Kto jako pierwszy rozwiązał równanie najwyższego stopnia. Schemat Hornera. Przykłady Rozwiązywanie równań z parametrem

Problem rozwiązywania równań trzeciego i czwartego stopnia w rodnikach nie był spowodowany szczególną koniecznością praktyczną. Jej pojawienie się świadczyło pośrednio o stopniowym przechodzeniu matematyki na wyższy poziom jej rozwoju, gdy nauka matematyczna rozwija się nie tylko pod wpływem wymagań praktyki, ale także dzięki swojej wewnętrznej logice. Po rozwiązaniu równań kwadratowych naturalnym krokiem było przejście do rozwiązywania równań sześciennych.

Równania trzeciego i czwartego stopnia rozwiązano we Włoszech w XVI wieku.

Włoscy matematycy rozważali trzy rodzaje równań sześciennych:

Rozważenie trzech typów równań sześciennych zamiast jednego wynika z faktu, że chociaż matematycy z XVI wieku. znali liczby ujemne, ale przez długi czas nie uważano ich za liczby rzeczywiste, a naukowcy starali się pisać równania tylko ze współczynnikami dodatnimi.

Historycznie algebraiści najpierw zajmowali się równaniem pierwszego typu

Początkowo rozwiązał je profesor Uniwersytetu Bolońskiego, Scipio del Ferro, ale nie opublikował powstałego rozwiązania, ale przekazał je swojemu studentowi Fiore. Z pomocą sekretu rozwiązania tego równania Fiore wygrał kilka turniejów matematycznych. Wtedy takie turnieje były powszechne we Włoszech. Polegały one na tym, że dwaj przeciwnicy w obecności notariusza wymienili z góry ustaloną liczbę zadań i ustalili termin ich rozwiązania. Zwycięzca otrzymał sławę i często dochodową pozycję. W 1535 Fiore wyzwał na taki pojedynek każdego, kto chce z nim walczyć. Wyzwanie zostało przyjęte przez Tartaglia.

Niccolò Tartaglia (1500-1557) został wcześnie osierocony i dorastał w biedzie bez żadnego wykształcenia. Mimo to był dobrze zaznajomiony z ówczesną matematyką i zarabiał na życie prywatnymi lekcjami matematyki. Tuż przed pojedynkiem z Fiorem zdołał samodzielnie rozwiązać równanie (1). Dlatego, gdy spotkali się przeciwnicy, Tartaglia był w stanie rozwiązać problemy Fiore w ciągu kilku godzin; wszystkie znalazły się w równaniu (1). Co do Fiore, przez wiele dni nie rozwiązał żadnego z 30 różnych problemów Tartaglii. Tartaglia został ogłoszony zwycięzcą turnieju. Wieść o jego zwycięstwie rozeszła się po całych Włoszech. Został kierownikiem wydziału matematyki na Uniwersytecie w Weronie.

Metoda Tartaglii była następująca. Przyjął w równaniu (1) , gdzie u i v są nowymi niewiadomymi. Otrzymujemy:

Wstawiamy ostatnie równanie . Powstaje układ równań

co sprowadza się do równania kwadratowego. Z niego znajdujemy:

,

Tuż po turnieju Tartaglia z łatwością rozwiązywał równania sześcienne drugiego i trzeciego typu. Na przykład dla równania drugiego typu zastosował podstawienie, które doprowadziło do wzoru

(3)

Wiadomość o sukcesie Tartaglii dotarła do Cardano. Girolamo Cardano (1501-1576) ukończył wydział medyczny Uniwersytetu w Pawii i był lekarzem w Mediolanie. Był naukowcem, nie mniej utalentowanym niż Tartaglia io wiele bardziej wszechstronnym: studiował medycynę, matematykę, filozofię i astrologię. Cardano planował napisać encyklopedyczną książkę o algebrze, która byłaby niekompletna bez rozwiązywania równań sześciennych. Zwrócił się do Tartaglii z prośbą o poinformowanie go o jego metodzie rozwiązywania tych równań. Tartaglia nie zgodził się, a potem Cardano przysiągł na Ewangelię, że nie zdradzi nikomu tajemnicy rozwiązywania równań sześciennych. Najwyraźniej Tartaglia miał zamiar sam napisać książkę o algebrze, w tym swoje odkrycie, ale z powodu zajętych zajęć i dlatego, że publikacja była kosztownym biznesem, odłożył swój zamiar. W końcu w 1545 Cardano opublikował swoją monografię zatytułowaną „Wielka Sztuka”, w której odkryto „mojego przyjaciela Tartaglię”. Tartaglia był rozwścieczony złamaniem przysięgi i poszedł do prasy, aby zdemaskować Cardano. Okazało się, że najlepszy uczeń Cardano wyzwał Tartaglię na publiczny pojedynek. Pojedynek miał miejsce w 1548 roku w Mediolanie i zakończył się w niejasnych okolicznościach klęską Tartaglii. Formuły pierwiastków równania sześciennego otrzymały w historii nazwę formuł Cardano, chociaż sam Cardano nie podał formuł w swojej książce, ale nakreślił algorytm rozwiązywania równania sześciennego.

