axes de coordonnées et le moment réactif MR par rapport au centre de gravité de la section d'appui de la poutre.

A B C

Fig.2.1

L'équilibre d'une poutre sous l'action de tout système de forces donné situé dans le même plan peut être assuré par une fixation rigide ou deux supports - mobile et fixe. Les poutres sont appelées respectivement en porte-à-faux (Fig. 2.2, a) ou à deux supports (Fig. 2.2, b)

Fig.2.2

Les forces et couples de forces donnés agissent sur la poutre. Les forces selon la méthode d'application sont divisées en distribuées et concentrées. Les charges réparties sont définies de manière intensive q, N/m et longueur 1, m.Les charges uniformément réparties sont classiquement représentées par un rectangle dans lequel des flèches parallèles indiquent dans quelle direction la charge agit (Fig. 2.3). Dans les problèmes de statique, une charge uniformément répartie peut être remplacée par une force résultante concentrée Q, numériquement égale au produit q * 1, appliquée au milieu de la longueur et dirigée vers l'action q.

Fig.2.3 2.4

Les charges concentrées sont appliquées sur une longueur relativement courte, elles sont donc considérées comme appliquées en un point. Si la force concentrée est appliquée sous un angle par rapport à la poutre, alors pour déterminer la réaction des supports, il convient de la décomposer en deux composantes - F x = Fcos α et F y = F sin α (Fig. 2.4).

Les réactions des supports de poutre sont déterminées à partir des conditions d'équilibre d'un système plat de forces arbitrairement localisées. Pour un système plat, trois conditions d'équilibre indépendantes peuvent être formulées :

∑ F ix = 0 ; ∑F iy = 0 ; ∑M io = 0 ou

∑M ia = 0 ; ∑MiB = 0 ; ∑M iC = 0 ou ) (2.1)

∑M iA = 0 ; ∑MiB = 0 ; ∑Fix = 0.

Où O, A, B, C sont les centres des moments.

Il est rationnel de choisir de telles équations d'équilibre, dont chacune comprendrait une réaction inconnue.

Demande de service

1. Conformément à la tâche, décrivez la poutre et les forces agissantes données.

Sélectionnez l'emplacement des axes de coordonnées : aligner l'axe X avec une poutre, et l'axe à directe perpendiculaire à l'axe X.

1. Effectuez les transformations nécessaires : remplacez la force inclinée par rapport à l'axe de la poutre selon un angle a par deux composantes mutuellement perpendiculaires, et remplacez la charge uniformément répartie par sa résultante.

2. Libérez la poutre des supports en remplaçant leur action par les réactions des supports dirigés le long des axes de coordonnées.

3. Composez les équations d'équilibre de la poutre de sorte que la solution de chacune des trois équations consiste à déterminer l'une des réactions inconnues des supports.

4. Vérifiez l'exactitude de la détermination des réactions des supports selon l'équation qui n'a pas été utilisée pour résoudre les problèmes.

5. Faites une conclusion sur le support le plus chargé.

6. Répondez aux questions de sécurité.

Questions de contrôle

1. Combien d'équations d'équilibre indépendantes peut-on établir pour un système plat de forces parallèles ?

2. Quels composants de la réaction des supports de poutres se produisent dans les supports articulés - mobiles, articulés - fixes et les fixations rigides?

3. Quel point faut-il choisir comme centre du moment pour déterminer les réactions des supports ?

4. Quel système est statiquement indéterminé ?

Exemple d'exécution

1.Tâche :

q = 5 H/m, F = 25 H, M = 2 H*m, α = 60°

2. Conversion des forces données :

F x = F cos α = 25 cos 60° = 12.500H, F y = F sinα = 25 sin60° = 21.625H

Q \u003d q * 1 \u003d 5 * 6 \u003d 30 H.

Fig.2.5

3. Faisons un schéma de calcul (Fig. 2.5)

4.Équations d'équilibre et définition des réactions des supports :

a) ∑Mia = 0 ; -Q *3 – F y * 7,5+ R B * 8,5 – M = 0 ;

b) ∑M iB =0 : - R Ay *8,5 + Q *5,5 + F y *1 - M = 0 :

c) ∑Fix =0 : R Ax + F x =0 : R Ax = - F x = - 12.500H.

