Quem foi o primeiro a resolver a equação do mais alto grau. O esquema de Horner. Exemplos Resolvendo equações com um parâmetro

O problema de resolver equações do terceiro e quarto grau em radicais não foi causado por uma necessidade prática especial. O seu aparecimento atestou indirectamente a transição gradual da matemática para um nível superior do seu desenvolvimento, quando a ciência matemática se desenvolve não só sob a influência das exigências da prática, mas também devido à sua lógica interna. Depois de resolver equações quadráticas, era natural passar para a resolução de equações cúbicas.

Equações do terceiro e quarto grau foram resolvidas na Itália no século XVI.

Matemáticos italianos consideraram três tipos de equações cúbicas:

A consideração de três tipos de equações cúbicas em vez de uma se deve ao fato de que, embora matemáticos do século XVI. estavam familiarizados com números negativos, mas por muito tempo não foram considerados números reais, e os cientistas procuraram escrever equações apenas com coeficientes positivos.

Historicamente, os algebristas primeiro lidaram com a equação do primeiro tipo

Inicialmente, foi resolvido por um professor da Universidade de Bolonha, Scipio del Ferro, mas ele não publicou a solução resultante, mas a comunicou ao seu aluno Fiore. Com a ajuda do segredo para resolver essa equação, Fiore ganhou vários torneios de matemática. Então, esses torneios eram comuns na Itália. Consistiam no facto de dois opositores, na presença de um notário, trocarem um número predeterminado de tarefas e acordarem um prazo para a sua solução. O vencedor recebeu fama e muitas vezes uma posição lucrativa. Em 1535, Fiore desafiou qualquer um que quisesse lutar com ele para tal duelo. O desafio foi aceito por Tartaglia.

Niccolò Tartaglia (1500-1557) ficou órfão cedo e cresceu na pobreza sem nenhuma educação. No entanto, ele estava bem familiarizado com a matemática da época e ganhava a vida com aulas particulares de matemática. Pouco antes do duelo com Fiore, ele conseguiu resolver a equação (1) sozinho. Portanto, quando os adversários se encontraram, Tartaglia conseguiu resolver os problemas de Fiore em poucas horas; todos eles terminaram na equação (1). Quanto a Fiore, ele não resolveu nenhum dos 30 problemas de Tartaglia por muitos dias. Tartaglia foi declarado o vencedor do torneio. A notícia de sua vitória se espalhou por toda a Itália. Ele se tornou chefe do departamento de matemática da Universidade de Verona.

O método de Tartaglia foi o seguinte. Ele assumiu na equação (1) , onde u e v são novas incógnitas. Nós temos:

Colocamos na última equação . Um sistema de equações é formado

que se reduz a uma equação quadrática. Dele encontramos:

,

Logo após o torneio, Tartaglia resolveu facilmente equações cúbicas do segundo e terceiro tipos. Por exemplo, para uma equação do segundo tipo, ele aplicou uma substituição que levou à fórmula

(3)

A notícia do sucesso de Tartaglia chegou a Cardano. Girolamo Cardano (1501-1576) formou-se na faculdade de medicina da Universidade de Pavia e foi médico em Milão. Ele era um cientista, não menos talentoso que Tartaglia, e muito mais versátil: estudou medicina, matemática, filosofia e astrologia. Cardano planejava escrever um livro enciclopédico sobre álgebra, e seria incompleto sem resolver equações cúbicas. Ele se virou para Tartaglia com um pedido para informá-lo sobre seu método de resolver essas equações. Tartaglia não concordou, e então Cardano jurou pelo Evangelho não contar a ninguém o segredo de resolver equações cúbicas. Aparentemente, Tartaglia ia escrever ele mesmo um livro sobre álgebra, incluindo sua descoberta nele, mas por estar ocupado e porque a publicação era um negócio caro, ele adiou sua intenção. No final, em 1545, Cardano publicou sua monografia intitulada "Grande Arte", que incluía a descoberta de "meu amigo Tartaglia". Tartaglia ficou furioso com a quebra do juramento e foi à imprensa para expor Cardano. Acabou que o melhor aluno de Cardano desafiou Tartaglia para um duelo público. O duelo ocorreu em 1548 em Milão e terminou, em circunstâncias pouco claras, com a derrota de Tartaglia. As fórmulas das raízes de uma equação cúbica receberam na história o nome de fórmulas de Cardano, embora o próprio Cardano não tenha dado fórmulas em seu livro, mas esboçou um algoritmo para resolver uma equação cúbica.