Książka Cardano Wielka sztuka odegrała znaczącą rolę w historii algebry. W szczególności udowodnił w nim, że pełne równanie trzeciego stopnia można sprowadzić przez podstawienie do równania bez wyrazu kwadratem nieznanego, tj. do jednego z trzech rodzajów równań sześciennych omówionych na początku rozdziału. Modernizując prezentację, bierzemy ogólne równanie sześcienne

ze współczynnikami dowolnego znaku zamiast tych kilku rodzajów równań sześciennych, którymi zajmował się Cardano i umieścił w nim

.

Łatwo sprawdzić, czy ostatnie równanie nie zawiera wyrazu z kwadratem niewiadomej, ponieważ suma wyrazów zawierających jest równa zero:

.

Podobnie Cardano udowodnił, że w pełnym równaniu czwartego stopnia można pozbyć się wyrazu z sześcianem niewiadomego. Aby to zrobić, w równaniu czwartego stopnia postaci ogólnej

wystarczy umieścić.

Później F. Viet rozwiązał znane równanie sześcienne za pomocą pomysłowego stojaka.

.

Wstawmy ostatnie równanie . Z otrzymanego równania kwadratowego znajdujemy t; następnie oblicz, w końcu,

Równanie czwartego stopnia rozwiązał Ferrari. Rozwiązał to na przykładzie

(bez członu z kostką nieznanego), ale w dość ogólny sposób.

Dodajmy do obu części równania (4), aby uzupełnić lewą stronę do kwadratu sumy:

Teraz dodaj do obu stron ostatniego równania sumę

gdzie to jest nowe? nieznany:

Ponieważ lewa strona równania (5) jest kwadratem sumy, to prawa strona również jest kwadratem, a następnie wyróżnik trójmianu kwadratowego jest równy zero: Jednak w XVI wieku. to równanie zostało zapisane w postaci

Równanie (6) jest sześcienne. Przekonajmy się z tego t w znany sposób zastąp tę wartość t do równania (5) i wyodrębnij pierwiastek kwadratowy z obu części wynikowego równania. Powstaje równanie kwadratowe (dokładniej dwa równania kwadratowe).

Podana tutaj metoda rozwiązania równania czwartego stopnia została zawarta w książce Cardano.

Zgodnie z ówczesnymi poglądami nie można zastosować zasady rozwiązywania równania sześciennego drugiego typu według wzoru (3), gdy

; Z nowoczesnego punktu widzenia w tym przypadku konieczne jest wykonywanie operacji na liczbach urojonych. Na przykład równanie

ma prawdziwy korzeń ; ponadto ma jeszcze dwa prawdziwe (irracjonalne) korzenie. Ale zgodnie ze wzorem (3) otrzymujemy:

Jak można uzyskać liczbę rzeczywistą z liczb urojonych („urojonych”, jak wtedy mówiono)? Ten przypadek równania sześciennego nazywa się nieredukowalnym.

Nieredukowalny przypadek szczegółowo przeanalizował włoski matematyk Rafael Bombelli w książce „Algebra”, opublikowanej w 1572 roku. We wzorze (3) wyjaśnił tę sytuację faktem, że pierwszy pierwiastek sześcienny jest równy, a drugi -a -bi (gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, t jest jednostką urojoną), więc ich suma daje

tych. prawdziwy numer.

Bombelli podał zasady operacji na liczbach zespolonych.

Po opublikowaniu książki Bombelli'ego stopniowo stało się jasne dla matematyków, że liczby zespolone są niezbędne w algebrze.