5.Vérifiez :

∑F iy = 0 ; R Ay \u003d Q - F y + R B \u003d 0; 21,724 - 30 - 21,651 + 29,927 = 0 ; 0 = 0

Le plus chargé est le support B - R B \u003d 29,927 N. Charge sur le support A - R A \u003d

Littérature:

Tableau 2.1

numéro d'option	Schéma n ° dans la fig. 2.6	q , N/m	F, N	M, N m	, deg
		4,5
		2,5
		4,5
		3,5
		6,5
		1,5
		0,5

La solution de nombreux problèmes de statique est réduite à la détermination des réactions des supports, à l'aide desquels les poutres et les fermes de pont sont fixées.

En ingénierie, il existe généralement trois types de fixations de support (hormis celles considérées au § 2) :

1. Support articulé mobile (fig. 28, support A). La réaction d'un tel support est dirigée selon la normale à la surface sur laquelle reposent les galets du support mobile.

2. Support articulé fixe (Fig. 28, support B). Réaction
un tel support passe par l'axe de la charnière et peut avoir n'importe quelle direction dans le plan du dessin. Lors de la résolution de problèmes, nous réagirons
le représenter comme faisant partie
Et
suivant les directions des axes de coordonnées. Module
définir par la formule
.

3. Terminaison rigide (Fig. 29, a). Considérant l'extrémité scellée de la poutre et le mur dans son ensemble, un joint rigide est représenté comme illustré à la Fig. 29, b. Dans ce cas, un système de forces réparties (réactions) agit sur la poutre dans sa section transversale du côté de l'extrémité encastrée. En considérant ces efforts comme réduits au centre A de la section, ils peuvent être remplacés par un seul effort
et une paire avec un moment inconnu m A (Fig. 29, a). Force
peut être représenté par ses composants
,
(Fig. 29, b).

Ainsi, afin de trouver la réaction de terminaison rigide, il faut déterminer trois inconnues X A , Y A , m A .

Riz. 28 Fig. 29

On remarque aussi que dans les calculs d'ingénierie on rencontre souvent des charges réparties le long de la surface selon une loi ou une autre. Prenons quelques exemples de forces distribuées.

Un système plat de forces réparties est caractérisé par son intensité q, c'est-à-dire la valeur de la force par unité de longueur du segment chargé. L'intensité est mesurée en newtons divisés par les mètres (N/m).

a) Forces uniformément réparties le long d'un segment de droite (Fig. 30, a). Pour un tel système, l'intensité q a une valeur constante. Dans les calculs, ce système de forces peut être remplacé par la résultante . Modulo

Q= un Q. (33)

Une force Q est appliquée au milieu du segment AB.

b) Forces réparties le long d'un segment de droite selon une loi linéaire (Fig. 30, b). Pour ces forces, l'intensité q est une variable qui croît de zéro à une valeur maximale q m . Module résultant dans ce cas est déterminé par la formule

Q=0,5 un qm. (34)

Force appliquée à distance UN/3 du côté BC du triangle ABC.

Tâche 3. Déterminer les réactions du support articulé fixe A et du support mobile B de la poutre (Fig. 31), sur lesquelles agissent les forces actives: une force concentrée connue F \u003d 5 kN, appliquée au point C sous un angle de 60 0, et une paire de forces avec un moment m = 8 kNm.

, un couple de forces de moment m et les réactions des liaisons
,
,
(la réaction du support articulé fixe A est représentée par ses deux composantes). En conséquence, nous avons un système de forces plat arbitraire. 3) Traçons les axes de coordonnées x, y et composons les conditions d'équilibre (28). Pour calculer le moment de force , il est parfois commode de le décomposer en composants Et , dont les modules sont F 1 = F cos60 0 = 2,5 kN, F 2 = F cos30 0 = 4,33 kN. Alors on obtient :

, ,

En résolvant ce système d'équations, on trouve :

X A \u003d F 1 \u003d 2,5 kN, Y B \u003d (m + F 2 ∙ 5) / 3 \u003d 9,88 kN, Y A \u003d F 2 - Y B \u003d - 5,55 kN.