O livro de Cardano The Great Art desempenhou um papel significativo na história da álgebra. Em particular, ele provou que a equação completa do terceiro grau pode ser reduzida por substituição a uma equação sem termo com o quadrado da incógnita, ou seja, a um dos três tipos de equações cúbicas consideradas no início da seção. Modernizando a apresentação, tomamos uma equação cúbica geral

com coeficientes de sinal arbitrário em vez daqueles vários tipos de equações cúbicas que Cardano tratou, e colocou nele

.

É fácil verificar que a última equação não contém um termo com o quadrado da incógnita, pois a soma dos termos que contém é igual a zero:

.

Da mesma forma, Cardano provou que na equação completa do quarto grau é possível livrar-se do termo com o cubo da incógnita. Para fazer isso, na equação do quarto grau da forma geral

o suficiente para colocar.

Mais tarde, F. Viet resolveu a familiar equação cúbica com a ajuda de um engenhoso suporte. Teremos:

.

Vamos colocar na última equação. Da equação quadrática obtida encontramos t; então calcule, finalmente,

A equação do quarto grau foi resolvida por Ferrari. Ele resolveu com um exemplo

(sem um membro com o cubo do desconhecido), mas de uma forma bastante geral.

Vamos adicionar as duas partes da equação (4) para completar o lado esquerdo do quadrado da soma:

Agora adicione a ambos os lados da última equação a soma

onde t é novo desconhecido:

Como o lado esquerdo da equação (5) é o quadrado da soma, então o lado direito também é um quadrado, e então o discriminante do trinômio quadrado é igual a zero: No entanto, no século XVI. esta equação foi escrita na forma

A equação (6) é cúbica. Vamos descobrir disso t de uma forma familiar, substitua este valor t na equação (5) e extraia a raiz quadrada de ambas as partes da equação resultante. Uma equação quadrática é formada (mais precisamente, duas equações quadráticas).

O método dado aqui para resolver a equação do quarto grau foi incluído no livro de Cardano.

De acordo com as visões da época, a regra para resolver uma equação cúbica do segundo tipo de acordo com a fórmula (3) não pode ser aplicada quando

; Do ponto de vista moderno, neste caso é necessário realizar operações em números imaginários. Por exemplo, a equação

tem uma raiz real; além disso, tem mais duas raízes reais (irracionais). Mas de acordo com a fórmula (3) temos:

Como se pode obter um número real a partir de números imaginários ("imaginários", como se dizia então)? Este caso de uma equação cúbica é chamado de irredutível.

O caso irredutível foi analisado detalhadamente pelo matemático italiano Rafael Bombelli no livro "Álgebra", publicado em 1572. Na fórmula (3), ele explicou essa situação pelo fato de a primeira raiz cúbica ser igual a e a segunda -a -bi (onde a e b são números reais, t é a unidade imaginária), então sua soma dá

Essa. número real.

Bombelli deu regras para operações em números complexos.

Após a publicação do livro de Bombelli, gradualmente ficou claro para os matemáticos que os números complexos são indispensáveis ​​na álgebra.

Solução das equações II, III, IV-grau pela fórmula. Equações de primeiro grau, ou seja, lineares, somos ensinados a resolver desde a primeira série, e eles não demonstram muito interesse por eles. Equações não lineares são interessantes, ou seja, grandes graus. Entre não lineares (equações gerais que não podem ser resolvidas por fatoração ou qualquer outra de uma maneira simples) equações de graus inferiores (2,3,4º) podem ser resolvidas usando fórmulas. Equações de grau 5 e acima são insolúveis em radicais (sem fórmula). Portanto, consideraremos apenas três métodos.

I. Equações quadráticas. Fórmula Vieta. O discriminante de um trinômio quadrado. I. Equações quadráticas. Fórmula Vieta. O discriminante de um trinômio quadrado. Para qualquer sq. equação a fórmula é válida: Para qualquer quadrado dado. equação, a fórmula é válida: Denote: D=p-4q então a fórmula terá a forma: Denote: D=p-4q então a fórmula terá a forma: A expressão D é chamada de discriminante. No estudo de sq. trinômios olham para o sinal de D. Se D>0, então as raízes são 2; D=0, então a raiz é 1; se D 0, então existem 2 raízes; D=0, então a raiz é 1; se D 0, então existem 2 raízes; D=0, então a raiz é 1; se D 0, então existem 2 raízes; D=0, então a raiz é 1; se D">

II. Teorema de Vieta Para qualquer sq. equações Para qualquer quadrado dado. O teorema de Vieta é válido: Para qualquer equação do enésimo grau, o teorema de Vieta também é válido: o coeficiente tomado com o sinal oposto, é igual à soma suas n raízes; o termo livre é igual ao produto de suas n raízes pelo número (-1) elevado à enésima potência. Para qualquer equação de grau n, vale também o teorema de Vieta: o coeficiente tomado com o sinal oposto é igual à soma de suas n raízes; o termo livre é igual ao produto de suas n raízes pelo número (-1) elevado à enésima potência.