Rozwiązanie równań II, III, IV stopień za pomocą wzoru. Równania pierwszego stopnia, tj. liniowe, od pierwszej klasy uczymy się rozwiązywać i nie wykazują one dużego zainteresowania. Równania nieliniowe są interesujące, tj. świetne stopnie. Wśród nieliniowych (ogólne równania, których nie można rozwiązać przez faktoryzację lub jakikolwiek inny względnie) w prosty sposób) równania niższych stopni (2,3,4) można rozwiązywać za pomocą wzorów. Równania stopnia 5 i wyższe są nierozwiązywalne w rodnikach (brak formuły). Dlatego rozważymy tylko trzy metody.

I. Równania kwadratowe. Formuła Vieta. Wyróżnik trójmianu kwadratowego. I. Równania kwadratowe. Formuła Vieta. Wyróżnik trójmianu kwadratowego. Dla dowolnego kwadratu równanie wzór jest poprawny: dla dowolnego kwadratu. równanie, wzór jest ważny: Oznacz: D=p-4q wtedy wzór przyjmie postać: Oznacz: D=p-4q wtedy wzór przybierze postać: Wyrażenie D nazywa się wyróżnikiem. W badaniu kw. trójmiany patrzą na znak D. Jeśli D>0, to pierwiastki wynoszą 2; D=0, to pierwiastek wynosi 1; jeśli D 0, to są 2 korzenie; D=0, to pierwiastek wynosi 1; jeśli D 0, to są 2 korzenie; D=0, to pierwiastek wynosi 1; jeśli D 0, to są 2 korzenie; D=0, to pierwiastek wynosi 1; jeśli D">

II. Twierdzenie Viety Dla dowolnego kwadratu równania Dla dowolnego kwadratu. Twierdzenie Viety jest poprawne: dla dowolnego równania n-tego stopnia, twierdzenie Viety jest również poprawne: współczynnik wzięty z przeciwnym znakiem, jest równa sumie jego n korzeni; wyraz wolny jest równy iloczynowi jego n pierwiastków i liczby (-1) do n-tej potęgi. Dla każdego równania n-tego stopnia, twierdzenie Viety jest również ważne: współczynnik wzięty z przeciwnym znakiem jest równy sumie jego n pierwiastków; wyraz wolny jest równy iloczynowi jego n pierwiastków i liczby (-1) do n-tej potęgi.

Wyprowadzenie wzoru Vieta. Napiszmy wzór na kwadrat sumy Napiszmy wzór na kwadrat sumy I zamień w nim a na x, b na I zamień a na x, b na Otrzymujemy: Teraz odejmujemy od tego początkową równość: Teraz odejmujemy od tego początkową równość: Teraz uzyskanie pożądanej formuły nie jest trudne. Teraz nie jest trudno uzyskać pożądaną formułę.

Włoscy matematycy XVI wieku dokonał wielkiego matematycznego odkrycia. Znaleźli wzory do rozwiązywania równań trzeciej i czwartej potęgi. Rozważmy dowolne równanie sześcienne: I pokażemy, że można je przekształcić do postaci Let przez podstawienie. Wtedy to równanie przyjmie postać

W XVI wieku konkurencja między naukowcami, prowadzona w formie sporu, była powszechna. Matematycy zaproponowali sobie nawzajem pewną liczbę problemów, które należało rozwiązać przed rozpoczęciem pojedynku. Zwycięzcą jest ten, kto decyduje jeszcze zadania. Antonio Fiore stale brał udział w turniejach i zawsze wygrywał, bo znał formułę rozwiązywania równań sześciennych. Zwycięzca otrzymał nagrodę pieniężną, zaoferowano mu honorowe, wysoko płatne stanowiska.

IV. Tartaglia uczył matematyki w Weronie, Wenecji, Brescii. Przed turniejem z Fiore otrzymał od swojego przeciwnika 30 zadań, widząc, że wszystkie sprowadzają się do równania sześciennego, i starał się je rozwiązać. Po znalezieniu formuły Tartaglia rozwiązał wszystkie problemy, które zaproponował mu Fiore i wygrał turniej. Dzień po pojedynku znalazł wzór na rozwiązanie równania.To było największe odkrycie. Po znalezieniu wzoru na rozwiązywanie równań kwadratowych w starożytnym Babilonie wybitni matematycy przez dwa tysiąclecia bezskutecznie próbowali znaleźć wzór na rozwiązywanie równań sześciennych. Tartaglia utrzymywał w tajemnicy metodę rozwiązania. Rozważmy, że równanie Tartaglia użyło podstawienia

