Cine a fost primul care a rezolvat ecuația de cel mai înalt grad. Schema lui Horner. Exemple Rezolvarea ecuațiilor cu un parametru

Problema rezolvării ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea la radicali nu a fost cauzată de o necesitate practică deosebită. Apariția sa a mărturisit indirect trecerea treptată a matematicii la un nivel superior al dezvoltării sale, când știința matematică se dezvoltă nu numai sub influența cerințelor practicii, ci și datorită logicii sale interne. După rezolvarea ecuațiilor pătratice, era firesc să trecem la rezolvarea ecuațiilor cubice.

Ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea au fost rezolvate în Italia în secolul al XVI-lea.

Matematicienii italieni au considerat trei tipuri de ecuații cubice:

Luarea în considerare a trei tipuri de ecuații cubice în loc de una se datorează faptului că, deși matematicienii secolului al XVI-lea. erau familiarizați cu numerele negative, dar de mult timp nu au fost considerate numere reale, iar oamenii de știință au căutat să scrie ecuații doar cu coeficienți pozitivi.

Din punct de vedere istoric, algebriștii s-au ocupat mai întâi de ecuația primului tip

Inițial, a fost rezolvată de un profesor de la Universitatea din Bologna, Scipio del Ferro, dar acesta nu a publicat soluția rezultată, ci a comunicat-o studentului său Fiore. Cu ajutorul secretului pentru rezolvarea acestei ecuații, Fiore a câștigat mai multe turnee de matematică. Atunci astfel de turnee erau comune în Italia. Ele au constat în faptul că doi adversari, în prezența unui notar, au schimbat un număr prestabilit de sarcini și au convenit asupra unui termen limită pentru soluționarea lor. Câștigătorul a primit faimă și adesea o poziție profitabilă. În 1535, Fiore l-a provocat pe oricine vrea să lupte cu el la un asemenea duel. Provocarea a fost acceptată de Tartaglia.

Niccolò Tartaglia (1500-1557) a rămas devreme orfan și a crescut în sărăcie fără nicio educație. Cu toate acestea, cunoștea bine matematica vremii și își câștiga existența prin lecții private de matematică. Cu puțin timp înainte de duelul cu Fiore, a reușit să rezolve singur ecuația (1). Prin urmare, atunci când adversarii s-au întâlnit, Tartaglia a reușit să rezolve problemele lui Fiore în câteva ore; toate au ajuns în ecuația (1). Cât despre Fiore, el nu a rezolvat de multe zile nici una dintre cele 30 de diverse probleme ale lui Tartaglia. Tartaglia a fost declarată câștigătoarea turneului. Vestea victoriei lui s-a răspândit în toată Italia. A devenit șef al departamentului de matematică la Universitatea din Verona.

Metoda lui Tartaglia a fost următoarea. El a presupus în ecuația (1) , unde u și v sunt necunoscute noi. Primim:

Introducem ultima ecuație . Se formează un sistem de ecuații

care se reduce la o ecuație pătratică. Din el găsim:

,

La scurt timp după turneu, Tartaglia a rezolvat cu ușurință ecuații cubice de tipul doi și trei. De exemplu, pentru o ecuație de al doilea tip, a aplicat o substituție care a condus la formula

(3)

Vestea succesului lui Tartaglia a ajuns la Cardano. Girolamo Cardano (1501-1576) a absolvit facultatea de medicină a Universității din Pavia și a fost medic la Milano. Era un om de știință, nu mai puțin talentat decât Tartaglia și mult mai versatil: a studiat medicina, matematica, filozofia și astrologia. Cardano a plănuit să scrie o carte enciclopedică despre algebră și ar fi incompletă fără rezolvarea ecuațiilor cubice. S-a îndreptat către Tartaglia cu o cerere să-l informeze despre metoda lui de a rezolva aceste ecuații. Tartaglia nu a fost de acord, iar apoi Cardano a jurat pe Evanghelie să nu spună nimănui secretul rezolvării ecuațiilor cubice. Se pare că Tartaglia avea de gând să scrie el însuși o carte despre algebră, inclusiv descoperirea sa în ea, dar din cauza faptului că era ocupat și pentru că publicația era o afacere costisitoare, și-a amânat intenția. În cele din urmă, în 1545, Cardano și-a publicat monografia intitulată „Marea artă”, care includea descoperirea „prietenului meu Tartaglia”. Tartaglia s-a înfuriat de încălcarea jurământului și s-a dus la presa pentru a-l demasca pe Cardano. S-a ajuns ca cel mai bun elev al lui Cardano l-a provocat pe Tartaglia la un duel public. Duelul a avut loc în 1548 la Milano și s-a încheiat, în circumstanțe neclare, cu înfrângerea lui Tartaglia. Formulele rădăcinilor unei ecuații cubice au primit în istorie numele de formule ale lui Cardano, deși Cardano însuși nu a dat formule în cartea sa, ci a schițat un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații cubice.

