Qui fut le premier à résoudre l'équation du plus haut degré. Le schéma de Horner. Exemples Résolution d'équations avec un paramètre

Le problème de la résolution des équations du troisième et du quatrième degré en radicaux n'a pas été causé par une nécessité pratique particulière. Son apparition témoigne indirectement du passage progressif des mathématiques à un niveau supérieur de son développement, lorsque la science mathématique se développe non seulement sous l'influence des exigences de la pratique, mais aussi en raison de sa logique interne. Après avoir résolu des équations quadratiques, il était naturel de passer à la résolution d'équations cubiques.

Les équations du troisième et du quatrième degré ont été résolues en Italie au XVIe siècle.

Les mathématiciens italiens ont considéré trois types d'équations cubiques :

La prise en compte de trois types d'équations cubiques au lieu d'une est due au fait que, bien que les mathématiciens du XVIe siècle. étaient familiers avec les nombres négatifs, mais pendant longtemps ils n'ont pas été considérés comme des nombres réels, et les scientifiques ont cherché à écrire des équations uniquement avec des coefficients positifs.

Historiquement, les algébristes ont d'abord traité l'équation du premier type

Initialement, il a été résolu par un professeur de l'Université de Bologne, Scipio del Ferro, mais il n'a pas publié la solution résultante, mais l'a communiquée à son élève Fiore. Avec l'aide du secret pour résoudre cette équation, Fiore a remporté plusieurs tournois de mathématiques. Ensuite, de tels tournois étaient courants en Italie. Elles consistaient dans le fait que deux opposants, en présence d'un notaire, s'échangeaient un nombre prédéterminé de tâches et s'accordaient sur un délai pour leur solution. Le gagnant a reçu la renommée et souvent une position rentable. En 1535, Fiore défie quiconque veut le combattre dans un tel duel. Le défi a été accepté par Tartaglia.

Niccolò Tartaglia (1500-1557) est devenu orphelin très tôt et a grandi dans la pauvreté sans aucune éducation. Néanmoins, il connaissait bien les mathématiques de l'époque et gagnait sa vie par des cours particuliers de mathématiques. Peu de temps avant le duel avec Fiore, il a réussi à résoudre seul l'équation (1). Par conséquent, lorsque les adversaires se sont rencontrés, Tartaglia a pu résoudre les problèmes de Fiore en quelques heures ; ils se sont tous retrouvés dans l'équation (1). Quant à Fiore, il n'a résolu aucun des 30 différents problèmes de Tartaglia pendant plusieurs jours. Tartaglia a été déclaré vainqueur du tournoi. La nouvelle de sa victoire se répandit dans toute l'Italie. Il est devenu chef du département de mathématiques à l'Université de Vérone.

La méthode de Tartaglia était la suivante. Il a supposé dans l'équation (1) , où u et v sont de nouvelles inconnues. On a:

On pose dans la dernière équation . Un système d'équations est formé

qui se réduit à une équation quadratique. De celui-ci, nous trouvons:

,

Peu de temps après le tournoi, Tartaglia a facilement résolu les équations cubiques des deuxième et troisième types. Par exemple, pour une équation du second type, il a appliqué une substitution qui a conduit à la formule

(3)

La nouvelle du succès de Tartaglia parvint à Cardano. Girolamo Cardano (1501-1576) est diplômé de la faculté de médecine de l'Université de Pavie et a été médecin à Milan. C'était un scientifique, non moins talentueux que Tartaglia, et beaucoup plus polyvalent : il a étudié la médecine, les mathématiques, la philosophie et l'astrologie. Cardano prévoyait d'écrire un livre encyclopédique sur l'algèbre, et il serait incomplet sans résoudre les équations cubiques. Il se tourna vers Tartaglia avec une demande pour l'informer de sa méthode de résolution de ces équations. Tartaglia n'était pas d'accord, puis Cardano jura sur l'Évangile de ne révéler à personne le secret de la résolution des équations cubiques. Apparemment, Tartaglia allait écrire lui-même un livre sur l'algèbre, y compris sa découverte, mais en raison d'être occupé et parce que la publication était une entreprise coûteuse, il a reporté son intention. Finalement, en 1545, Cardano publia sa monographie intitulée "Grand Art", qui incluait la découverte de "mon ami Tartaglia". Tartaglia a été enragé par la violation du serment et est allé appuyer pour exposer Cardano. Il s'est avéré que le meilleur élève de Cardano a défié Tartaglia en duel public. Le duel eut lieu en 1548 à Milan et se termina, dans des circonstances peu claires, par la défaite de Tartaglia. Les formules des racines d'une équation cubique ont reçu dans l'histoire le nom de formules de Cardano, bien que Cardano lui-même n'ait pas donné de formules dans son livre, mais ait décrit un algorithme pour résoudre une équation cubique.