Derivação da fórmula Vieta. Vamos escrever a fórmula para o quadrado da soma Vamos escrever a fórmula para o quadrado da soma E substituir a nela por x, b por E substituir a por x, b por Obtemos: Agora subtraímos a igualdade inicial daqui: Agora subtraímos a igualdade inicial daqui: Agora não é difícil obter a fórmula desejada. Agora não é difícil obter a fórmula desejada.

matemáticos italianos do século 16 fez uma grande descoberta matemática. Eles encontraram fórmulas para resolver equações da terceira e quarta potências. Vamos considerar uma equação cúbica arbitrária: E mostraremos que ela pode ser transformada na forma Let por substituição Vamos obter: Então essa equação terá a forma

No século 16 a competição entre cientistas, realizada na forma de disputa, era generalizada. Os matemáticos ofereciam um ao outro um certo número de problemas que precisavam ser resolvidos até o início do duelo. O vencedor é aquele que decide mais tarefas. Antonio Fiore participava constantemente de torneios e sempre ganhava, pois conhecia a fórmula para resolver equações cúbicas. O vencedor recebeu uma recompensa monetária, ele recebeu cargos honorários e bem pagos.

4. Tartaglia ensinou matemática em Verona, Veneza, Brescia. Antes do torneio com Fiore, ele recebeu 30 problemas de seu oponente, vendo que todos se resumiam a uma equação cúbica, e fez o possível para resolvê-lo. Tendo encontrado a fórmula, Tartaglia resolveu todos os problemas que Fiore lhe oferecia e venceu o torneio. Um dia depois do duelo, ele encontrou uma fórmula para resolver a equação, essa foi a maior descoberta. Depois que a fórmula para resolver equações quadráticas foi encontrada na antiga Babilônia, matemáticos notáveis ​​tentaram sem sucesso por dois milênios encontrar uma fórmula para resolver equações cúbicas. Tartaglia manteve o método de solução em segredo. Considere a equação de Tartaglia usada a substituição

Agora é chamado de fórmula de Cardano, uma vez que foi publicado pela primeira vez em 1545 no livro de Cardano The Great Art, ou On Algebraic Rules. Girolamo Cardano () formou-se na Universidade de Pádua. Sua principal ocupação era a medicina. Além disso, ele estudou filosofia, matemática, astrologia, compilou os horóscopos de Petrarca, Lutero, Cristo, o rei inglês Eduardo 6. O papa usou os serviços de Cardano, um astrólogo, e o patrocinou. Cardano morreu em Roma. Há uma lenda de que ele se suicidou no dia que previu, traçando seu próprio horóscopo, como o dia de sua morte.

Cardano voltou-se repetidamente para Tartaglia com um pedido para lhe dizer uma fórmula para resolver equações cúbicas e prometeu manter seu segredo. Ele não cumpriu sua palavra e publicou a fórmula, indicando que Tartaglia teve a honra de descobrir "tão belo e surpreendente, superando todos os talentos do espírito humano". No livro de Cardano "Grande Arte ..." também foi publicada uma fórmula para resolver equações do quarto grau, descoberta por Luigi Ferrari () - um aluno de Cardano, seu secretário e advogado.

V. Vamos apresentar o método Ferrari. Escrevemos a equação geral do quarto grau: Usando a substituição, ela pode ser trazida para a forma Usando o método do complemento ao quadrado completo, escrevemos: Ferrari introduziu o parâmetro e obteve: Daqui Dado, temos À esquerda lado da equação há um quadrado completo e à direita - um trinômio quadrado em relação a x. Para que o lado direito seja um quadrado perfeito, é necessário e suficiente que o discriminante do trinômio quadrado seja igual a zero, ou seja, o número t deve satisfazer a equação

Ferrari resolveu as equações cúbicas usando a fórmula de Cardano. Seja a raiz da equação. Então a equação será escrita na forma Equações cúbicas Ferrari resolvidas pela fórmula de Cardano. Seja a raiz da equação. Então a equação será escrita na forma Daqui obtemos duas equações quadráticas: Daqui obtemos duas equações quadráticas: Elas dão quatro raízes da equação original. Eles fornecem as quatro raízes da equação original.