Cartea lui Cardano The Great Art a jucat un rol semnificativ în istoria algebrei. În special, în el a demonstrat că ecuația completă de gradul al treilea poate fi redusă prin substituție la o ecuație fără termen cu pătratul necunoscutului, adică. la unul dintre cele trei tipuri de ecuaţii cubice luate în considerare la începutul secţiunii. Modernând prezentarea, luăm o ecuație cubică generală

cu coeficienți de semn arbitrar în locul acelor mai multe tipuri de ecuații cubice cu care s-a ocupat Cardano și a pus în el

.

Este ușor de verificat că ultima ecuație nu conține un termen cu pătratul necunoscutului, deoarece suma termenilor care conțin este egală cu zero:

.

În mod similar, Cardano a demonstrat că în ecuația completă a gradului al patrulea este posibil să scapi de termenul cu cubul necunoscutului. Pentru a face acest lucru, în ecuația gradului al patrulea a formei generale

suficient pentru a pune .

Mai târziu, F. Viet a rezolvat familiara ecuație cubică cu ajutorul unui stand ingenios Vom avea:

.

Să punem ultima ecuație. Din ecuația pătratică obținută găsim t; apoi calculează, în sfârșit,

Ecuația gradului al patrulea a fost rezolvată de Ferrari. A rezolvat-o cu un exemplu

(fără un membru cu cubul necunoscutului), dar într-un mod destul de general.

Să adăugăm ambele părți ale ecuației (4) pentru a completa partea stângă la pătratul sumei:

Acum adăugați suma la ambele părți ale ultimei ecuații

unde t este nou necunoscut:

Deoarece partea stângă a ecuației (5) este pătratul sumei, atunci și partea dreaptă este un pătrat, iar apoi discriminantul trinomului pătrat este egal cu zero: Cu toate acestea, în secolul al XVI-lea. această ecuație a fost scrisă sub forma

Ecuația (6) este cubică. Să aflăm din asta tîntr-un mod familiar, înlocuiți această valoare tîn ecuația (5) și extrageți rădăcina pătrată din ambele părți ale ecuației rezultate. Se formează o ecuație pătratică (mai precis, două ecuații pătratice).

Metoda dată aici pentru rezolvarea ecuației gradului al patrulea a fost inclusă în cartea lui Cardano.

Conform opiniilor din acea vreme, regula pentru rezolvarea unei ecuații cubice de al doilea tip conform formulei (3) nu poate fi aplicată atunci când

; Din punct de vedere modern, în acest caz este necesar să se efectueze operații asupra numerelor imaginare. De exemplu, ecuația

are o rădăcină reală; în plus, are încă două rădăcini reale (iraționale). Dar conform formulei (3) obținem:

Cum se poate obține un număr real din numere imaginare („imaginare”, după cum spuneau ei atunci)? Acest caz al unei ecuații cubice se numește ireductibil.

Cazul ireductibil a fost analizat în detaliu de către matematicianul italian Rafael Bombelli în cartea „Algebra”, publicată în 1572. În formula (3), el a explicat această situație prin faptul că prima rădăcină cubă este egală cu și a doua -a. -bi (unde a și b sunt numere reale, t este unitatea imaginară), deci suma lor dă

acestea. numar real.

Bombelli a dat reguli pentru operațiunile pe numere complexe.

După publicarea cărții lui Bombelli, a devenit treptat clar pentru matematicieni că numerele complexe sunt indispensabile în algebră.