Le livre de Cardano, The Great Art, a joué un rôle important dans l'histoire de l'algèbre. En particulier, il y a prouvé que l'équation complète du troisième degré peut être réduite par substitution à une équation sans terme avec le carré de l'inconnue, c'est-à-dire à l'un des trois types d'équations cubiques considérés au début de la section. En modernisant la présentation, on prend une équation cubique générale

avec des coefficients de signe arbitraire au lieu de ces plusieurs types d'équations cubiques que Cardano traitait et y mettait

.

Il est facile de vérifier que la dernière équation ne contient pas de terme au carré de l'inconnue, puisque la somme des termes contenant est égale à zéro :

.

De même, Cardano a prouvé que dans l'équation complète du quatrième degré, il est possible de se débarrasser du terme avec le cube de l'inconnu. Pour ce faire, dans l'équation du quatrième degré de la forme générale

assez pour mettre.

Plus tard, F. Viet a résolu l'équation cubique familière à l'aide d'un support ingénieux. Nous aurons :

.

Mettons la dernière équation. De l'équation quadratique obtenue, nous trouvons t; puis calculer, enfin,

L'équation du quatrième degré a été résolue par Ferrari. Il l'a résolu avec un exemple

(sans membre avec le cube de l'inconnu), mais de manière assez générale.

Ajoutons aux deux parties de l'équation (4) afin de compléter le côté gauche du carré de la somme :

Ajoutez maintenant aux deux membres de la dernière équation la somme

où t est nouveau inconnu:

Puisque le côté gauche de l'équation (5) est le carré de la somme, alors le côté droit est aussi un carré, et alors le discriminant du trinôme carré est égal à zéro : Cependant, au 16ème siècle. cette équation a été écrite sous la forme

L'équation (6) est cubique. Découvrons-le t d'une manière familière, substituez cette valeur t dans l'équation (5) et extrayez la racine carrée des deux parties de l'équation résultante. Une équation quadratique est formée (plus précisément, deux équations quadratiques).

La méthode donnée ici pour résoudre l'équation du quatrième degré a été incluse dans le livre de Cardano.

Selon les vues de l'époque, la règle de résolution d'une équation cubique du second type selon la formule (3) ne peut pas être appliquée lorsque

; Du point de vue moderne, dans ce cas, il est nécessaire d'effectuer des opérations sur des nombres imaginaires. Par exemple, l'équation

a une vraie racine ; de plus, il a deux autres racines réelles (irrationnelles). Mais d'après la formule (3) on obtient :

Comment un nombre réel peut-il être obtenu à partir de nombres imaginaires ("imaginaires", comme on disait alors) ? Ce cas d'équation cubique est dit irréductible.

Le cas irréductible a été analysé en détail par le mathématicien italien Rafael Bombelli dans le livre "Algebra", publié en 1572. Dans la formule (3), il a expliqué cette situation par le fait que la première racine cubique est égale à et la seconde -a -bi (où a et b sont des nombres réels, t est l'unité imaginaire), donc leur somme donne

ceux. nombre réel.

Bombelli a donné des règles pour les opérations sur les nombres complexes.

Après la publication du livre de Bombelli, il est progressivement devenu clair pour les mathématiciens que les nombres complexes sont indispensables en algèbre.