Obecnie nazywa się ją formułą Cardano, ponieważ została po raz pierwszy opublikowana w 1545 r. w książce Cardano The Great Art lub On Algebraic Rules. Girolamo Cardano () ukończył Uniwersytet w Padwie. Jego głównym zajęciem była medycyna. Ponadto studiował filozofię, matematykę, astrologię, opracował horoskopy Petrarki, Lutra, Chrystusa, angielskiego króla Edwarda 6. Papież korzystał z usług astrologa Cardano i patronował mu. Cardano zmarł w Rzymie. Istnieje legenda, że ​​popełnił samobójstwo w dniu, który przewidział, sporządzając własny horoskop, jako dzień swojej śmierci.

Cardano wielokrotnie zwracał się do Tartaglii z prośbą o przekazanie mu wzoru rozwiązywania równań sześciennych i obiecał zachować jej tajemnicę. Nie dotrzymał słowa i opublikował formułę, wskazując, że Tartaglia miał zaszczyt odkryć „tak piękne i niesamowite, przewyższające wszystkie talenty ludzkiego ducha”. W książce Cardano „Wielka sztuka…” opublikowano również formułę rozwiązywania równań czwartego stopnia, którą odkrył Luigi Ferrari () - uczeń Cardano, jego sekretarz i adwokat.

V. Zaprezentujmy metodę Ferrari. Piszemy ogólne równanie czwartego stopnia: Używając podstawienia można je sprowadzić do postaci Metodą dopełnienia do pełnego kwadratu piszemy: Ferrari wprowadził parametr i otrzymał: Stąd dane otrzymujemy Po lewej po stronie równania znajduje się pełny kwadrat, a po prawej trójmian kwadratowy względem x. Aby prawa strona była kwadratem idealnym, konieczne i wystarczające jest, aby wyróżnik trójmianu kwadratowego był równy zero, tj. liczba t musi spełniać równanie

Ferrari rozwiązał równania sześcienne za pomocą wzoru Cardano. Niech będzie pierwiastkiem równania. Następnie równanie zostanie zapisane w postaci równań sześciennych Ferrari rozwiązywanych wzorem Cardano. Niech będzie pierwiastkiem równania. Wtedy równanie zostanie zapisane w postaci Stąd otrzymamy dwa równania kwadratowe: Stąd otrzymamy dwa równania kwadratowe: Dają one cztery pierwiastki pierwotnego równania. Dają cztery pierwiastki pierwotnego równania.

Weźmy przykład. Rozważ równanie Łatwo jest sprawdzić, że jest to pierwiastek tego równania. Naturalne jest założenie, że korzystając z formuły Cardano, znajdziemy ten korzeń. Przeprowadźmy obliczenia, biorąc pod uwagę, że Zgodnie ze wzorem znajdujemy: Jak rozumieć wyrażenie Na to pytanie po raz pierwszy odpowiedział inżynier Rafael Bombelli (ok), który pracował w Bolonii.W 1572 roku opublikował książkę Algebra, w które wprowadził do matematyki liczbę i, tak że Bombelli sformułował zasady działania na liczbie Zgodnie z teorią Bombelliego wyrażenie można zapisać w następujący sposób: A pierwiastek równania, które ma postać, można zapisać jako:

Równania różnych potęg

Współczesny Leonardo da Vinci, profesor Scipio del Ferro z Bolonii (zm. 1526) całe życie poświęcił rozwiązywaniu różnych równań algebraicznych. Trudności związane z niewygodną notacją nieznanych wielkości były ogromne.

Jak wykazaliśmy powyżej, najważniejsze osiągnięcia matematyków średniowieczna Europa należał do dziedziny algebry, do doskonalenia jej aparatu i symboliki. Regiomontanus wzbogacił pojęcie liczby wprowadzając rodniki i operacje na nich. Umożliwiło to postawienie problemu rozwiązania możliwie szerszej klasy równań w pierwiastkach. I w tym konkretnym obszarze osiągnięto pierwsze sukcesy - równania III i IV stopnia rozwiązywano pierwiastkami.