Vamos dar um exemplo. Considere a equação É fácil verificar que é a raiz desta equação. É natural supor que, usando a fórmula Cardano, encontraremos essa raiz. Vamos fazer os cálculos, levando em conta que De acordo com a fórmula encontramos: Como entender a expressão Esta pergunta foi respondida pela primeira vez pelo engenheiro Rafael Bombelli (ok), que trabalhava em Bolonha, que em 1572 publicou o livro Álgebra, em que ele introduziu o número i na matemática, de modo que Bombelli formulou as regras para operações com um número De acordo com a teoria de Bombelli, a expressão pode ser escrita assim: E a raiz da equação, que tem a forma, pode ser escrita como:

Equações de diferentes potências

Contemporâneo de Leonardo da Vinci, o professor Scipio del Ferro de Bolonha (m. 1526) dedicou toda a sua vida a resolver várias equações algébricas. As dificuldades associadas à notação inconveniente de quantidades desconhecidas eram enormes.

Como mostramos acima, as realizações mais importantes dos matemáticos Europa medieval pertencia ao campo da álgebra, ao aperfeiçoamento de seu aparato e simbolismo. Regiomontanus enriqueceu o conceito de número introduzindo radicais e operações sobre eles. Isso tornou possível colocar o problema de resolver uma classe possivelmente mais ampla de equações em radicais. E nesta área em particular, os primeiros sucessos foram alcançados - as equações do 3º e 4º graus foram resolvidas em radicais.

O curso dos eventos associados a essa descoberta é abordado na literatura de forma contraditória. Basicamente, ele é. Um professor da Universidade de Bolonha, Scipio del Ferro, desenvolveu uma fórmula para encontrar a raiz positiva de equações específicas da forma x 3 + px = q (p>0, q›0). Ele o manteve em segredo, guardando-o como arma contra seus oponentes em disputas científicas, mas antes de sua morte, ele contou esse segredo para seu parente e sucessor no cargo, Annibal della Nava, e seu aluno, Fiore.

No início de 1535, um duelo científico aconteceria entre Fiore e Nicolò Tartaglia (1500-1557). Este último era um cientista talentoso que vinha de uma família pobre e ganhava a vida ensinando matemática e mecânica nas cidades do norte da Itália. Ao saber que Fiore estava de posse da fórmula de Ferro e estava preparando tarefas para seu oponente resolver equações cúbicas, Tartaglia conseguiu redescobrir essa fórmula.

No debate, Fiore propôs várias questões a Tartaglia, exigindo a capacidade de resolver equações do terceiro grau. Mas Tartaglia já havia encontrado antes de si a solução de tais equações e, além disso, não apenas daquele caso particular que foi resolvido por Ferro, mas também de dois outros casos particulares. Tartaglia aceitou o desafio e ofereceu a Fiora suas próprias tarefas. O resultado da competição foi a derrota completa deste último. Tartaglia resolveu os problemas propostos a ele em duas horas, enquanto Fiore não conseguiu resolver um único problema proposto a ele (foram 30 problemas em ambos os lados).

Logo Tartaglia foi capaz de resolver equações da forma x 3 = px + q (p>0, q›0). Finalmente, ele relatou que as equações da forma x 3 + q = px são reduzidos à forma anterior, mas não deram um método de redução. Tartaglia não publicava seu resultado há muito tempo. Havia dois motivos para isso: primeiro, o mesmo motivo que parou Ferro. Em segundo lugar, a impossibilidade de lidar com o caso irredutível. A última é que existem equações x 3 = px + q que têm uma raiz real positiva. No entanto, a fórmula de Tartaglia não deu solução no caso em que era necessário extrair a raiz de números negativos, pois não era possível interpretar corretamente os números imaginários resultantes disso. O caso irredutível também apareceu em Tartaglia em equações da forma x 3 + q = px.

No entanto, seu trabalho não foi em vão. A partir de 1539, Cardano (1501-1576) começou a estudar equações cúbicas. Ao saber da descoberta de Tartaglia, ele fez grandes esforços para atrair o segredo do cientista cauteloso e incrédulo para publicação em seu livro "Grande Arte, ou nas Regras da Álgebra". Somente quando Cardano jurou sobre o Evangelho e deu a palavra de honra do nobre de que não descobriria o método de Tartaglia para resolver equações e nem mesmo o escreveria na forma de um anagrama incompreensível, Tartaglia concordou em revelar seu segredo. Ele mostrou as regras para resolver equações cúbicas, definindo-as em verso, e de forma bastante vaga.

No entanto, Cardano não apenas entendeu essas regras, mas também encontrou evidências para elas. Apesar de sua promessa, ele publicou o método de Tartaglia, e este método ainda é conhecido sob o nome de regra de Cardan. E o livro apareceu em 1545.