Le signe moins de la réaction Y A montre que cette réaction est dirigée verticalement vers le bas.

Pour vérifier, faisons une équation des moments par rapport au nouveau centre, par exemple, par rapport au point B :

5,55∙3 – 8 – 4,33∙2 = – 0,01 ≈ 0.

Tâche 4. Déterminer la réaction de l'encastrement de la poutre en porte-à-faux (Fig. 32), sur laquelle agissent les forces actives: force concentrée F = 6 kN, appliquée au point C sous un angle de 45 0, une charge uniformément répartie d'intensité q = 2 kN / m et une paire de forces avec un couple m = 3 kNm.

Solution. 1) Nous choisissons l'objet d'étude, c'est-à-dire considérons l'équilibre de la poutre ABC. 2) Représentons les forces extérieures agissant sur la poutre : force , une charge uniformément répartie d'intensité q, une paire de forces de moment m et des réactions de terminaison, c'est-à-dire trois inconnues X A , Y A , m A (la réaction de terminaison rigide est représentée par ses deux composantes X A , Y A , et la paire est représentée par le moment inconnu m A , comme sur la Fig. 29). Force le décomposer en deux éléments Et , dont les modules sont égaux à F 1 \u003d F 2 \u003d F cos45 0 \u003d 4,24 kN, et on remplace la charge répartie d'intensité q par la force concentrée de module égal à

Q = 3∙q = 6 kN.

Force appliquée au milieu du segment AB. En conséquence, nous avons un système de forces plat arbitraire. 3) Tracer les axes de coordonnées x, y et composer les équations d'équilibre (2) :

, ,

En résolvant ces équations, on trouve :

X A \u003d F 1 \u003d 4,24 kN, Y A \u003d Q - F 2 \u003d 1,76 kN, m A \u003d Q ∙ 1,5 + m - F 2 ∙ 5 \u003d - 9,2 kNm.

Pour vérifier, on compose l'équation des moments autour du point C :

, – 9,2 + 21 – 3 – 8,8 = 0.

Tâche 5. Déterminer les réactions des supports A, B, C et la force dans la charnière intermédiaire D de la structure composite (Fig. 33), sur laquelle agissent les forces actives: force concentrée F \u003d 4 kN, appliquée au point E à un angle de 45 0, une intensité de charge uniformément répartie q = 2 kN/m et une paire de forces avec un moment m = 10 kNm.

Solution. L'une des façons de résoudre les problèmes de détermination de la réaction des supports d'une structure composite est que la structure est divisée en corps séparés et que les conditions d'équilibre pour chacun des corps sont faites séparément. Utilisons cette méthode et divisons la construction en deux parties : l'AD gauche et le DC droit. En conséquence, nous arrivons au problème de l'équilibre de deux corps. Les circuits d'alimentation du problème sont illustrés à la fig. 7.8. Pour simplifier les calculs, nous augmentons la force en composants Et , dont les modules sont égaux à F 1 = F 2 = F cos45 0 = 2,83 kN, et on remplacera la charge répartie d'intensité q par la force concentrée de module égal à Q = 10 kN. Force appliquée au milieu du segment BD.

Riz. 34 Fig. 35

L'analyse des circuits de puissance ci-dessus montre qu'ils comportent six inconnues : X A , Y A , Y B , X D , Y D , Y C .

Puisque dans la fig. 34,35 il existe des systèmes plats de forces équilibrées, alors les conditions d'équilibre (28) peuvent être écrites pour eux sous la forme de six équations algébriques linéaires :

Côté gauche Côté droit

,
,

,
,

Puisque le système composé de six équations dépend de six inconnues X A , Y A , Y B , X D , Y D , Y C , alors il est fermé.

En résolvant le système, on trouve :

X A = – 2,83 kN, Y A = – 0,93 kN, Y B = 11,76 kN, Y C = 2 kN, X D = 0, Y D = 2 kN.

Pour vérifier, on compose l'équation des moments autour du point D :

2,83∙7 – (– 0,93)∙15 – 11,76∙5 + 10∙2,5 – 10 + 2∙5 = – 0,04 ≈ 0.