Przebieg wydarzeń związanych z tym odkryciem jest w literaturze opisywanej sprzecznie. Zasadniczo jest. Profesor Uniwersytetu Bolońskiego Scipio del Ferro opracował wzór na znalezienie pierwiastka dodatniego określonych równań postaci x 3 + px = q (p>0, q›0). Utrzymywał ją w tajemnicy, zachowując ją jako broń przeciwko swoim oponentom w sporach naukowych, ale przed śmiercią zdradził tę tajemnicę swojemu krewnemu i następcy urzędu, Annibalowi della Nava, oraz swojemu uczniowi Fiore.

Na początku 1535 roku miał się odbyć pojedynek naukowy pomiędzy Fiore i Nicolò Tartaglia (1500–1557). Ten ostatni był utalentowanym naukowcem, który pochodził z biednej rodziny i zarabiał na życie ucząc matematyki i mechaniki w miastach północnych Włoch. Dowiedziawszy się, że Fiore jest w posiadaniu wzoru Ferro i przygotowuje zadania dla swojego przeciwnika do rozwiązania równań sześciennych, Tartaglia był w stanie na nowo odkryć tę formułę.

Podczas debaty Fiore zadał Tartaglia kilka pytań, wymagających umiejętności rozwiązywania równań trzeciego stopnia. Ale Tartaglia znalazł już przed sobą rozwiązanie takich równań, a ponadto nie tylko tego konkretnego przypadku, który rozwiązał Ferro, ale także dwóch innych szczególnych przypadków. Tartaglia przyjął wyzwanie i zaproponował Fiorze własne zadania. Rezultatem rywalizacji była całkowita porażka tego ostatniego. Tartaglia rozwiązał zaproponowane mu problemy w ciągu dwóch godzin, podczas gdy Fiore nie mógł rozwiązać ani jednego zaproponowanego mu problemu (po obu stronach było 30 problemów).

Wkrótce Tartaglia był w stanie rozwiązać równania postaci x 3 = px + q (p>0, q›0). W końcu doniósł, że równania postaci x 3 + q = px zostały zredukowane do poprzedniej formy, ale nie podały metody redukcji. Tartaglia długo nie publikował swojego wyniku. Były ku temu dwa powody: po pierwsze, ten sam powód, który powstrzymał Ferro. Po drugie, niemożność poradzenia sobie z nieredukowalnym przypadkiem. Ostatnim z nich jest to, że istnieją równania x 3 = px + q które mają prawdziwy pozytywny korzeń. Formuła Tartaglii nie dawała jednak rozwiązania w przypadku, gdy konieczne było wyciągnięcie pierwiastka z liczb ujemnych, ponieważ nie można było poprawnie zinterpretować wynikających z tego liczb urojonych. Nieredukowalny przypadek pojawił się również w Tartaglia w równaniach postaci x 3 + q = piks.

Jednak jego praca nie poszła na marne. Od 1539 Cardano (1501-1576) zaczął studiować równania sześcienne. Słysząc o odkryciu Tartaglii, dołożył wszelkich starań, aby odciągnąć tajemnicę od ostrożnego i niedowierzającego naukowca do publikacji w jego książce „Wielka sztuka, czyli o regułach algebry”. Dopiero kiedy Cardano przysiągł Ewangelię i dał słowo honoru szlachcica, że ​​nie odkryje metody Tartaglii na rozwiązywanie równań, a nawet nie zapisze jej w formie niezrozumiałego anagramu, Tartaglia zgodził się ujawnić swoją tajemnicę. Pokazał zasady rozwiązywania równań sześciennych, układając je wierszem i raczej niejasno.

Jednak Cardano nie tylko rozumiał te zasady, ale także znalazł na nie dowody. Mimo obietnicy opublikował metodę Tartaglii, która do dziś znana jest pod nazwą panowania Cardana. A książka ukazała się w 1545 roku.

Wkrótce odkryto również rozwiązanie równań IV stopnia. Włoski matematyk D. Colla zaproponował problem, dla którego znane do tej pory reguły nie wystarczały i wymagana była umiejętność rozwiązywania równań dwukwadratowych. Większość matematyków uważała ten problem za nierozwiązywalny. Ale Cardano zasugerował to swojemu uczniowi Luigiemu Ferrariemu, który rozwiązał problem, a nawet znalazł sposób na ogólne rozwiązanie równań czwartego stopnia, redukując je do równań trzeciego stopnia.