Logo a solução de equações do 4º grau também foi descoberta. O matemático italiano D. Colla propôs um problema para o qual as regras conhecidas até então não eram suficientes, sendo necessária a capacidade de resolver equações biquadráticas. A maioria dos matemáticos considerava esse problema insolúvel. Mas Cardano sugeriu isso ao seu aluno Luigi Ferrari, que resolveu o problema e até encontrou uma maneira de resolver equações do 4º grau em geral, reduzindo-as a equações do 3º grau.

Esse progresso rápido e surpreendente em encontrar uma fórmula para resolver equações do 3º e 4º graus colocou o problema de encontrar soluções para equações de qualquer grau antes dos matemáticos. Um grande número de tentativas, os esforços dos cientistas mais proeminentes não trouxeram sucesso. Cerca de 300 anos se passaram na busca. Somente no século 19 Abel (1802-1829) provou que as equações de grau n>4, De um modo geral, eles não são resolvidos em radicais.

Mais dois obstáculos impediram a criação de uma teoria geral das equações algébricas e métodos para resolvê-las: a complexidade, a inconveniência das fórmulas resultantes e a falta de explicação do caso irredutível. O primeiro foi um inconveniente puramente prático. Cardano a elimina propondo encontrar as raízes das equações usando aproximadamente a regra das duas falsas posições, que é usada essencialmente hoje na forma de uma interpolação simples ou linear. O segundo obstáculo tem raízes mais profundas e as tentativas de superá-lo levaram a consequências muito importantes.

Uma tentativa frutífera e ousada de lidar com o caso irredutível pertence ao matemático e engenheiro italiano R. Bombelli, de Bolonha. Em Álgebra (1572), ele introduziu formalmente as regras para operações em números imaginários e complexos.

Ao clicar no botão "Baixar arquivo", você baixará o arquivo de que precisa gratuitamente.
Antes de baixar este arquivo, lembre-se daqueles bons ensaios, controle, trabalhos de conclusão de curso, teses, artigos e outros documentos não reclamados no seu computador. Este é o seu trabalho, deve participar do desenvolvimento da sociedade e beneficiar as pessoas. Encontre esses trabalhos e envie-os para a base de conhecimento.
Nós e todos os estudantes, estudantes de pós-graduação, jovens cientistas que usam a base de conhecimento em seus estudos e trabalhos seremos muito gratos a você.

Para baixar um arquivo com um documento, digite um número de cinco dígitos no campo abaixo e clique no botão "Baixar arquivo"

Documentos Semelhantes

Descrição da vida da Itália e do mundo da época em que Girolamo Cardano viveu e trabalhou. A atividade científica do matemático, uma revisão de seus trabalhos matemáticos e a busca de soluções para equações cúbicas em radicais. Métodos para resolver equações do terceiro e quarto graus.

trabalho de conclusão de curso, adicionado em 26/08/2011


A história do desenvolvimento da ciência matemática na Europa nos séculos 6 e 14, seus representantes e realizações. O desenvolvimento da matemática no Renascimento. Criação do cálculo literal, atividade de François Vieta. Melhorias na computação no final do século XVI - início do século XVI

apresentação, adicionada em 20/09/2015


matemática européia do Renascimento. Criação do cálculo literal por François Viet e um método para resolver equações. Aperfeiçoamento dos cálculos no final do século XVI - início do século XVII: frações decimais, logaritmos. Estabelecendo uma conexão entre trigonometria e álgebra.

apresentação, adicionada em 20/09/2015


Da história das frações decimais e ordinárias. Operações sobre decimais. Adição (subtração) de frações decimais. Multiplicação de decimais. Divisão de decimais.

resumo, adicionado em 29/05/2006


A matemática grega e sua filosofia. Relação e percurso conjunto da filosofia e da matemática desde o início do Renascimento até ao final do século XVII. Filosofia e matemática no Iluminismo. Análise da natureza do conhecimento matemático da filosofia clássica alemã.

tese, adicionada em 09/07/2009


Equação em frações do número de casas decimais, realizar adição e subtração, ignorando a vírgula. Significado prático da teoria das frações decimais. Trabalho independente com posterior verificação dos resultados, realizando cálculos.

apresentação, adicionada em 02/07/2010


O estudo do surgimento da matemática e o uso de métodos matemáticos na China antiga. Peculiaridades dos problemas chineses na solução numérica de equações e problemas geométricos conducentes a equações do terceiro grau. Matemáticos proeminentes da China antiga.