Rezolvarea ecuațiilor II, III, IV-lea grad prin formula. Ecuații de gradul I, adică liniare, suntem învățați să rezolvăm încă din clasa I și nu manifestă prea mult interes față de ele. Ecuațiile neliniare sunt interesante, adică grade mari. Printre neliniare (ecuații generale care nu pot fi rezolvate prin factorizare sau orice alta relativ într-un mod simplu) ecuațiile de grade inferioare (2,3,4) pot fi rezolvate folosind formule. Ecuațiile de gradul 5 și mai sus sunt de nerezolvat în radicali (fără formulă). Prin urmare, vom lua în considerare doar trei metode.

I. Ecuaţii cuadratice. Formula Vieta. Discriminantul unui trinom pătrat. I. Ecuaţii cuadratice. Formula Vieta. Discriminantul unui trinom pătrat. Pentru orice mp dat. ecuație formula este valabilă: Pentru orice pătrat dat. ecuație, formula este valabilă: Se notează: D=p-4q atunci formula va lua forma: Se notează: D=p-4q atunci formula va lua forma: Expresia D se numește discriminant. În studiul mp. trinoamele se uită la semnul lui D. Dacă D>0, atunci rădăcinile sunt 2; D=0, atunci rădăcina este 1; dacă D 0, atunci există 2 rădăcini; D=0, atunci rădăcina este 1; daca D 0, atunci sunt 2 rădăcini; D=0, atunci rădăcina este 1; dacă D 0, atunci există 2 rădăcini; D=0, atunci rădăcina este 1; dacă D">

II. Teorema lui Vieta Pentru orice metru pătrat dat. ecuații Pentru orice pătrat dat. Teorema lui Vieta este valabilă: Pentru orice ecuație de gradul al n-lea este valabilă și teorema lui Vieta: coeficientul luat cu semnul opus, este egală cu suma sale n rădăcini; termenul liber este egal cu produsul dintre cele n rădăcini ale sale și numărul (-1) cu puterea a n-a. Pentru orice ecuație de gradul al n-lea este valabilă și teorema lui Vieta: coeficientul luat cu semnul opus este egal cu suma celor n rădăcini ale sale; termenul liber este egal cu produsul dintre cele n rădăcini ale sale și numărul (-1) cu puterea a n-a.

Derivarea formulei Vieta. Să scriem formula pentru pătratul sumei Să scriem formula pentru pătratul sumei Și înlocuim a în el cu x, b cu Și înlocuim a cu x, b cu Obținem: Acum scadem egalitatea inițială de aici: Acum scadem egalitatea initiala de aici: Acum nu este greu sa obtinem formula dorita. Acum nu este greu să obțineți formula dorită.

matematicienii italieni din secolul al XVI-lea a făcut o descoperire matematică majoră. Au găsit formule pentru rezolvarea ecuațiilor puterii a treia și a patra. Să luăm în considerare o ecuație cubică arbitrară: Și vom arăta că poate fi transformată la forma Let prin substituție Să obținem: Apoi această ecuație va lua forma

În secolul al XVI-lea competiția între oameni de știință, desfășurată sub forma unei dispute, era larg răspândită. Matematicienii și-au oferit reciproc un anumit număr de probleme care trebuiau rezolvate până la începutul duelului. Câștigătorul este cel care decide Mai mult sarcini. Antonio Fiore a participat constant la turnee și a câștigat mereu, pentru că știa formula de rezolvare a ecuațiilor cubice. Câștigătorul a primit o recompensă bănească, i s-au oferit posturi onorifice, bine plătite.

IV. Tartaglia a predat matematică la Verona, Veneția, Brescia. Înainte de turneul cu Fiore, a primit 30 de probleme de la adversarul său, văzând că toate se rezumă la o ecuație cubică și a făcut tot posibilul să o rezolve. După ce a găsit formula, Tartaglia a rezolvat toate problemele pe care i le-a oferit Fiore și a câștigat turneul. La o zi după duel, a găsit o formulă de rezolvare a ecuației.Aceasta a fost cea mai mare descoperire. După ce formula pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice a fost găsită în Babilonul Antic, matematicieni remarcabili au încercat fără succes timp de două milenii să găsească o formulă pentru rezolvarea ecuațiilor cubice. Tartaglia a ținut secretă metoda soluției. Să considerăm că ecuația Tartaglia a folosit substituția