Solution des équations II, III, IV-ème degré par la formule. Les équations du premier degré, c'est-à-dire linéaires, on nous apprend à résoudre depuis le CP, et ils ne s'y intéressent guère. Les équations non linéaires sont intéressantes, c'est-à-dire grands diplômes. Parmi les non-linéaires (équations générales qui ne peuvent pas être résolues par factorisation ou tout autre d'une manière simple) les équations de degrés inférieurs (2,3,4th) peuvent être résolues à l'aide de formules. Les équations de degré 5 et plus sont insolubles dans les radicaux (pas de formule). Par conséquent, nous ne considérerons que trois méthodes.

I. Équations quadratiques. Formule Viêta. Le discriminant d'un trinôme carré. I. Équations quadratiques. Formule Viêta. Le discriminant d'un trinôme carré. Pour un m² donné. équation la formule est valide : Pour tout carré donné. l'équation, la formule est valide : Notons : D=p-4q alors la formule prendra la forme : Notons : D=p-4q alors la formule prendra la forme : L'expression D est appelée le discriminant. Dans l'étude de sq. les trinômes regardent le signe de D. Si D>0, alors les racines sont 2 ; D=0, alors la racine est 1 ; si D 0, alors il y a 2 racines ; D=0, alors la racine est 1 ; si D 0, alors il y a 2 racines ; D=0, alors la racine est 1 ; si D 0, alors il y a 2 racines ; D=0, alors la racine est 1 ; si D">

II. Théorème de Vieta Pour tout carré donné. équations Pour tout carré donné. Le théorème de Vieta est valable : Pour toute équation du nième degré, le théorème de Vieta est également valable : le coefficient pris de signe opposé, est égal à la somme ses n racines ; le terme libre est égal au produit de ses n racines par le nombre (-1) à la puissance n. Pour toute équation du nième degré, le théorème de Vieta est également valable : le coefficient pris de signe opposé est égal à la somme de ses n racines ; le terme libre est égal au produit de ses n racines par le nombre (-1) à la puissance n.

Dérivation de la formule de Vieta. Écrivons la formule du carré de la somme Écrivons la formule du carré de la somme Remplaçons-y a par x, b par Et remplaçons a par x, b par Nous obtenons : Maintenant, nous soustrayons l'égalité initiale d'ici : Maintenant, nous soustrayons l'égalité initiale d'ici : Maintenant, il n'est pas difficile d'obtenir la formule souhaitée. Maintenant, il n'est pas difficile d'obtenir la formule souhaitée.

Mathématiciens italiens du XVIe siècle a fait une découverte mathématique majeure. Ils ont trouvé des formules pour résoudre les équations des troisième et quatrième puissances. Considérons une équation cubique arbitraire : Et nous montrerons qu'elle peut être transformée en la forme Let par substitution. Soit : Alors cette équation prendra la forme

Au 16ème siècle la compétition entre savants, sous forme de dispute, était généralisée. Les mathématiciens se proposaient un certain nombre de problèmes à résoudre avant le début du duel. Le gagnant est celui qui décide plus Tâches. Antonio Fiore participait constamment à des tournois et gagnait toujours, car il connaissait la formule pour résoudre les équations cubiques. Le gagnant a reçu une récompense monétaire, il s'est vu offrir des postes honorifiques très bien rémunérés.

IV. Tartaglia a enseigné les mathématiques à Vérone, Venise, Brescia. Avant le tournoi avec Fiore, il a reçu 30 problèmes de son adversaire, voyant qu'ils se résument tous à une équation cubique, et il a fait de son mieux pour le résoudre. Ayant trouvé la formule, Tartaglia a résolu tous les problèmes que lui proposait Fiore et a remporté le tournoi. Un jour après le duel, il trouva une formule pour résoudre l'équation, ce fut la plus grande découverte. Après que la formule pour résoudre les équations quadratiques ait été trouvée dans l'ancienne Babylone, des mathématiciens exceptionnels ont essayé sans succès pendant deux millénaires de trouver une formule pour résoudre les équations cubiques. Tartaglia a gardé secrète la méthode de la solution. Considérons l'équation de Tartaglia utilisée la substitution