Tak szybki i zdumiewający postęp w znalezieniu wzoru na rozwiązywanie równań III i IV stopnia postawił przed matematykami problem znajdowania rozwiązań równań dowolnego stopnia. Ogromna ilość prób, wysiłki najwybitniejszych naukowców nie przyniosły sukcesu. W poszukiwaniach minęło około 300 lat. Dopiero w XIX wieku Abel (1802–1829) udowodnił, że równania stopnia n>4, Ogólnie rzecz biorąc, nie są one rozwiązywane w radykałach.

Na drodze do stworzenia ogólnej teorii równań algebraicznych i metod ich rozwiązywania stanęły jeszcze dwie przeszkody: złożoność, niedogodność otrzymanych formuł oraz brak wyjaśnienia przypadku nieredukowalnego. Pierwsza była niedogodnością czysto praktyczną. Cardano eliminuje to, proponując znalezienie pierwiastków równań w przybliżeniu za pomocą reguły dwóch fałszywych pozycji, która jest obecnie zasadniczo używana w formie prostej lub liniowej interpolacji. Druga przeszkoda ma głębsze korzenie, a próby jej przezwyciężenia doprowadziły do ​​bardzo ważnych konsekwencji.

Owocna i odważna próba uporania się z nieredukowalnym przypadkiem należy do włoskiego matematyka i inżyniera R. Bombelli z Bolonii. W Algebrze (1572) formalnie wprowadził zasady działania na liczbach urojonych i zespolonych.

Klikając przycisk „Pobierz archiwum”, pobierzesz potrzebny plik za darmo.
Przed pobraniem tego pliku pamiętaj o dobrych esejach, kontrolach, pracach semestralnych, tezy, artykuły i inne dokumenty, które nie zostały odebrane na Twoim komputerze. To twoja praca, powinna uczestniczyć w rozwoju społeczeństwa i przynosić korzyści ludziom. Znajdź te prace i wyślij je do bazy wiedzy.
My i wszyscy studenci, doktoranci, młodzi naukowcy, którzy wykorzystują bazę wiedzy w swoich studiach i pracy, będziemy Państwu bardzo wdzięczni.

Aby pobrać archiwum z dokumentem należy w polu poniżej wpisać pięciocyfrowy numer i kliknąć przycisk „Pobierz archiwum”

Podobne dokumenty

Opis życia we Włoszech i świata z czasów, gdy żył i pracował Girolamo Cardano. Działalność naukowa matematyka, przegląd jego prac matematycznych i poszukiwanie rozwiązań równań sześciennych w pierwiastkach. Metody rozwiązywania równań trzeciego i czwartego stopnia.

praca semestralna, dodana 26.08.2011


Historia rozwoju nauk matematycznych w Europie w VI-XIV wieku, jej przedstawiciele i osiągnięcia. Rozwój matematyki w okresie renesansu. Tworzenie rachunku dosłownego, działalność François Vieta. Ulepszenia w informatyce na przełomie XVI i XVI wieku

prezentacja, dodana 20.09.2015


Matematyka europejska renesansu. Stworzenie rachunku dosłownego przez François Vieta i metody rozwiązywania równań. Poprawa obliczeń na przełomie XVI i XVII wieku: ułamki dziesiętne, logarytmy. Ustalenie związku między trygonometrią a algebrą.

prezentacja, dodana 20.09.2015


Z historii ułamków dziesiętnych i zwykłych. Działania na ułamkach dziesiętnych. Dodawanie (odejmowanie) ułamków dziesiętnych. Mnożenie ułamków dziesiętnych. Dzielenie ułamków dziesiętnych.

streszczenie, dodane 29.05.2006


Matematyka grecka i jej filozofia. Związek i wspólna droga filozofii i matematyki od początku renesansu do końca XVII wieku. Filozofia i matematyka w epoce Oświecenia. Analiza charakteru wiedzy matematycznej niemieckiej filozofii klasycznej.

praca dyplomowa, dodana 09.07.2009


Równanie w ułamkach zwykłych liczby miejsc po przecinku, wykonaj dodawanie i odejmowanie, ignorując przecinek. Praktyczne znaczenie teorii ułamków dziesiętnych. Niezależna praca z późniejszą weryfikacją wyników, wykonywaniem obliczeń.

prezentacja, dodana 07.02.2010


Badanie pojawienia się matematyki i wykorzystania metod matematycznych w starożytnych Chinach. Specyfika problemów chińskich w numerycznym rozwiązywaniu równań i problemów geometrycznych prowadzących do równań III stopnia. Wybitni matematycy starożytnych Chin.