Acum se numește formula lui Cardano, deoarece a fost publicată pentru prima dată în 1545 în cartea lui Cardano The Great Art, or On Algebraic Rules. Girolamo Cardano () a absolvit Universitatea din Padova. Principala lui ocupație era medicina. În plus, a studiat filosofia, matematica, astrologia, a alcătuit horoscoapele lui Petrarh, Luther, Hristos, regele englez Edward 6. Papa a folosit serviciile lui Cardano, un astrolog, și l-a patronat. Cardano a murit la Roma. Există o legendă că s-a sinucis în ziua pe care a prezis-o, întocmindu-și propriul horoscop, ca fiind ziua morții sale.

Cardano s-a întors în mod repetat către Tartaglia cu o cerere de a-i spune o formulă pentru rezolvarea ecuațiilor cubice și a promis că o va păstra secretul. Nu s-a ținut de cuvânt și a publicat formula, indicând că Tartaglia a avut onoarea de a descoperi „atât de frumos și de uimitor, depășind toate talentele spiritului uman”. În cartea lui Cardano „Marea artă...” a fost publicată și o formulă pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul al patrulea, care a fost descoperită de Luigi Ferrari () - un student al lui Cardano, secretarul și avocatul său.

V. Să prezentăm metoda Ferrari. Scriem ecuația generală de gradul al patrulea: Folosind substituția, poate fi adusă la forma Folosind metoda complementului la pătratul plin, scriem: Ferrari a introdus parametrul și a obținut: De aici dat, obținem În stânga latura ecuației există un pătrat complet, iar în dreapta - un trinom pătrat în raport cu x. Pentru ca latura dreaptă să fie un pătrat perfect, este necesar și suficient ca discriminantul trinomului pătrat să fie egal cu zero, i.e. numărul t trebuie să satisfacă ecuația

Ferrari a rezolvat ecuațiile cubice folosind formula Cardano. Fie rădăcina ecuației. Apoi ecuația se va scrie sub forma Ecuații cubice Ferrari rezolvate prin formula lui Cardano. Fie rădăcina ecuației. Apoi ecuația se va scrie sub forma De aici obținem două ecuații pătratice: De aici obținem două ecuații pătratice: Ele dau patru rădăcini ale ecuației inițiale. Ele dau cele patru rădăcini ale ecuației originale.

Să luăm un exemplu. Luați în considerare ecuația Este ușor de verificat că este rădăcina acestei ecuații. Este firesc să presupunem că, folosind formula Cardano, vom găsi această rădăcină. Să efectuăm calcule, ținând cont că După formula găsim: Cum să înțelegem expresia La această întrebare a răspuns pentru prima dată inginerul Rafael Bombelli (ok), care a lucrat la Bologna.În 1572, a publicat cartea Algebra, în pe care a introdus numărul i în matematică, astfel încât Bombelli a formulat regulile pentru operațiile cu un număr. Conform teoriei lui Bombelli, expresia poate fi scrisă astfel: Și rădăcina ecuației, care are forma, se poate scrie astfel:

Ecuații de puteri diferite

Contemporan al lui Leonardo da Vinci, profesorul Scipio del Ferro din Bologna (d. 1526) și-a dedicat întreaga viață rezolvării diverselor ecuații algebrice. Dificultățile asociate cu notarea incomodă a cantităților necunoscute au fost enorme.

După cum am arătat mai sus, cele mai importante realizări ale matematicienilor Europa medievală a aparținut domeniului algebrei, îmbunătățirii aparaturii și simbolismului acesteia. Regiomontanus a îmbogățit conceptul de număr introducând radicali și operații asupra acestora. Acest lucru a făcut posibil să se pună problema rezolvării unei clase posibil mai largi de ecuații în radicali. Și în acest domeniu anume, au fost obținute primele succese - ecuațiile de gradul 3 și 4 au fost rezolvate în radicali.