Elle s'appelle maintenant la formule de Cardano, puisqu'elle a été publiée pour la première fois en 1545 dans le livre de Cardano Le grand art ou sur les règles algébriques. Girolamo Cardano () est diplômé de l'Université de Padoue. Son activité principale était la médecine. En outre, il a étudié la philosophie, les mathématiques, l'astrologie, compilé les horoscopes de Pétrarque, Luther, Christ, le roi anglais Edward 6. Le pape a utilisé les services de Cardano, un astrologue, et l'a patronné. Cardano est mort à Rome. Il y a une légende selon laquelle il s'est suicidé le jour qu'il avait prédit, en dressant son propre horoscope, comme le jour de sa mort.

Cardano s'est tourné à plusieurs reprises vers Tartaglia avec une demande de lui dire une formule pour résoudre des équations cubiques et a promis de garder son secret. Il ne tint pas parole et publia la formule, indiquant que Tartaglia avait l'honneur de se découvrir "si belle et étonnante, surpassant tous les talents de l'esprit humain". Dans le livre de Cardano "Great Art ...", une formule pour résoudre les équations du quatrième degré, qui a été découverte par Luigi Ferrari () - un élève de Cardano, son secrétaire et avocat, a également été publiée.

V. Présentons la méthode Ferrari. On écrit l'équation générale du quatrième degré : En utilisant la substitution, on peut la mettre sous la forme En utilisant la méthode du complément au carré plein, on écrit : Ferrari introduit le paramètre et obtient : D'ici Donné, on obtient A gauche côté de l'équation il y a un carré plein, et à droite - un trinôme carré par rapport à x. Pour que le côté droit soit un carré parfait, il faut et il suffit que le discriminant du trinôme carré soit égal à zéro, c'est-à-dire le nombre t doit satisfaire l'équation

Ferrari a résolu les équations cubiques en utilisant la formule de Cardano. Soit la racine de l'équation. Ensuite, l'équation sera écrite sous la forme Équations cubiques Ferrari résolues par la formule de Cardano. Soit la racine de l'équation. Ensuite, l'équation sera écrite sous la forme De là, nous obtenons deux équations quadratiques : De là, nous obtenons deux équations quadratiques : Elles donnent quatre racines de l'équation d'origine. Ils donnent les quatre racines de l'équation originale.

Prenons un exemple. Considérons l'équation Il est facile de vérifier que est la racine de cette équation. Il est naturel de supposer qu'en utilisant la formule de Cardano, nous trouverons cette racine. Effectuons des calculs, en tenant compte du fait que Selon la formule que nous trouvons: Comment comprendre l'expression Cette question a été répondue pour la première fois par l'ingénieur Rafael Bombelli (ok), qui travaillait à Bologne En 1572, il a publié le livre Algèbre, en lequel il a introduit le nombre i dans les mathématiques, de sorte que Bombelli a formulé les règles des opérations avec un nombre Selon la théorie de Bombelli, l'expression peut s'écrire comme suit : Et la racine de l'équation, qui a la forme, peut s'écrire :

Équations de différentes puissances

Contemporain de Léonard de Vinci, le professeur Scipio del Ferro de Bologne (mort en 1526) a consacré toute sa vie à résoudre diverses équations algébriques. Les difficultés associées à la notation incommode des quantités inconnues étaient énormes.

Comme nous l'avons montré ci-dessus, les réalisations les plus importantes des mathématiciens l'Europe médiévale appartenait au domaine de l'algèbre, à l'amélioration de son appareil et de son symbolisme. Regiomontanus a enrichi le concept de nombre en introduisant des radicaux et des opérations sur eux. Ceci a permis de poser le problème de la résolution d'une classe éventuellement plus large d'équations en radicaux. Et dans ce domaine particulier, les premiers succès ont été obtenus - les équations du 3ème et 4ème degré ont été résolues en radicaux.