Cursul evenimentelor asociate cu această descoperire este acoperit în mod contradictoriu în literatură. Practic, el este. Un profesor de la Universitatea din Bologna, Scipio del Ferro, a dezvoltat o formulă pentru găsirea rădăcinii pozitive a unor ecuații specifice de forma x 3 + px = q (p>0, q›0). L-a ținut secret, păstrând-o ca armă împotriva oponenților săi în disputele științifice, dar înainte de moartea sa, i-a spus acest secret rudei și succesorului său în funcție, Annibal della Nava, și studentului său, Fiore.

La începutul anului 1535, avea să aibă loc un duel științific între Fiore și Nicolò Tartaglia (1500–1557). Acesta din urmă era un om de știință talentat care provenea dintr-o familie săracă și își câștiga existența predând matematică și mecanică în orașele din nordul Italiei. După ce a aflat că Fiore era în posesia formulei lui Ferro și pregătea sarcini pentru adversarul său pentru a rezolva ecuații cubice, Tartaglia a reușit să redescopere această formulă.

La dezbatere, Fiore i-a propus lui Tartaglia mai multe întrebări, care necesită capacitatea de a rezolva ecuații de gradul trei. Dar Tartaglia găsise deja înaintea lui soluția unor astfel de ecuații și, în plus, nu numai a acelui caz particular care a fost rezolvat de Ferro, ci și a altor două cazuri particulare. Tartaglia a acceptat provocarea și ia oferit Fiorei propriile sarcini. Rezultatul competiției a fost înfrângerea completă a acestuia din urmă. Tartaglia a rezolvat problemele care i s-au propus în decurs de două ore, în timp ce Fiore nu a putut rezolva nici o problemă care i-a fost propusă (au fost 30 de probleme de ambele părți).

Curând, Tartaglia a reușit să rezolve ecuații de formă x 3 = px + q (p>0, q›0). În cele din urmă, el a raportat că ecuațiile de formă x 3 + q = px sunt reduse la forma anterioară, dar nu au dat o metodă de reducere. Tartaglia nu și-a publicat rezultatul multă vreme. Au fost două motive pentru aceasta: în primul rând, același motiv care l-a oprit pe Ferro. În al doilea rând, imposibilitatea de a face față cazului ireductibil. Ultima este că există ecuații x 3 = px + q care au o adevărată rădăcină pozitivă. Cu toate acestea, formula lui Tartaglia nu a dat o soluție în cazul în care a fost necesară extragerea rădăcinii din numerele negative, deoarece nu a fost posibilă interpretarea corectă a numerelor imaginare rezultate din aceasta. Cazul ireductibil a apărut și la Tartaglia în ecuații de formă x 3 + q = px.

Cu toate acestea, munca lui nu a fost în zadar. Din 1539, Cardano (1501–1576) a început să studieze ecuațiile cubice. Auzind de descoperirea lui Tartaglia, el a făcut mari eforturi pentru a atrage secretul de la savantul prudent și neîncrezător pentru a fi publicat în cartea sa „Marea artă sau despre regulile algebrei”. Abia când Cardano a jurat asupra Evangheliei și a dat cuvântul de onoare al nobilului că nu va descoperi metoda lui Tartaglia de rezolvare a ecuațiilor și nici măcar să o scrie sub forma unei anagrame de neînțeles, Tartaglia a acceptat să-și dezvăluie secretul. El a arătat regulile pentru rezolvarea ecuațiilor cubice, expunându-le în versuri și destul de vag.

Cu toate acestea, Cardano nu numai că a înțeles aceste reguli, dar a găsit și dovezi pentru ele. În ciuda promisiunii sale, a publicat metoda lui Tartaglia, iar această metodă este încă cunoscută sub numele de domnia lui Cardan. Și cartea a apărut în 1545.

Curând a fost descoperită și soluția ecuațiilor de gradul 4. Matematicianul italian D. Colla a propus o problemă pentru care regulile cunoscute până atunci nu erau suficiente, iar abilitatea de a rezolva ecuații biquadratice era necesară. Majoritatea matematicienilor au considerat această problemă de nerezolvat. Dar Cardano i-a sugerat-o elevului său Luigi Ferrari, care a rezolvat problema și chiar a găsit o modalitate de a rezolva ecuațiile de gradul 4 în general, reducându-le la ecuații de gradul 3.

Un astfel de progres rapid și uimitor în găsirea unei formule pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul 3 și 4 a pus problema găsirii de soluții la ecuații de orice grad înaintea matematicienilor. Un număr mare de încercări, eforturile celor mai proeminenți oameni de știință nu au adus succes. Au trecut aproximativ 300 de ani în căutare. Abia în secolul al XIX-lea, Abel (1802–1829) a demonstrat că ecuațiile de grad n>4,În general, nu se rezolvă în radicali.

Încă două obstacole au stat în calea creării unei teorii generale a ecuațiilor algebrice și a metodelor de rezolvare a acestora: complexitatea, inconvenientul formulelor rezultate și lipsa de explicație a cazului ireductibil. Primul a fost un inconvenient pur practic. Cardano îl elimină propunând să se găsească rădăcinile ecuațiilor folosind aproximativ regula a două poziții false, care este folosită în esență astăzi sub forma unei interpolări simple sau liniare. Al doilea obstacol are rădăcini mai adânci, iar încercările de a-l depăși au dus la consecințe foarte importante.

O încercare fructuoasă și îndrăzneață de a trata cazul ireductibil îi aparține matematicianului și inginerului italian R. Bombelli din Bologna. În Algebra (1572), el a introdus în mod oficial regulile pentru operațiile asupra numerelor imaginare și complexe.

Făcând clic pe butonul „Descărcați arhiva”, veți descărca gratuit fișierul de care aveți nevoie.
Înainte de a descărca acest fișier, amintiți-vă acele eseuri bune, control, referate, teze, articole și alte documente care se află nerevendicate pe computerul dvs. Aceasta este munca ta, ar trebui să participe la dezvoltarea societății și să beneficieze oamenii. Găsiți aceste lucrări și trimiteți-le la baza de cunoștințe.
Noi și toți studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vom fi foarte recunoscători.

Pentru a descărca o arhivă cu un document, introduceți un număr de cinci cifre în câmpul de mai jos și faceți clic pe butonul „Descărcați arhiva”

Documente similare

Descrierea vieții Italiei și a lumii timpului în care a trăit și a lucrat Girolamo Cardano. Activitatea științifică a matematicianului, o trecere în revistă a lucrărilor sale de matematică și căutarea soluțiilor ecuațiilor cubice în radicali. Metode de rezolvare a ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea.

lucrare de termen, adăugată 26.08.2011


Istoria dezvoltării științei matematice în Europa în secolele VI-XIV, reprezentanții și realizările acesteia. Dezvoltarea matematicii în Renaștere. Crearea calculului literal, activitatea lui François Vieta. Îmbunătățiri în calcul la sfârșitul secolului al XVI-lea - începutul secolului al XVI-lea

prezentare, adaugat 20.09.2015


Matematica europeană a Renașterii. Crearea calculului literal de François Viet și a unei metode de rezolvare a ecuațiilor. Îmbunătățirea calculelor la sfârșitul secolului al XVI-lea - începutul secolului al XVII-lea: fracții zecimale, logaritmi. Stabilirea unei legături între trigonometrie și algebră.

prezentare, adaugat 20.09.2015


Din istoria fracțiilor zecimale și ordinare. Operații pe zecimale. Adunarea (scăderea) fracțiilor zecimale. Înmulțirea zecimalelor. Împărțirea zecimalelor.

rezumat, adăugat 29.05.2006


Matematica greacă și filosofia ei. Relație și parcurs comun al filosofiei și matematicii de la începutul Renașterii până la sfârșitul secolului al XVII-lea. Filosofie și matematică în epoca iluminismului. Analiza naturii cunoștințelor matematice ale filozofiei clasice germane.

teză, adăugată 09.07.2009


Ecuația în fracții din numărul de zecimale, efectuați adunarea și scăderea, ignorând virgula. Semnificația practică a teoriei fracțiilor zecimale. Lucru independent cu verificarea ulterioară a rezultatelor, efectuarea calculelor.

prezentare, adaugat 07.02.2010


Studiul apariției matematicii și utilizarea metodelor matematice în China antică. Particularități ale problemelor chinezești în rezolvarea numerică a ecuațiilor și problemelor geometrice care duc la ecuații de gradul trei. Matematicieni remarcabili ai Chinei antice.