Le cours des événements associés à cette découverte est couvert dans la littérature de manière contradictoire. En gros, il l'est. Un professeur de l'Université de Bologne, Scipio del Ferro, a développé une formule pour trouver la racine positive d'équations spécifiques de la forme x 3 + pixels = q (p>0, q›0). Il l'a gardé secret, le gardant comme une arme contre ses adversaires dans des disputes scientifiques, mais avant sa mort, il a dit ce secret à son parent et successeur au pouvoir, Annibal della Nava, et à son élève, Fiore.

Au début de 1535, un duel scientifique devait avoir lieu entre Fiore et Nicolò Tartaglia (1500-1557). Ce dernier était un scientifique talentueux issu d'une famille pauvre et gagnait sa vie en enseignant les mathématiques et la mécanique dans les villes du nord de l'Italie. En apprenant que Fiore était en possession de la formule de Ferro et préparait des tâches pour son adversaire pour résoudre des équations cubiques, Tartaglia a pu redécouvrir cette formule.

Lors du débat, Fiore a proposé plusieurs questions à Tartaglia, nécessitant la capacité de résoudre des équations du troisième degré. Mais Tartaglia avait déjà trouvé devant lui la solution de telles équations et, d'ailleurs, non seulement de ce cas particulier résolu par Ferro, mais aussi de deux autres cas particuliers. Tartaglia a accepté le défi et a proposé à Fiora ses propres tâches. Le résultat de la compétition a été la défaite complète de ce dernier. Tartaglia a résolu les problèmes qui lui étaient proposés en deux heures, tandis que Fiore n'a pas pu résoudre un seul problème qui lui était proposé (il y avait 30 problèmes des deux côtés).

Bientôt Tartaglia a été capable de résoudre des équations de la forme x3 = pixels + q (p>0, q›0). Enfin, il rapporte que les équations de la forme x 3 + q = px sont réduits à la forme précédente, mais n'ont pas donné de méthode de réduction. Tartaglia n'a pas publié son résultat pendant longtemps. Il y avait deux raisons à cela : premièrement, la même raison qui a arrêté Ferro. Deuxièmement, l'impossibilité de faire face au cas irréductible. La dernière est qu'il y a des équations x3 = pixels + q qui ont une vraie racine positive. Cependant, la formule de Tartaglia ne donnait pas de solution dans le cas où il fallait extraire la racine des nombres négatifs, puisqu'il n'était pas possible d'interpréter correctement les nombres imaginaires qui en résultaient. Le cas irréductible est également apparu dans Tartaglia dans les équations de la forme x 3 + q = px.

Cependant, son travail n'a pas été vain. À partir de 1539, Cardano (1501-1576) a commencé à étudier les équations cubiques. En entendant parler de la découverte de Tartaglia, il a fait de grands efforts pour attirer le secret du scientifique prudent et incrédule pour publication dans son livre "Le grand art, ou sur les règles de l'algèbre". Ce n'est que lorsque Cardano jura sur l'Évangile et donna la parole d'honneur du noble qu'il ne découvrirait pas la méthode de Tartaglia pour résoudre les équations et même l'écrirait sous la forme d'une anagramme incompréhensible, Tartaglia accepta de révéler son secret. Il a montré les règles de résolution des équations cubiques, en les énonçant en vers, et assez vaguement.

Cependant, Cardano a non seulement compris ces règles, mais en a également trouvé des preuves. Malgré sa promesse, il publia la méthode de Tartaglia, et cette méthode est encore connue sous le nom de règle de Cardan. Et le livre parut en 1545.

Bientôt la solution des équations du 4ème degré fut également découverte. Le mathématicien italien D. Colla a proposé un problème pour lequel les règles connues jusqu'alors ne suffisaient pas, et la capacité à résoudre des équations biquadratiques était requise. La plupart des mathématiciens considéraient ce problème comme insoluble. Mais Cardano l'a suggéré à son élève Luigi Ferrari, qui a résolu le problème et a même trouvé un moyen de résoudre les équations du 4e degré en général, en les réduisant aux équations du 3e degré.

Des progrès aussi rapides et étonnants dans la recherche d'une formule pour résoudre les équations du 3e et du 4e degré ont posé le problème de trouver des solutions aux équations de n'importe quel degré avant les mathématiciens. Un grand nombre de tentatives, les efforts des scientifiques les plus éminents n'ont pas abouti. Environ 300 ans se sont écoulés dans la recherche. Ce n'est qu'au XIXe siècle qu'Abel (1802–1829) a prouvé que les équations de degré n>4, D'une manière générale, ils ne sont pas résolus en radicaux.

Deux autres obstacles s'opposaient à la création d'une théorie générale des équations algébriques et des méthodes pour les résoudre : la complexité, l'inconvénient des formules résultantes et le manque d'explication du cas irréductible. Le premier était un inconvénient purement pratique. Cardano l'élimine en proposant de trouver les racines des équations approximativement en utilisant la règle des deux fausses positions, qui est essentiellement utilisée aujourd'hui sous la forme d'une interpolation simple, ou linéaire. Le deuxième obstacle a des racines plus profondes et les tentatives pour le surmonter ont eu des conséquences très importantes.

Une tentative fructueuse et audacieuse de traiter le cas irréductible appartient au mathématicien et ingénieur italien R. Bombelli de Bologne. Dans Algèbre (1572), il introduit formellement les règles des opérations sur les nombres imaginaires et complexes.

En cliquant sur le bouton "Télécharger l'archive", vous téléchargerez gratuitement le fichier dont vous avez besoin.
Avant de télécharger ce fichier, rappelez-vous ces bons essais, contrôles, dissertations, thèses, articles et autres documents non réclamés sur votre ordinateur. C'est votre travail, il doit participer au développement de la société et bénéficier aux gens. Trouvez ces œuvres et envoyez-les à la base de connaissances.
Nous et tous les étudiants, étudiants diplômés, jeunes scientifiques qui utilisons la base de connaissances dans leurs études et leur travail vous en serons très reconnaissants.

Pour télécharger une archive avec un document, entrez un numéro à cinq chiffres dans le champ ci-dessous et cliquez sur le bouton "Télécharger l'archive"

Documents similaires

Description de la vie de l'Italie et du monde à l'époque où Girolamo Cardano vivait et travaillait. L'activité scientifique du mathématicien, une revue de ses travaux mathématiques et la recherche de solutions aux équations cubiques en radicaux. Méthodes de résolution des équations des troisième et quatrième degrés.

dissertation, ajouté le 26/08/2011


L'histoire du développement de la science mathématique en Europe aux VIe-XIVe siècles, ses représentants et ses réalisations. Le développement des mathématiques à la Renaissance. Création du calcul littéral, activité de François Vieta. Améliorations de l'informatique à la fin du XVIe - début du XVIe siècle

présentation, ajouté le 20/09/2015


Mathématiques européennes de la Renaissance. Création du calcul littéral par François Viet et d'une méthode de résolution d'équations. Perfectionnement des calculs fin XVIe - début XVIIe siècles : fractions décimales, logarithmes. Établir un lien entre la trigonométrie et l'algèbre.

présentation, ajouté le 20/09/2015


De l'histoire des fractions décimales et ordinaires. Opérations sur les décimaux. Addition (soustraction) de fractions décimales. Multiplication de nombres décimaux. Division de décimaux.

résumé, ajouté le 29/05/2006


Mathématiques grecques et sa philosophie. Relation et parcours conjoint de la philosophie et des mathématiques du début de la Renaissance à la fin du XVIIe siècle. Philosophie et mathématiques au siècle des Lumières. Analyse de la nature des connaissances mathématiques de la philosophie classique allemande.

thèse, ajoutée le 07/09/2009


Équation en fractions du nombre de décimales, effectuer l'addition et la soustraction, en ignorant la virgule. Signification pratique de la théorie des fractions décimales. Travail indépendant avec vérification ultérieure des résultats, réalisation de calculs.

présentation, ajouté le 02/07/2010


L'étude de l'émergence des mathématiques et de l'utilisation des méthodes mathématiques dans la Chine ancienne. Particularités des problèmes chinois dans la solution numérique des équations et des problèmes géométriques conduisant aux équations du troisième degré. Mathématiciens exceptionnels de la Chine ancienne.